Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике.djvu), страница 8

Из (2.69) теперь следует, что (2.69) 1(1) — ПО) + 1'(О). Но это эквивалентно неравенству )п<ехр(р(х)> ь <у(х)>, или <ехр(р(х)> ~ ехр<(р(х)>. о+ 1о где Р†свободн энергия системы с функцией Гамильтона Н,, а < ... > означает среднее значение соответствующей величины по ансамблю с функцией Гамильтона Н, . 18. Используя неравенство (2.67), доказать вариационную теорему Боголюбова: при разделении функции Гамильтона системы на две части Но' Н1 свободная энергия Е удовлетворяет условию Р е ш е н и е. Запишем очевидное равенство для статистической суммы системы, опуская для краткости множитель ,Зжй(, -1 Н НО с = 1дрехр(- р1 = )дрехр(- р1 г Но гидре р (- тЯ хр(- ф [1др ехр (- т)]) Видно, что это равенство можно записать следующим образом: 0 = (Ф ~<ехр (- ~я~> .

(2.70) Из (2.б7) следует, что Н1ъ . Н1 р Хт/>о е" р < ХТ >о Поэтому (2.70) можно заменить таким неравенством: 1) в 4 )ехр <- — > О 1 7 о' откуда (о) 1 1О )пЯ ~ !пав() — ~у<Н>, или г = -Ит!пЯ я Р +<Н> О 1О. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Используя выражение для функции распределения по координатам, найти среднее значение квадрата дипольного момента единицы объема газа, рассмотренного в задаче 2.4. 2. Определить плотность состояний электронного газа в квантующем магнитном поле, учитывая спиновое расщепление энергетических уровней. 3. Используя выражение для максвелловской функции распределения классического идеального газа, определить среднее значение а-й степени модуля скорости молекул. 4.

С помощью ЭВМ построить графики зависимости плотности состояний электронного газа в кваитующем магнитном поле без учета и при учете спинового расщепления энергетических уровней. 3. РАВНОВЕСНАЯ КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 3.1. Ферми-газы и бозе-газы При рассмотрении квантовых систем, в которых определены одночастичиые состояния, удобно с самого начала учесть симметрию волновой функции системы: частицы с полуцелым спином (фермионы) описываются антисимметрнчными волновыми функциями, частицы с целым спииом (бозоны) — симметричными. Для фермионов справедлив принцип Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Для бозонов числа заполнения У) квантовых состояний произвольны.

Функции распределения для фермионов и бозонов легко получить в рамках большого канонического ансамбля, выбрав в качестве подсистемы совокупность всех частиц, находящихся в данном квантовом состоянии Х. Энергия системы в этом состоянии есть Е„= с) й) . Выражение для термодинамического потенциала Й~ имеет вид й~ = -ИТ!п 1' ,ехр((р-с~,)И),/(ИТ)1. М) Для фермионов У) = О, 1; поэтому а~ = -кт и (з ехрпи-с~~/сати] . (3.1) Для бозонов У~, — — О, 1, 2, ... Находя сумму бесконечной геометрической прогрессии, получаем С~ = НТ ~ (1 — ехр[(р~~)/(ЙТЦ] .

(3.2) причем ]ц ~ О. Средние числа заполнения (илн функции распределения) получаются с помощью термодинамического равенства г30х1 =-П~)= — ], ) ~и3„ Поэтому с помощью (3.1) и (3.2) имеем (с~) — е х (3.3) 53 Знак плюс относится к фермионам, знак минус — к бозонам. Химический потенциал и определяется из условия нормировки функций распределения: — Ф, (3. 4) ехр с~ -и где Ф вЂ” полное число частиц в системе. Вводя плотность состояний р(е), можно переписать равенство (3.4) в виде У = ~дс р(с) )(е).

Термодннамический потенциал всей системы й дается форму- лой СО ца~ = ~+~1~-„— ",Щ-~, г~*) = (юг '~ о О Интегралы Ферми-Дирака обладают удобным свойством (3.9) Р~(ту) = Р„~(Ч). (3.10) При рассмотрении свойств бозе-систем при температурах, меньших точки То бозе-эйнштейновской конденсации, удобно использовать соотношение О) Г(а) ~(8) (3 ~ 1), о ех где Г(г) — гамма-функция, а ~(г) — дзета-функция Римана м ~(а) = ~, и л=! й = ~;й ) = + яТ~!п(1+ ехр~(р — е~)/(АТ)]), (3.6) которую аналогично (З.Б) можно записать так: $? = +Майе р(с) 1п(1 + ехрЦр — е)/(АТЦ).

(3.7) Термодинамические характеристики системы определяются с помощью 0 по обычным формулам термодинамики. Статистические свойства фермнонов и бозонов резко различаются при низких температурах. При расчете низкотемпературных свойств фермионов используются асимптотические разложения интегралов 00 и п2 .)ех е- + = /сне(р(е)+г." ЯТ) р'(р)+ ... (3,8) о 0 При произвольных температурах удобно использовать интегралы Ферми — Дирака: 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике Переход к смешанному представлению осуществляется следующим образом. В матрице плотности, взятой в координатном представлении, совершается переход к новым пространственным переменным, равным полусумме и разности старых переменных. Для одночастичной матрицы плотности такому переходу соответствуют соотношения: К = (1/2)(г+г ), г = г — г, <г,о' [р]г2,о' > -~ <1<+г/2,о ]р]1<-г/2,о >.

Здесь о н о — спиновые переменные. Далее совершается преоб- 1 2 разование Фурье по переменной г: (р, 1<) = ~ Ыг ехр( — ~рг) <й+~,о' ] р] й-~, о' >. 1 2 Функция ~ . „(р, 1<) называется равновесной квантовой функцией 1 2 распределения Внгнера. Формула обратного преобразования имеет вид (3.11) не относится к спиновым переменным, для которых нет классического аналога.

Все фигурирующие величины в смешанном представлении остаются матрицами в спиновом пространстве. Спиновые индексы при использовании функции распределения Вигнера обычно в явном виде не выписываются. В общем случае квантовая функция распределения Вигнера не является положительно определенной и поэтому не может рассматриваться как вероятность реализации определенных состояний. Однако проинтегрнрованная по импульсной переменной функция распределения Внгнера дает распределение по пространственным координатам. Проинтегрированная по пространственной переменной она дает распределение по импульсу. Функция распределения Внгнера позволяет записать основные соотношения квантовой статистической механики в виде, формально аналогичном соотношениям классической статистики. Это ЗАДАЧ И получим 1/2 3/2 а = -ртР'Р ~ (рррРРь(р 2р 3 О Совершая замену переменной н интегрируя к следующему соотношению: ° ехр~~р] .

по частям, приходим У.23/х 3/2 р7 3/2 Г ( 3/2 3н2ьз 3 ехр х-р + Используя определение интеграла Ферми-Дирака (3.9), этому выражению можно придать вид 3/и растр 37р2 3 ~ ~ 3/2 (Ь] ' Уравнение для определения химического потенциала р с помощью (3.12) записывается следующим образом: У 3/2 3/3 37р 372 р~ ~ р'2(Ь] ' 2. Найти теплоемкость С при постоянном объеме нерелятивистского ферми-газа с законом дисперсии с = р /(2т) при 2 низких температурах.

Р е ш е н н е. Искомую теплоемкость можно определять с помощью соотношения (3.12) (3.13) Выражение для энергии Е системы можно записать в виде р6 Е = ~ЫС С1О(С) ДС). О Используя ннзкотемпературное разложение (3.8), можно написать с точностью до квадратичных по температуре членов р1 Е = $6С СР(С) + ~ ЯТ') М)1) + К' (ий . (3.14) О 1.

Найти термодинамическнй потенциал й для нерелятнвистского ферми-газа при произвольной температуре и выразить его р' через интеграл Ферми-Днрака. Р е ш е н и е. Используя формулу (3.7) для ферми-систем и выражение (2.37) для плотности состояний (С) = У.21/ЗтЗ/Зс1/2/( РАЗ) В выражении (3.14) химический потенциал Р зависит от температуры, поэтому прн вычислении теплоемкостн по формуле (3.13) необходимо учесть эту зависимость. Проще всего это сделать следующим образом.

Запишем первое слагаемое в правой части (3.14) так: Р (Ссср(с) = ~ ссср(с)+(р-(с)р р(р ), о о где М вЂ” энергия Ферми. Второе слагаемое в правой части этого выражения представляет собой зависящую от температуры поправку; поэтому значенне подынтегральной функции ср(с) можно взять в крайней точке промежутка (Р,Р). Теперь все выражение (3.14) запишется так: Ро г Е = $ йс сис) + (Р-Р )Ро р(МО) + 6 Ят) ~Р(Ро)+Цр'(Ро)1 . о (3.15) Запишем выражение для среднего числа М частиц системы и преобразуем его аналогичным образом: О) у = (Сср(с)((с) = ~рср(с) ° (р-р)р(р,) ср(иТ)ср'(р).