Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (1185130), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Теперь, пользуясь правилами дифференцирования сложных функций, получим др сГр + сс(Т др (1. з5) Раскрывая производную (дТ/др) . д дТ,Я дТЯ д,Т дЯ дТ р т р с учетом выражений С = Т(д5/дТ) и с($ = — ЯдТ+ Г0р для Р Р (дТ/др) находим сГр С сс(Т Ц в~1,Р У ~У,~ тт 1У,Р~ = е;[Ю„5т,— [В],Я]„] Учитывая соотношение НЕ = -5пТ вЂ” рсй~, щему нас равенству.
9. Используя уравнение неразрывности Я+ йч(рм) = О. приходим к интересую- (1.36) и уравнение движения идеальной жидкости ~[щ" ° ( ч>] = -чп. (1.3?) выразить в линейном по возмущениям приближении скорость звука в такой системе через изотермический модуль всестороннего сжатия К = р(др/др) Р е ш е н и е. Использование линейного по возмущениям приближения означает, что во всех выражениях следует пренебречь членами, содержащими квадраты и более высокие степени переменных величин др и бр.
Сюда же следует отнести и ско- 1? Подставляя это выражение в (1.35), получаем требуемое равен- ство. Способ П. Задачу можно решить непосредственно, записы- вая левую часть с помощью якобиана Я],=В+ Теперь, учитывая, что в правой части интересующего нас тож- дества фигурируют переменные р и Т, имеем дУ д Г,5 д,Т Т д 'к'.5 Р Записывая определитель в явном виде, получаем Раскрывая квадратные скобки и учитывая приведенные выражения для С и ИФ, получаем требуемое равенство.
Р 8. Доказать тождество Р),= Ю,-',И', Р е ш е н и е. Задача аналогична предыдущей. Используя, например, способ Ц, имеем рость движения жидкости и, ибо в термодинамическом равновесии и = О. Поэтому уравнения (1.36) и (1.37) следует переписать в виде (1. 40) (1. 42) нов, имеем В], 5О В."]МВ,"] Учитывая, что (ат) = т' окончательно получаем . =В] =,'М =,'",.
д :(Тбр + Раб(т ~ = О, (1.38) М=-" (1. 39) где р — равновесная плотность жидкости. Дифференцируя ураво нение (1.38) по времени и беря дивергенцню от уравнения (1.39), приходим к равенству 82 8 ар-Ч2ар = О. д1 Теперь необходимо связать между собой величины Бр и бр. При распространении низкочастотного звука система находится в состоянии локального термодинамического равновесия, поэтому, выбирая в качестве независимых переменных р н 5, имеем Вр = [г] бр+ [Д] ВЯ. д.41) В идеальной жидкости днссипация отсутствует, поэтому все происходящие процессы являются обратимыми. Это означает, что энтропия системы не меняется, т.е. 65 = О.
Поэтому соотношение (1.41) принимает вид = В]; Подставляя (1.42) в (1.40), приходим к волновому уравнению 82 — ~р- [г] ~'йр - ~. (1.43) в котором производная (др/др) равна квадрату скорости и 2 распространения возмущений продольного звука. Теперь остается преобразовать адиабатическую производную (др/др) в изотермическую производную (др/др) . Используя метод якобиа- 18 10. Связать изменение температуры при изменении плотности жидкости в звуковой волне со скоростью распространения звука.
Р е ш е н и е. Изменение температуры приводит к необратимому характеру процессов, протекающих в звуковой волне, поскольку в системе возникает тепловой поток. Однако скорость передачи теплоты в реальной системе много меньше скорости распространения звука, поэтому в первом приближении можно считать, что процессы происходят обратимо, т.е. 65= О. Итак, искомая величина — это производная (дТ/др)~ . Преобразуя ее с помощью метода якобнанов, сразу выделим квадрат скорости звука и = (др/др) г д Т д Т 5 д Т Я д Я д ц 2 С помощью соотношения ~(1Р' = Тг(~+ 1/~1р находим Ю,= [В, Поэтому для искомой производной имеем — и. (1.
44) Производную (дР/д5) преобразуем, выделяя в явном виде Р 1 ГдЛ нзобарический коэффициент теплового расширения а = ~ ~~Т~ Р Имеем а1 а~, аЬ. а Т. аи ат „,Т Р Р Р Р В результате выражение (1.44) для производной (дТ/др)з принимает вид Отношение теплоемкости системы при постоянном давлении С Р к ее объему 1~ есть теплоемкость единицы объема с . Поэтому Р' окончательно результат можно записать следующим образом: 19 11. Термодинамическая система расширяется таким образом, что ее энергия (т' остается постоянной. Как изменяется при этом температура системы? Будет ли такой процесс обратимым? Р е ш е н и е. Необходимо определить, от чего зависит значение производной (дТ/дУ) . Для этого удобно перейти к естественным переменным функций 0- У и 5, поскольку прн этом возникают непосредственно измеримые на опыте термодинамические параметры: (и = Тж-р(У.
(1. 45) Поэтому преобразуем (дТ/дУ) следующим образом: [рт] д[трю] д[т,О~д+я 1 р т О~ Раскрывая определитель, находим Гг, Т Б7яряу РЗ„Б73 = т[ТЦ +рт-] = [рр] +т' . ~!.46) Остается вычислить производную (дТ/дУ) . Учитывая соотношение (1.45), переходим к переменным Т, У, чтобы выделить в явном виде теплоемкость С,: [Рт] Р] Р[1,рт] Р[тР,рт] в[т тт] [Рт] т (1. 47) Теперь формула (1.4б) принимает вид [ррт] = '-[р-тя] ].
(1.48) 20 Искомая производная выражена через теплоемкость системы при постоянном объеме С , давление р, температуру Т и изохорический температурный коэффициент давления (др/дТ) . Знак изменения температуры определяется соотношением между слагаемыми в квадратных скобках в формуле (1.48).
Чтобы выяснить, будет ли описанный процесс обратимым, необходимо рассмотреть производную (д5/дУ) . Из соотношения (1.11) при Ю = 0 имеем [Я =1 о. Итак, происходящий с системой процесс всегда необратим независимо от того, как конкретно он реализуется: система расширяется в пустоту, не совершая работы и не получая или не отдавая теплоты, или система совершает работу при расширении, но к ней подводится теплота для обеспечивания постоянства ее энергии. Аналогично можно исследовать вопрос, как будет изменяться давление в системе. Для этого достаточно рассмотреть производную (др/д(~) . Опять переходя к естественным переменным функции К имеем Я] = д[(',+дЯ] = '[[дфоп] т. Щ р].
~~.4ц Входящую сюда производную (др/д5) заменяем в соответствии с формулой (1.47), а производную (др/д~) вычисляем, выделяя в явном виде теплоемкость С [дд] д~о 5~А Т~ д 7 Т~ д [ддд] Теперь выражение (1.49) переписывается следующим образом: Я = ~-~с Я ° [д1] р]. (1.
50) Используя тождество Ю,Я,['~]„= -' можно придать формуле (1.50) более удобный вид. вводя изотермический модуль упругоСти КТ = -1~(др/д1д) ~ 0: [В],- ',[дЯ,— д,] (1.51) Видно, что характер изменения давления определяется соотношением между слагаемыми в квадратных скобках. Замечание. Обратим внимание на то, что у идеального газа (р1/1гТ) температура при рассмотренном процессе не меняется, а давление падает, в чем легко убедиться прямым вычислением по формулам (1.48) и (1.51). 12.
Для единицы объема диэлектрика с постоянной плотностью найти разность с — с между теплоемкостями однородного изотропиого диэлектрика при постоянной напряженности электрического поля Е и индукции 1д. Р е ш е н и е. Задачу удобно решать, используя определение теплоемкости через энтропию. В рассматриваемом случае имеем се=Т~~, с~= Т~Т Преобразуем выражение для с с помогдью метода якобианов: с = Тдс,Е Тдз,Е дТ,0 Раскрывая первый якобиан в правой части (1.52) и учитывая, что в изотропном диэлектрике 0 = еЕ, имеем (1.53) Используя выражение для дифференциала свободной энергии единицы объема (1.
55) .о=" Р -„'- Ы,',Т„-,„Т,Ы,'Э"т. (155) ф = -и1Т+ ~~ЕИ0, 1 убеждаемся в справедливости соотношения Ют= 4%ЭТ в' (1.54) Подставляя равенство (1.54) в выражение (1.53), получаем Те ГдН Теперь осталось вычислить производную сс( е Подставляя это соотношение в (1.55), находим окончательно ТЕ2 де 2 е В 4не ВТ Поскольку е» О, то правая часть этого выражения всегда положительна при Т» О. Поэтому с» с . 13.
Для единицы объема магнетика с постоянной плотностью найти разность с — с „между теплоемкостями однородного изотропного магнетика при постоянной напряженности магнитного поля Н и магнитного момента М. Р е ш е н и е. Задача решается аналогично предыдущей. Используя соотношения со = Т дт см = Т дт преобразуем выражение для с с — Тдз,Н Тдз,Н дТ,М Т дх,Н поскольку магнитный момент М связан с напряженностью поля Н соотношением М = уН. Раскрывая определитель, получаем 22 Здесь зо(Т, р) — плотность энтропии в отсутствие электрического поля. Теперь можно воспользоваться соотношением и = ~ + + Тг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
