Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (1185130), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Действительно, м о о Подставляя значение функции (3.38) в соотношение (3.37), приходим к выражению для Й: з/з ~172 372~3 ~ ~ 3/2[6] ' 8. Показать, что магнитный момент М системы в квантующем магнитном поле (3.31) пропадает при выключении магнитного поля. Р е ш е н и е. Прежде всего отметим, что первое слагаемое в правой части формулы (3.31) при о1 ~ 0 расходится как 1/о1, поскольку термодинамический потенциал й, как было с' выяснено в предыдущей задаче, стремится при о1 ~ 0 к конечс ном п едел: у р у й(ы =0) лтсы тс ы с с Очевидно, что второе слагаемое в правой части выражения (3.31) должно стремиться к такому же пределу, взятому с противоположным знаком.
Убедимся, что именно так и происходит: еп ~Ъ 1/2 1а™с("+з/2) -А~~- — — (йт) я (~+3~2) т „ндг( — -зт — ) о-О Итак, мы показали, что М вЂ” — ~ О. 9. Найти зависимость от температуры химического потенциала бозе-газа. Р е ш е н и е. Химический потенциал бозе-газа обращается в нуль при температуре бозе-эйнштейновской конденсации Т, определяемой условием, которое следует из (3.5) й = 1): у (ГИТО) ( 1/2 2~2 с( 1/2 т = и-~.~-,— з1 * * = лт, 1 ' * . ~з.зз) г1 О О е '-1 Ниже этой температуры химический потенциал тождественно равен нулю вплоть до абсолютного нуля температуры. При температурах Т вЂ” ТО химический потенциал отрицателен и мал по модулю.
Выше То выражение для концентрации Ж/Г можно записать в и е в д (3.40) О Прибавляя к (3.40) и вычитая из него такое, же выражение при р = О, получаем са Оз О О (3.41) 65 3. А.С.Кондратьев, В.П.Роззанов Последнее слагаемое в правой эсти (3. 41) равно, как следует из (3.39), (44,%)(Т/Т„1 . В первом слагаемом в правой 3/2 части (3.41) основной вклад в интеграл дают малые значения г й О. Поэтому экспоненты можно разложить в ряды, ограничиваясь линейными членами.
После этого выражение (3,41) прини- (3.43) Теперь выражение (3.43) принимает вид <А> = рр 14ЙЙ43<хрЦ13.1 !4р 34<3 !А!Р, >. Вводя определение 44р,р! = 34< е р[3рг]<р-1!А)р 1>, (3.45) (3.46) переписываем соотношение (3.45) следующим образом: <А> = Яр [ — ~ — кзДр,1<) А(р,1<). (2пй) (3.47) 66 мает вид г[1 — Я ] = — А!Р!Р ~-р — — * —.
43.43! о о г~ (г+ ]и[/Т) Интеграл в (3.42) легко вычисляется: Подставляя это выражение в (3.42), получаем формулу для химического потенциала бозе-газа при температуре Т вЂ” То. ТЗ/2 о 10. Получить формулу для нахождения средних значений с помощью квантовой функции распределения Вигнера. Р е ш е н и е. Среднее значение любого одночастичного оператора А дается формулой (2.12).
Запишем ее в координатном представлении: <А> = Яр ~4(г'агре <г']Р]г"><г" ]А[г'>, где Яр означает взятие шпура по спииовым переменным. Используя выражение для матричного элемента оператора плотности через квантовую функцию распределения Вигиера (3.11), найдем <г' !р/г*> = Ц вЂ” Р— ехр[3р4~'-г"4] 4[р ~3~ — ] . 4344! (2п6) Совершаем замену переменных Й = (1/2)(г'+г"), г = г'-г". Соотношение (3.46) называется преобразованием Вейля квантовомеханического оператора А.
Формула (3.47) определяет правило вычисления средних значений в смешанном представлении. И. Найти явный вид преобразования Вейля для произвольной л функции оператора импульса рр(р). Ре ш е н и е. Исходим из выражения (3.46). Имеем рр.р) = Хр е (1р)<р-ргмр)~р+. (3.48) Используя дираковские обозначения для векторов состояния н учитывая свойство ~пр1 ) Р1> < Р1 ) можно переписать (3.48) в виде р(рВ = 1р рррр, ехр(1рг) <рр1рх <р Фрг Ь ' <р 1р+. (3.49) Величина <Й-г/2)р,> представляет собой собственную функцию оператора импульса в координатном представлении: Й фр1~ з уе Р ь Р1 Й-У .
(3.50) Величина <р2) Й+г/2> представляет собой комплексно-сопряженную собственную функцию оператора импульса. С учетом (3.50) выражение (3.49) переписывается следующим образом: Г пр1дРР2пг рр(Р,Й) = ~ з ехр к Р + Р1 Й-2. — Р2 Й+2. <Р1)рр(Р))Р2'. (3.51) Поскольку оператор в собственном представлении диагонален: л Р)Р> = Р)Р> 'го <Р,)Р)Р2> = Р1ЖР1.рг) л н для <Р1)(р(р))р > справедливо равенство Р1)~ (~ ) )Р2 1(Р1) .Р! Р2 ' (3. 52) Подставляя (3.52) в (3.51) и учитывая интегральное представление для б-функции Р~рг = — 1хг ехр(ррг), (2нл) получаем Ю(Р.Й) = Р(р).
т.е. преобразование Вейля любой функции оператора импульса равно классическому значению этой функции от импульсной переменной. з 67 12. Построить квантовую функцию распределения Вигнера для свободных частиц со спином 1/2. Р е ш е н н е. Исходим из выражения, задающего вид матрицы плотности в координатном представлении: < 1Р!г.)т > — БР Ф(г;!г1) Ф(г2, '), (3.53) 2'21)1'1)2'2 где )р(г,о) — волновая функция в состоянии, задаваемом иабо) ром квантовых чисел (д. Для свободных частиц ( д = р, р, «Д р, з, где з — спиновое квантовое число. Считая, что частица помещена в «ящик» объемом 1)', запишем Ф (г,!г) в виде )))У (г,о') = — ехр((рг) Х (о'), 1 рю ~" 8 (3.54) где Х (гг) — двухкомпонентный спинор. В рассматриваемом случае энергия не зависит от спина, все состояния двукратно вырож- дены по спиновой переменной, а матрица плотности диагональна в спиновом пространстве.
Вероятность Р реализации чистого состояния !' определяет- ся фермиевской функцией распределения. Найти ее явный вид можно с помощью условия нормировки 5р р = 5р ~Иг(г,о" ~р~г,о'> = 1. Переходя в (3.53) от суммирования по дискретным квантовым числам р. к интегрированию по обычному правилу 1 за р (2пй) и учитывая, что Я Х (~) Х'(~') = б получаем (3.
55) (3. 56) Р...~1(р), где Ж вЂ чис частиц системы. Теперь (3.53) записывается в виде б!г !г <е„е )Е)е,е > = — )))-! — ~ — )))е) е*р(!р)е;е )) . Используя формулу (3.11), получаем с помощью (3.51) Ь о. о о2 ~г~р 12 77Т (2й)з 1 6 х ехр — ~ рг — р 1+2 + р Й-~ = — 2~~-Др). Итак, диагональный матричный элемент функции распределения Вигнера для свободных частиц с точностью до множителя 1/(2Ф) совпадает с функцией Ферми-Дирака. 13.
Построить равновесную квантовую функцию распределения Вигнера для электронов, находящихся в однородном квантующем магнитном поле, учитывая спиновое расщепление энергетических уровней. Р е ш е н и е. Исходим из выражения (3.53) для матричного элемента одночастичного оператора плотности в координатном представлении, явно указывая спиновые переменные: Р 1[~ [ 2' 2 ~ Г6 Г 1)~Г(2' 2)' (3.57) 4 Выберем векторный потенциал А однородного магнитного поля в виде А(г) = (-Ву,О,О). Набор квантовых чисел, определяющих состояние электрона, есть (д = Й, Й, и, о', где о' означает х' г' г-компоненту спина и принимает значения а = +1/2, а волновая функция представляет собой двухкомпонентный спннор.
Координатная часть у волновой функции ф имеет вид (Ь = 1) ты 1/4 — 1/2 2 у„(г) = [ „1 [2" !~. ~) е р~~(й х Й,~яе*р[ — 1-) В (я), х г (3. 58) где г = тю ~у+й (тю Ц, и — полипом Эрмита порядка и; 2 2 1. — линейные размеры образца по осям х и г. Вероятность Р. г определяется функцией распределения Ферми — Дирака. В принятом приближении, когда учитывается спиновое расщепление энергетических уровней, имеем Й,/(2т)+и,( и+1/2+о') — (й Р,. = г[)х 1+ехр ' я Щп,а,й ), (3.59) где У вЂ” число частиц в системе. С помощью (3.57) и (3.59) имеем, переходя к новым переменным К = (1/2)(г+г ), г = = г;г, следующее выражение для матричного элемента функции распределения Вигнера в спиновом пространстве: (р,й) = [дгехр(-(рг) 1; В'(п,а,й ) х Г 2 п,а,й,й х' г хил о й й ~(+~ а1 11 ай й 1(-у а2 (3.60) Переходим от суммирования по й и Й к интегрированию с помощью обычного правила Е Е 2 г й,й (2п)2 " г 69 Используя формулу (3.58) для волновой функции электрона и интегральное представление для д-функции ОВ 6(х) = хл;й )йтяехр(йх), приводим после выполнения интегрирования по х и г и суммиро- вания по о выражение (3.60) к виду т~с 1~2 й (р,й) = „( ц) 1йййй йй й йли,г,й )е р(-(р й) 2лп1 л, 0' х Ь(р — й )Ь(р — л ) ехр~ — Яи+и) + (и — о) цН„(и -и) Н (и — и), Г 1Г 2 Л1 (3.61) и = ты~~у+ ях/(ты Ц, и = тйй у2/4.
Отметим, что в отличие от вычисления плотности состояний в квантующем магнитном поле (задача 2.9), где интегрирование по проекции импульса, характеризующей положение центра осциллятора Ландау, проводилось в конечных пределах, здесь интегрирование по я проводится от -лй до +лй. Это связано с х тем, что вигиеровская функция распределения определена при всех значениях импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
