Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (1185130), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(4.55) о Выражение для корреляционной функции скоростей получается с помощью (4.50). Учитывая свойство (4.12), получаем <п(и)и(з)> = с~е ("+ )/ 1 + е ("+ )/ 1х о Так как процесс х(1) и, следовательно, х (г) стационарный, то вследствие (4.19) (ы) х з (ы1)> = ~ (ы) 6(ы+ ь>1) 2п' Поэтому У(о) и 1 (и) связаны соотношением > „>м - »м [мзф>«~] (4.65) Таким образом, прибор, усредняюший показания по интервалу т, обрезает частоты ] ы]» 2п/т в спектральной плотности исходного случайного процесса, т.е.
обладает определенной «полосой пропускания». Если ширина спектральной плотности 1(я) исходного процесса х(~) намного превышает 2п/т, то в формуле (4.65) можно произвести замену У(о) ~ 1(0). При этом структура У (о) определяется только параметрами прибора. От исходного случайного процесса остается только 1(0); вся остальная информация теряется. Прибор, усредняющий показания по интервалу т, дает «правильные» значения измеряемой величины и в случае достаточно большого времени корреляции, когда З -+ 0: 1/2 ъ т.
11. Какую среднюю тепловую скорость броуновской частицы мы обнаружим при визуальном измерении за промежуток времени т = 0,1 с? Масса частицы и 10 г, линейный размер Д 10 ~ см, температура среды Т 3 10 1 К, вязкость среды 10 г/(см с). Р е ш е н и е. В соответствии (4.19) и (4.65) для среднего измеряемого квадрата скорости <и > имеем изм 2 < > = г„-]«>зи)[— ~ — ~~ — ~~] . >466) Подставляя в (4.66) выражение (4.20) для спектральной плотности 1(ю) 1(о) Х(0) Э.2/(и2+«,2) и вводя обозначения и = ыт, з = зт, получаем м 2 <п2 > 2 1(0) Г (х 1-созх з х х+я Интеграл в (4.67) вычисляется.
В результате, учитывая, что <о (г)> = 'яТ/т = У(0)у/2, по- лучаем '„,>~ Ъ)> = з'~т)[> — (>- "и )] (4.68) Е)+И = й. (4.69) Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение для одномерного броуновского движения (4.11). Поэтому, предполагая, что флуктуации ЭДС Ю имеют характер белого шума, можно с помощью соотношений (4,15) непосредственно написать <Ю(~+т) йЩ> = 2)гТЙ б(т). (4. 70) Согласно определению (4.19) имеем (ь )„= 2лТК~Ме б(~) = 2лТК (4.71) где (ь") определяется соотношением й ) й,) = 2пФ~) б(ь»,).
(4.72) Уравнение (4.69) в представлении Фурье может быть записано в виде (-М+й)!(а) = Ю(о). Теперь с помощью формулы (4.72) можно написать (7)„= Ф)„/()< ~. ). Используя (4.71), перепишем это соотношение следующим образом: (Т )„= 2йТР/(Ф+Е ьР) . (4. 73) Отметим, что при заданных в условии задачи значениях параметров время релаксации составляет 1/Э' = т = т/(бпт11<) 5.10 с.
Поэтому Тт = т/т, 2 10, и в формуле (4.66) 7 б сразу можно заменить Х(о) на Х(0) = (яТ/т) (2/Э). Опуская в (4.68) второе слагаемое в скобках, находим <02 (0>/<02(г)> = 2/Эт 10 б Итак, измеряемое значение тепловой скорости броуновской частицы оказывается в 10 раз меньше истинного равновесного з значения. 12. Рассмотреть тепловые флуктуации в замкнутой цепи, состоящей из сопротивления 1< и индуктивности Е, помещенной в термостат с температурой Т.
Определить спектральную плотность теплового шума ЭДС В и тока 7 в цепи. Найти выражение для корреляционной функции <7((+т) Ц1)>. Р е ш е н и е. Закон Ома для рассмотренной цепи можно записать в .виде получаем для р(Е) в квадратичном по ЬЕ приближении следующее выражение: р(Е) = ххр(--~ — -~-] . (4.75) При получении (4.75) учтены соотношения Ы 1 а'Ю оЕ Т' р Формула (4.75) представляет собой искомую функцию распределения по флуктуациям энергии в гауссовом приближении. Обратим внимание на то, что эту функцию необходимо заново нормировать, поскольку нормировка исходной функции распределения была нарушена при обрыве тейлоровского разложения для 5(Е): р~р~ = х *р(--~ — ~-,].
~'ррррр> = ~. ЬЕ 21 2йС, Т ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Для системы с фиксированным объемом вычислить флуктуации термодииамических величин <(Ь5) >, <(Ьр) >, <(ЬТ) >, 2 2 2 <(ЬФ) 2>, <ЬИЬТ>, < ЬТЬР, < ЬФЬН>, <ЧЬЯ>, <ЬЛЬУ> и < ЬЯЬТ>, используя функцию распределения (4.7). 2. Вычислить флуктуацию энергии <(ЬЕ) >, используя функ- 2 цню распределения (4.7) при фиксированном объеме.
3. Вычислить флуктуацию энергии <(ЬЕ) > в большом каноническом ансамбле и сравнить ответ с результатом, полученным в предыдущей задаче. 5. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 5.1. Фазовые переходы ! и П рода Превращение, при котором первые производные от химического потенциала по давлению и температуре испытывают скачок, называется фазовым переходом ! рода. Условия фазового перехода 1 рода имеют вид (5.1) и,-и =о, где ц и и — химические потенциалы разных фаз, и 1 2 д(!, дН2 ди, дЦ дТ И ' ор ~ГР Условиями фазового перехода П рода являются дР! дИ2 дР! дР2 ц-к,=о, дт-'=пт- пр = д — 1 что касается производных второго порядка, то они в разных . фазах различны.
Для количественного описания поведения системы вблизи точки фазового перехода П рода вводится дополнительная величина т! †параме порядка, среднее значение которого равно нулю в симметричной фазе (обычно при температурах Т» Т с' где Т вЂ” критическая температура) и отлично от нуля в несимметричной, низкотемпературной фазе. Зависимость термодннамического потенциала от т! имеет вид ф( У ) ф( У) ( )!т2 В( У) 4 (5.2) где а(р) и В(р,Т) — слабо зависящие от давления и температуры положительные функции ! = Т вЂ” Т с' Эта формула позволяет вычислить среднее значение параметра порядка, рассчитать скачки теплоемкости, сжимаемости и т.д.
Аналогичного вида разложения используются также для описания фазовых переходов ! рода, если теплота перехода очень мала. В подобных случаях в разложении термодинамического потенциала по степеням параметра порядка, кроме членов, содержащих четные степени ц, возникают члены с нечетными степенями.
В частности, вводят кубический член, коэффициент при котором остается конечным в точке фазового перехода. При более детальном описании фазовых переходов вводится плотность термодинамического потенциала Ф(г) так, что полный термодинамический потенциал имеет вид Ф = Фо+ ~~Л~ ~а(р)й) (г) + Ь(р,Т)т) (г) + п(7т)(г)) 1, (5.3) где последний член в прямых скобках учитывает вклад в Ф за счет градиентов параметра порядка. С помощью этой формулы можно, в частности, вычислять флуктуации параметра порядка, учитывая, что вероятность флуктуации при заданных р и Т пропорциональна ехр~ †(Ф -Ф )/АТ), находить корреляционную функцию, вычислять флуктуационные вклады в теплоемкость и т,д.
5.2. Численные методы при рассмотрении фазовых переходов Интенсивное развитие злектронно-вычислительной техники позволило широко использовать численные методы при рассмотрении фазовых переходов. Существует два основных подхода— метод Монте-Карло и метод молекулярной динамики. Первый в основном используется при исследовании равновесных свойств, а второй †к для изучения равновесных свойств, так и для исследования кинетики. Описание обоих методов дается в соот- ветствующнх задачах.
ЗАДАЧИ 1. Определить температурное поведение равновесного значения параметра порядка т) в несимметричной фазе в модели. где зависимость термодинамического потенциала Ф от параметра порядка имеет вид (5.2). Р е ш е н и е. Равновесное значение ц параметра порядка т~ определяется из условия минимума термодииамического потенциала Ф, задаваемого формулой (5.2). Таким образом, 5 находитсяя из уравнения ~~ = 2а(Т вЂ” Т )т)+ 48п = О. (5.4) Это уравнение имеет три решения: Ч = О, т) = +~а(Т -Т)/2В!' (5.5) Первое решение Я = О) относится к симметричной фазе, а второе и третье — к несимметричной.
Отсюда получаем, дифференцируя (5.5) по температуре: Р= )[н', ~]' (5.6) Температурная зависимость равновесного значения параметра порядка т)(Т) определяет характер приближения системы к точке фазового перехода. Обратим внимание на то, что вследствие (5.6) производная от Я по температуре имеет разрыв второго рода в точке перехода, в то время как сама т) непрерывна. 2. Пусть разложение термодннамического потенциала в ряд по степеням параметра порядка имеет вид Ф(р,Т,ц) = Ф (р,Т)+ а(Т вЂ” Т')т! — Ст) + Вт), (5.7) где а, С и  — положительные константы. Найти равновесное значение параметра порядка; показать, что в такой системе имеет место фазовый переход 1 рода; определить температуру фазового перехода. Р е ш е н и е. Условие минимума термодинамического потенциала по переменной т) (дФ/д~) = О) дает 2Ат) — ЗСт! + 4Вт) = О.
(5.8) где А = а(Т вЂ” Т ). Уравнение (5.8) имеет три решения: т) = О, (5.9) Решение т) = 0 соответствует симметричной фазе, а т) ~ 0— несимметричной фазе. Существование отличного от нуля коэффициента при т) в з (5.7) допускает возможность равенства термодннамическнх по- Обратим внимание, что решение со знаком минус перед квадратным корнем не соответствует условию минимума термодинамнческого потенциала, поскольку в этом случае вторая производная от Ф оказывается отрицательной, в чем можно убедиться подстановкой этого корня в выражение д Ф/дЧ = 2а(Т-Т*) — 6Ст)+ 12ВЧ . (5.10) (5.11) (5.12) Я=Та5.
с В симметричной фазе энтропия системы 5 (5.7) равна (5.13) = -дФ/дТ при учете 5 = 5о — — — дФ /дТ. В несимметричной фазе аналогично имеем 5 = — дФ /дТ вЂ” а'ц . несим Для изменения энтропии а5 на основе (5.14) Ь5= 5 — 5 = ат). 2 сим несим Теперь с помощью (5.13) имеем с (5.14) (5.15) и (5.15) получаем (5.16) (5.1?) 95 тенциалов обеих фаз при некоторой температуре Т, т.е. а(Т;Т )т~ — Сп,+ Вт) = О, где значение т) = т) ~ определяется формулой (5.9): с т) 8~ 1+ 1 32аВ с Поскольку г~, ~ О, то вместо (5.10) имеем а(Т -1 ) — Ст) + Вт)2 = О. Сравнивая уравнения (5.8) и (5.12) при т) = т)с, имеем 2а(Т -Т') = СО, . Отсюда, подставляя выражение (5.11) для т)с, получаем уравнение для определения температуры фазового перехода < ?с Т' 2 Т вЂ” Т' 16а — ' — 11( = 1 — 32аВ 3С2 ~ 9С2 Решая это уравнение, получаем с 4 аБВ Таким образом, температура фазового перехода 1 рода оказывается выше 7 . 3.
Вычислить теплоту фазового перехода в модели, где зависимость термодинамического потенциала Ф от параметра порядка т) имеет вид (5.7). Р е ш е и и е. Теплота () фазового перехода определяется изменением энтропии системы 5 при переходе: Для окончательного определения Я в (5.17) необходимо подставить значение т) в точке фазового перехода т) ~ . Для этого с можно воспользоваться формулой (5.17) предыдущей задачи. В результате находим ТаС 2 2 4. Показать, что в модели, принятой в задачах 2 и 3, симметричная фаза абсолютно неустойчива при температурах Т ~ Т . Найти температуру Т, при которой теряет устойчивость несимметричная фаза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
