Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (1185130), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Физической основой замыка- 1 ния уравнения эволюции на уровне сокращенного описания является иерархия временных масштабов Боголюбова, позволяющая ввести для р1Щ новую огрубленную временную шкалу, в которой указанные выше условия выполняются в каждый момент времени. Другими словами, система успевает «забытьъ о начальном распределении быстро меняющихся параметров за время, малое по сравнению с характерным временем изменения функции р (1). Из приведенного рассуждения видно, что основная трудность в получении управляющих уравнений на основе динамического подхода — выбор проектирующего оператора У.
3, В приближении самосогласованиого поля функция Гамильтона для системы заряженных частиц записывается в виде м е. м (( = А~ — (р.— -'А(г(() Яе.е(~.((. (6.23) ;1ИК ( С ( (=1 где (А,(р) — четырехмерный потенциал самосогласован ного электромагнитного поля, с помощью которого определяются напряженность Е электрического поля и индукция В магнитного поля: Е = — с дХ вЂ” Р~, В = го1А, 1дА д р.— канонический импульс с-й частицы системы с зарядом е.
и массой т.. В представлении канонического импульса уравнение Лиувилля имеет обычный вид: (6.25) Записать уравнение Лиувилля в представлении кинетического импульса е Р = р- — 'А(г1), (6.26) вводя в него в явном виде векторы Е и В. Р е ш е и и е. Вычислим входящие в (6.25) производные от функции Гамильтона (6.23) по г и р, выразив результат через определяемый формулой (6.26) кинетический импульс Р . Имеем д- — = — ~р.— — 'А(г,1)~ = — Р.(г. 1) .
(6.27) Для вычисления производной по г, воспользуемся формулой векторного анализа д д д фаЬ) = (ад-)Ь+ (Ь~ — )а+(а,го(Ь1+ ~Ь,го(а1. 114 Получим ррР = — †' [ [р . - -г А( . Г)] 6~-] †' А( . ()- т ~~р с А(г,Е)~, го( — 'А(г.!) + е,((()(г, !). ( С учетом второй формулы из (6.24) это выражение можно пере- писать в виде — — [Р.р-]А(г,)) — ' [Р., 6(~.Г)] ° е.~-Р(г. Г). (6.
28) Теперь нужно преобразовать производные от функции распределения р по г. и ! в (6.25), вычисляемые прн фиксированных р„в производные, вычисляемые при фиксированных Р,. Для ( 1' этого запишем р в виде Р(р, . () = р[Р..-'А(..0 ..)]. Прежде всего видно, что а) а~ Далее [62] = [60(] — 6 - АР 62А(~. Г), (6. 20) ( ( 1' ( так как, дифференцируя р по 1 при фиксированных Р., мы учитываем и зависимость от времени и величины А(г.
!), которая отсутствует в левой части равенства прн вычислении производной по ! при фиксированных р.. Аналогично [6~) = [6~] — -г А е+ 6-„-Ае( . )) . (6.30) С помощью приведенных равенств (6.27)-(6.30) переписываем уравнение (6.25) следующим образом: 6 х' е!8 дА(г!!) л( Р, л ((( е, Р,. л дАп К-.~,—,' 5..— ' .~,[ —.',Ф] -у[.— '.„~ д-.„,"-.]" + Š— '6 661г [Р,6Г„]А( .Г)+ Š— ',[66!; [Р., В(г,()]] - уе,66~ 662 = 0. (=1 ( (' Здесь все производные по ! и г.
вычисляются при фиксированных Р Второе и последнее слагаемые в правой части объелиняются и выделяют напряженность электрического поля в соответствии с первой формулой из (6.24). Четвертое и пятое слагаемые, как нетрудно видеть, различаются только знаком. 115 Поэтому окончательно имеем д ~д Р,( г .1) Д е — „'ф-+ее,(е(~,г)+[ ', ', в(,,г)])ф = о. <а.зз> Это уравнение Лиувилля для системы заряженных частиц, рассматриваемой в приближении самосогласованного поля и записанное в представлении кинетического импульса. Выбрав р в мультипликативном виде (6.5), с помощью (6.31) легко прийти к уравнению Власова (6.7). 4.
Определить электрическое поле покоящегося точечного заряда д в однородной равновесной плазме в приближении само- согласованного поля. Р е ш е н и е. Потенциал поля неподвижного заряда в равновесной плазме дает система уравнений, состоящая из кинетического уравнения в приближении самосогласованного поля, в котором обращен в нуль член с производной по времени: д~ о д( ".Н -4' МГ =' (6.32) и уравнения Пуассона, которому удовлетворяет скалярный потенциал у самосогласованного поля: (6.34) йр(г) = — 4п ~; д ~ с(р ~ (г, р) — 4щ б(г). (6.33) а В этих уравнениях 1 — функция распределения частиц сорта а, я д — заряд частицы сорта а. Равновесная плазма в целом электа ронейтральна в отсутствие внешнего заряда, который помещается в точку с г = О.
Решением уравнения (6.32), как можно убедиться непосредственной подстановкой, является выражение 2 ~(,и = ~ [К-.~ м ф где Š— произвольная функция указанного аргумента. Учитывая, а что при г = м потенциал электрического поля равен нулю, а равновесная функция распределения †э максвелловская функция, зависящая только от импульса, найдем 1 (~,Р) = — — ~ — ~г Р[-гу-[1-" д р(~))~ . (6.35) (2ит кт )з х где л — концентрация, а Т вЂ” температура сорта а. Поскольку а а плазма в отсутствие внешнего заряда электронейтральна, то Ядп =О. (6.36) а 116 денни.
В силу линейности уравнения (6.40) по возмущению достаточно рассмотреть только одну фурье-компоненту. Поэтому, подставляя в уравнения (6.40) возмущения всех величин в виде Е(г 1) = Е(Щ е' г ' перепишем нх следующим образом: (ы+ 1с - Ь1) Ю(")(р, Щ = 1еа Е(М др ~о( )(р) . (6 42) Продольные колебания в плазме соответствуют потенциальному полю: Е = -Ч4). Потенциал 9) удовлетворяет уравнению Пуассона, которое в (к,ь))-представлении имеет вид й (р(1сы) = 4и р(Ы).
(6.43) Плотность заряда р(кь)) выражается через функции распределения частиц: р(1сы) = Яе„~е(рд~( )(р,1ю). (6.44) Выражая из уравнения (6.41) б~ и учитывая потенциаль(а) ный характер электрического поля, получаем с помощью (6.43) и (6.44) дисперсионное уравнение для спектра продольных колебаний двухкомпонентной плазмы, состоящей из электронов (е = -е) н однозарядных ионов (е, = е): е 1 4„,э йа~( ~/ар,„,~ йа~~'~/ар я Взяв в качестве равновесных функций распределения максвелловские функции па 2 1( )(р) = ехр(- О )'2ЪЙ «7 )3 2 ~ ю ) н использовав формулу (6.41), можно записать дисперсионное уравнение (6.45) в таком виде: 1( е) (1) 1,„ Рассмотрим высокочастотные колебания, фазовая скорость которых много больше характерных значений тепловых скоростей электронов и ионов, существенно представленных в системе <и >, (и? < ю/Й.
В этом случае, удерживая вещественную е ' 1 часть в (6.46), вычисляем интегралы следующим образом: )'"' - =(ер)о)")В- = ))ерш" () — "") ь = -),Хер)ь)')ОЕЕ)р) 118 На малых расстояниях, когда длина волны Х 1/й возмущения меньше дебаевского радиуса экраннровання, экраннровка отсутствует н ноны совершают плазменные колебания с частотой и Р; ' Для определения затухания найденных ветвей колебаний следует воспользоваться формулой Сохоцкого ', = ~Я>аа( ) при вычислении интегралов в (6.46). Тогда, используя формулу Ландау (6.12), найдем для ветви колебаний (6.48) > = гЯ т-~- *Р(-(2Й~~~ > ~] .
е Для ветви акустических колебаний указанная процедура приводит к результату (6.52) Теперь уравнение (6.53) переписывается следующим образом: (6.54) з' = Й(ит /8т.)1~~. 6. Получить уравнение для одночастнчной квантовой функции распределения Внгнера ~(г, р,1), используя уравнение Неймана для одночастичной матрицы плотности р ф+ ~[Н,Р] — О, (6.51) где Н вЂ” одночастнчиый оператор энергии. Р е ш е н н е. Раскрывая в явном виде коммутатор (Н,р~ = = Нр — рН, запишем (6.51) в координатном представлении: 87<г~р~г'> + ~(<г~Нр~г'> — <г~РН~г'>) = О. Учитывая полноту базиса разложения ~0г" ~г"><г" ~ = 1, где ~ г"> — дираковскнй вектор состояния, перепишем (6.52) в виде ~«~р)г'> ° ~~О<" (<~)Н! '>< ")р) '> — < )р! '>«" )И)<' ) = О.
(6.53) В силу эрмитовости оператора энергии <г"\ Н ~г'> = <г' ~ Н ~г">, где звездочкой обозначено комплексное сопряжение. В собст- венном представлении любой оператор днагонален. Поэтому справедливо равенство < г ~ Н ~ г' > = Н(г) б(г — г' ). 120 В подробной записи имеем ~ ~ 2 | о | ~ ~ | ~ г йд-~+ ~ — ~Ч -Ч,) — У(г)+ У(г'))<г) р)г'> = О, д Ь 2 2 где (р' — оператор потенциальной энергии (например, потенциал самосогласованного поля). Подставляя сюда выражение для сг)р)г'> через квантовую функцию распределения Вигнера: ~.)р("> = ]рр е.р( рр (~-~ )) ~[-"~ — ",р.~). совершая замену переменных г-г' = ЬФ, (г+г')/2 = К и учитывая равенство Ч вЂ” Ч = 2Ч Чу/6, получим 2 2 ~(рр [нррт. ррррт — о [а ргт] ° о[а-"~] р ~ха,р о = о или (рр' [аррт+ аа-рр — и [а рр~ ° и[а-рг]] рр ~ар р',~~ = р.
Умножая это уравнение на ехр(-~рФ)/(2п) и интегрируя по З найдем [р,рр]аа о 1 (ртре [„[а рр) „[а рт)]„ х е'(««) ~(К, р', 1). (6.55) Уравнение (6.55) — это квантовое кинетическое уравнение в приближении одночастичного гамнльтониана (например, в приближении самосогласованного поля). Это квантовый аналог уравнения Власова. Уравнение (6.55) особенно удобно для получения разложений по степеням Ь. В низшем приближении, ограничиваясь линейными по Ьт членами в разложении потенциальной энергии У в ряд Тейлора, приходим к классическому уравнению Власова. Действительно, в этом случае правая часть уравнения (6.55) равна 1 (Дар ю„~,,Ь« — «)Ф„,, ~аЮ« юд,(» -«)М~(, ~ЛЛ(2, )3 с(Й' ' 3(2, )3 РКЕГр = -~с(р' д)~д — д(р-р') ДК р'.0 = д)э д~ Уравнение (6.55) принимает вид [Ь ар -Вг,]а' о=' 7. Используя линеаризованное по возмущению квантовое кинетическое уравнение для функции распределения Вигнера в П А.С.Кона«атьев, В.П.Романов 121 приближении самосогласованного поля < + к Ч 1 аг(р р 1) — 1 ~'42'4Ме4э' э)~~ (р ) х х У К+2-,1 — (7 й-~-,1, (6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
