Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (1185130), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Рассмотреть двухкомпонентную электронейтральную в целом вырожденную ферми-систему (например, электронно-дырочиый газ в полупроводнике) и показать, что при И ~ р в системе й существует ветвь колебаний с акустическим законом дисперсии. Убедиться, что происхождение этой ветви колебаний связано с динамическим экранированием кулоиовского взаимодействия тяжелых частиц в системе, что делает ее похожей на ферми-сисгему частиц, взаимодействующих посредством короткодействующего потенциала. 3. Найти закон дисперсии для плазменных колебаний электронов в размерно-квантоваииой пленке.
7. ОПИСАНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ УПРАВЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ 7.1. Кинетическое уравнение Больцмана В кинетическом уравнении Больцмана учитываются только столкновения двух частиц друг с другом и пренебрегается влиянием на такое соударение остальных частиц газа: (7.1) Индекс а указывает сорт частиц газа, Р— внешняя сила, действующая на частицы а, ( (р,г,1) — одночастнчная функция распределения. Интеграл столкновений Больцмана (д( /д~) в случае упругих соударений частиц записывается в виде где йг †дифференциальн сечение рассеяния частиц сорта а аЬ и Ь; о — модуль их относительной скорости; Г' и ~' — функции аЬ а Ь распределения частиц а и Ь, зависящие от импульсов р' и р' а после соударения: 1' = Цр'), ~' = ~ь(рь); ~ и ~ — функции импульсов р и рь до соударения.
Координаты частиц при столкновениях не меняются. Интеграл столкновений Больцмана применим в случае короткодействующих потенциалов взаимодействия. Для кулоновского потенциала полное сечение рассеяния оказывается расходящимся. При применении уравнения Больцмана к газу заряженных частиц от этой расходимости избавляются путем учета экранироваиия кулоновского взаимодействия. Уравнение Больцмана (7.1) — это уравнение баланса. Описываемые им переходы идут с соблюдением микроскопической обратимости и законов сохранения числа частиц, импульса и энергии.
Это нелинейное интегродифференциальное уравнение марковского типа. 131 7.2. Уравнение кинетического баланса Паули Уравнение Паули, называемое часто уравнением кинетического баланса или гпаз1ег еоиаПоп, имеет вид ди~. — Я (Р..ьэ. — Р.и.) . (7.3) 1 Здесь ы. †вероятнос нахождения системы в состоянии, харак! теризуемом набором квантовых чисел 1, Р.. †вероятнос переч хода в единицу времени из состояния 1 в состояние с': Р,. а О. Микроскопическая обратимость переходов в замкнутой Ц системе выражается соотношением Р..= Р... (7.
4) ду /ю' ' Величины в. могут трактоваться как диагональные элементы ! редуцированного статистического оператора в представлении, диагонализующем этот оператор: и. = <ЦР~1>, или Р = Я !1>ш.<1) . Е Уравнение Паули сохраняет нормировку распределения вероятностей, обеспечивает монотонный рост энтропии системы и является уравнением релаксационного типа.
7.3. Уравнение Фоккера-Планка Уравнение Фоккера †План используется для статистического описания динамических систем с флуктуирующими параметрами (иапример, броуновского движения). Рассматривается нелинейная динамическая система, описываемая величиной $~(1) = = (Я (1), ..., г, (1)), удовлетворяющей системе динамических уравнений 91) = о,(Ь)+ф1) (7. 5) Здесь о.— определенные (заданные) функции, а 1.— случайные 1 функции со свойствами <1,(г,1)> = О, где угловыми скобками обозначено усреднение по ансамблю реализаций функций Статистические характеристики 1.(г„, 1) определяются заданием с корреляционного тензора В..(г1;г'1') = <1~г„1) 1.(г',1')> (7.6) В теорий, основанной на уравнении Фоккера — Планка, различаются два характерных временных параметра: т — радиус коро реляции случайных сил 1.
по временной переменной и Т вЂ” время корреляции величин е.. Для большого класса физических сис- 1Э2 тем Т ъ т и существует малый безразмерный параметр т /Т, который может быть использован для построения приближенного решения. В простейшем приближении г = О и величина В.. Ц выбирается в виде ) г = (х, ..., х ), А„= ~( — Р,(г,г',1) [ Уравнение (7.9) решается с начальным условием Р (г) = = б(г-~ ) или с условием более общего вида Ро(г) = В' (г), где г„ соответствует определенным значениям переменной г(г) в начальный момент времени. Если поле случайных сил стационарно, то Р, и Аь не зависят от времени.
Если к тому же 7, однородны и изотропны по всем пространственным координатам, то Р = сопз1, а Аь = О. ЗАДАЧ И 1. Показать, что интеграл столкновений Больцмана обладает свойством Я1нр (а ° а,р +ар)[~г-) = О, а ст (7.10) где а. = а(г,г) — произвольные функции г и г. г с Р е ш е н и е. Возьмем интеграл столкновений (7.2) Больцмана и рассмотрим интеграл (7.11) 133 В,.(г1;г'$') = 2Б(1-1') Р,.(г,г',1) . (7. 7) Такое приближение называется приближением диффузионного случайного процесса. Оно приводит к уравнению Фоккера — Планка для плотности вероятности Р,(г) реализации решения $;(1) системы уравнений (7,5): Р(г) = <д(г — ф))>, (7.
8) где ф) — решение системы (7.5) для какой-либо определенной реализации случайных сил Цг,г): урР,( ) = -яг — ([» (~,!) + А„(г,~)]Р(гД+ г г — ~ — -[Р ~~д,~) Р~г)), (7.9 где (р(р) †произвольн функция импульсов. Модуль относительной скорости и ь и сечение рассеяния йг ь одинаковы для пря- аЬ аЬ мых и обратных соударений, а фазовый объем при столкновении сохраняется: Ра РЬ Ра РЬ Чтобы убедиться в справедливости этого соотношения, перейдем к новым переменным: Р = (р + р )/2, р = р — р .
Элементарным вычислением якобиана преобразования убеждаемся в том, что (р (р, = (Р (р. Аналогично можно записать выражение Р„ РЬ = ~~ Р ° причем Р = Р', так как импульс при столкновениях сохраняется. Таким образом, дело сводится к доказательству соотношения др = Нр'. Вследствие закона сохранения энергии при упругих соударениях справедливо ~р~ = ~р' ~ и связь между р н р' осуществляется обычным преобразованием поворота в пространстве. Отсюда следует, что ар' = 0р. В силу указанных свойств выражение (7.11) можно переписать в симметризованном виде: ) = ~е)Ф,Фша„~,~ (Фр,) + ар,) — ар',) - ж)ю~))))'),'-) )~) . (7.12) Выберем 2) в виде 4) = а+ар+ар.
(7.13) Поскольку при соударении двух частиц выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии: 2 2 2 2 / а Ь а Ь 2ь й 2ж Га а Ь а Ь то ~(~ а) (рЬ) ~ (ра) ~(р Ь) Таким образом, выражение (7.12) при выборе 4) в виде (7.13) одновременно и симметрично, и антисимметрично по отношению к замене р ~~ р', рЬ ~ ~р'. Значит, оно равно нулю, что и доказывает соотношение (7.10).
2. Исходя из уравнения Больцмана получить систему уравнений гидродинамики для плотности р(г,1): р(г,г) = Я,п т, и (г,1) = ~при (р,г,1), (7.14) 134 и гидродинамической скорости и(г,г): и(г() = — Ел и <ч >, <ч > = — ~Ирч 7 (р,г1), 1 1г а а Р е ш е н и е. Проинтегрируем уравнение Больцмана (7.1) по импульсу. Учитывая определения (7.14), (7.15) н свойство (7.10) интеграла столкновений Больцмана, получаем дл ~-~-~+ о-(л <ч >) = О, поскольку 7 (р) = 0 при ~р~ = в . Удобно ввести скорость лоа кального теплового движения ч' (р,г,1): а ч' (р,г,() = ч — и(г,1) . (7.17) Тогда <7 > = — „~Нр 17 7 (р,г,() и справедливо равенство г й ~„'л т <ч' > = Я,п т <ч > — и Яп т = О. а а а а а а а а в й а Подставляя в (7.16) соотношение <ч > = а+ <ч' >, переписываа а (7.16) (?.18) ем его в виде дп ~"у — + Йч (и ц+п <У >) = О.
(7.19) Умножая (7.19) на и и суммируя по сортам частиц, получаем с а учетом определений (7.14) и (7.15) и свойства (7.18) ф+ йч(ри) = О. (7. 20) Р„(~Д = Яи л <~ У „> . а Соотношение (7.20) представляет собой уравнение непрерывности гндродинамического потока газа. Для получения уравнения движения газа умножим кинетическое уравнение (7.1) на и ч' = т (ч -и), проинтегрируем по импульсам н просуммируем по сортам частиц. Учитывая свойство (7.10), результат можно записать в виде д ~Д;т п <ч > + ~(- ~;и и <и .Ч >— д дЧ дч' — Яп 1т < (7 > + и <и .~( — ~ >+ Г = О.
(7.21) д Рассмотрим отдельные слагаемые в соотношении (7.21). Вводим тензор давлений Р„(гД: Р,~(г,1) = Ят п О/ У,ь> . (7.22) а В силу свойства (7.18) это выражение можно записать и так: 135 (7. 24) (7.27) где <У' Ч > = — ~др У 'У ~ (р,г,Ц. й Тогда в силу (?.25) и (7.27) имеем 2Ял т <ч У > = 2.Ял т <(и+У )У > = и+ и.2 лкТ. 1 г 1 г .3 й а Далее с учетом (7.17) и (7.18) имеем -~Я л т <~7.~> = Яи т <Ч у~-~> = — д~Я и т <У > = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
