Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (1185130), страница 21
Текст из файла (страница 21)
% Коэффициенты С и С находятся из начальных условий С„С (и-1) Со С + = 1, — — = О. % 'и( -Т~ 'л 'л~л-Т~ Решая эту систему, находим Итак, в(1) = ф1+(и-1)е "Р1, в„(1) = -„-(1-е "е), й = 2, 3, ..., и. (?.50) 143 Эти векторы нормированы на единицу, ортогональны вектору ф и ортогональны друг другу с точностью до членов порядка 1//й . В соответствии с формулой (?.4?), учитывая вырождение Л. (~' ~с 0), можно записать выражения для и® в виде Р)=С1 +С и 1 е "ги, о сп При и ъ 1 отсюда находим в(!) = -„+ е "~~, а„(!) = — (1-е "е~), а = 2, 3,..., п. Эту задачу можно, разумеется, решить, непосредственно обращаясь к уравнению (7.3).
Поскольку все ы. равны и, при ! 1,! Ф 1, то это уравнение преобразуется к виду щ1(!) = Р(п — 1)(жа — и1), ша(!! = Р(ш! — ша) и = 2 3 "' и. (7.51) Ищем решение в форме и1(!) = С1е, на(!) = С2е, й = 2, 3, ..., и. Подстановка этих выражений в уравнения (7.52) приходит к следующему условию существования нетривиальных решений: а + р(п-1) -р(п-1) = О, Р а Р откуда а! = О, а = -пр. Найденные значения а позволяют записать выражения для вероятностей ~и(!) в виде с ю(!) = В В е "Р„в„(!) =  — т2 "Р~, (7.52) Использование начальных условий дает следующие значения В и В: В = 1/п, В = 1-1/п, 2 и выражения (7.52) совпадают с (7.50). 10. Записать уравнение Фоккера — Планка для маятника с одной степенью свободы, помещенного в термостат, состоящий из молекул газа, непрерывно бомбардирующих маятник.
Р е ш е н и е. Уравнение движения маятника имеет вид 7(р+Ч+ тИ!з1Ч = й?+й!,(!), (7.53) 144 где ! — момент инерции, т — масса маятника, ! — расстояние от точки подвеса до центра масс. Угол 1е характеризует отклонение маятника от вертикали, к описывает сопротивление движению маятника, пропорциональное скорости, Ж и Ж,(!) — соответственно заданный момент внешних сил и момент случайных сил, действующих со стороны молекул.
Корреляционная функция случайных сил аналогично (7.?) записывается следующим образом: (Ж ( ) М(!') = 6(! — !'). (7.54) Вводим обозначения аР = ту1/1, 1/т = к/Х. Теперь уравнение (7.53) переписывается в виде (р+ ~~+ и з1пЮ = у(Н+й~1(1)). 1' 2 ° 1 (7,55) Перейдем от (7.55) к системе уравнений первого порядка, Вводим момент импульса 7. как производную от кинетической энергии по угловой скорости движения Ю: Е = дЕ /др = 1(р. Теперь вместо (7.55) имеем (р = 7, А = — — -Лд созф+ У+ У(1). 2 (7.56) Если ввести функцию Гамильтона 1г Н = Е„+ Е = ~7 — вд1созу — Фу, (7.57) то системе уравнений (7.56) можно придать вид системы уравнений Гамильтона: ю = ~~-, А = — а — — — + У (1). ° ан ан е (7,58) Соответствующее системе (7.58) уравнение Фоккера — Планка, согласно (7.57), записывается в виде а .1а ан а и Р(3- Ю Тэжра Я РФ жр(3-Я вЂ” — ат ~е Р ((.,(р)! = — — Р (1.,д>), (7.59) 1д г 1 7'яТд т ~ ' т а72 ( 11.
Рассмотреть броуновское движение маятника, описываемое уравнением (7.59), в отсутствие внешних сил (Е П = сопз1). Считать, что в начальный момент имеется равномерное распределение по углу у: Р (7,Я = Р (Е). Р е ш е н и е. Уравнение Фоккера — Планка (7.59) в рассматриваемом случае принимает вид аР 7 дР, 1 7дР 7йТд Р (7.60) Из уравнения (7.60) видно, что равномерное распределение по углу у сохранится н во все последующие времена: Р,(1.,р) = РЯ. Теперь имеем вместо (7.60) 1 ~аР, тта (7.61) 145 з+З/т = 1/т.
(7.69) Соответствующее начальному условию у(0) = 0 решение уравнения (7.69) записывается в виде з'(1) = 1 — е (7.70) Подставляя (7.70) в (7.68) и выполняя интегрирование по от нуля до 1, получаем при учете начального условия 1/Р = 0: 1 4тлТ ~ т 3 4е ~lт -21/т ф (1) С помощью выражения (7.67) можно найти среднее значение квадрата угла поворота маятника из положения 47 = О, существовавшего при ! = О, к моменту времени 1: 07 127 <р'х = (а.р ~ц [руйва р(-р'р1[Р-утурЦР'. -ОЗ Оу 147 весное максвелловское распределение по моменту импульса но неравновесное распределение по углу (р: Р,(Е,Я = Р Я х х д(у).
Внешние силы отсутствуют. Р е ш е н и е. В рассматриваемом случае уравнение Фоккера-Планка имеет вид (7.60). Ищем его решение в виде Р~И.,Р7 - "Р Я вЂ” 2711ехР(2 711[2 — Ут 7717]). 17 271 Такое выражение выбирается для выполнения условия сохранения нормировки плотности вероятности Р (Е, ур) в любой момент времени, так как для входящего в (7.67) множителя, зависящего от (р, справедливо равенство 02 п77 (ур р[-211(ю-,'- мо)') = 1. Выражение в квадратных скобках в показателе экспоненты соответствует тепловому развитию д-образного начального распределения по углу за счет движения молекул термостата.
Очевидно, что при 1 = 0 должно быть выполнено условие у(0) = О, 1/Р(0) = О. Подставляем (?.67) в уравнение (7.59). После несложных алгебраических преобразований получим $ ° -7 — 2 у ) [1 — 22 [р-уту) 1+ 22 у[р- уту)(ту+7-1) = О. Отсюда следует, что Р и у удовлетворяют уравнениям Р/Рз = — (2тяТ/1)у~, (7.68) (7.65). Таким образом, и в этом случае за время т/2 происходит установление равновесного максвелловского распределения по моменту импульса. Это распределение устанавливается независимо от характера начального распределения по углу р. Подставляя а(1) из (7.65) в (7.77), получаем следующее уравнение для З'(Г): тЗ + зс1Ь(1/т) — 1 = О.
(?.?8) Р„ЯМ = Р(1.) о(Ю). (7.81) Подставляя выражение (7.81) в уравнение (7.59) и интегрируя по углу р, получаем, считая функции Р(Ц и а(1Э) нормированными: ?йт — Р(?) + (?.-?. ) Р(?.)+ Р(Ц = 0, д2 д ц2 о (7.82) <дН. ~",» ( ) дН (7.83) представляет собой усредненный по углу (р момент импульса, соответствующий «дрейфу» под действием момента силы -дН/др. Непосредственной подстановкой в уравнение (7.82) можно убе- диться, что решением (7.82), ограниченным при Е -~ +я, явля- ется функция (7.84) 149 Его решение, удовлетворяющее условию з(0) = О, записывается следующим образом: З(г) = сФИ/т)- (7.79) Отметим, что у(1) + 1 при 1 ъ т. Используя выражение (7.79), легко проинтегрировать уравнение (7.76) для Р(~): 1 4тФТ [, ~ ~,)) (7.80) Р~(1) Соотношения (7.79) и (7.80) соответствуют медленной диффузии в координатном пространстве.
14. Показать, что при произвольной потенциальной энергии Е (р) броуновское движение маятника приводит к установлению п стационарного распределения по моменту импульса независимо от вида начальных условий. Р е ш е н и е. Будем искать установившееся при 1 -э а стационарное решение Р (Е,Я уравнения Фоккера — Планка (7.59) в факторизованном виде: Это распределение максвелловского вида, центрированное около значения 1. = Ео, определяемого дрейфом в поле внешних сил.
Очевидно, что стационарное среднее значение 1. равно 1.о: — ~'Р~ Р(~)~ = 7-о Таким образом, для нахождения среднего значения момента импульса Е (нли среднего значения (р = 1/1) необходимо знать о стационарное распределение по углу а((р). Напротив, средний квадрат флуктуации момента импульса 1. можно определить, не решая уравнения для о((р).
С помощью (7.84) находим <(с-~) > = 1а. р(- )~.-у = ~нт. 2 1 ( 0) 2 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Пользуясь уравнением Больцмана, получить равновесную функцию распределения для системы, находящейся в постоянном во времени внешнем поле.
2. Показать, что уравнение Больцмана необрати мо, т.е. если 1(х,1) — решение, то 1( — х,— 1) не обязано быть таковым. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ахиезер А.И., Пелетминский С.В. Методы статистической физики. — М.: Наука, 1977. — 367с. 2. Базаров И.П., Геворкян Э.В., Николаев П.Н. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем.— М.: Изд-во МГУ, 1986. — 310с. 3. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т.1. — М.: Мир, 1978. — 405 с.; Т.2. М.; Мир, 1978. — 399с.
4. Боголюбов Н.Н. Избранные труды по статистической физике. — М.: МГУ, 1979. — 342с. 5. Горов К. П, Основания кинетической теории. — М.: Наука, 1966. — 351с. 6. Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика, — М.: Наука, 1971. — 415с. 7. Исихара А. Статистическая физика. — М.: Мир, 1973. — 471с. 8. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем. — М.: Изд-во МГУ, 1987.— 559с. 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
