Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (1185130), страница 18
Текст из файла (страница 18)
56) где (6.5?) о1(Й,Р,1) = о1(Р,Кы) е'" Уравнение (6.56) теперь переписывается следующим образом: [и-.~]ч(р,ьо) = ~[~ [р — ~-"] — ~ [р ° р-]]у„ф(ь~) (б.58) В выражении (6.57) стоит свертка по К' величин о(К-й') н о((Й'), которая приводит к произведению их фурье-образов: э( ) ()1 3 (6.59) (2пй) Выражаем о?(р, Ею) из (6.58) и подставляем в соотношение (6.59).
Приходим к дисперсионному уравнению 1 — и($с) Р($ио) = О, (6.60) где поляризацнонный оператор Р(й,и) определен выражением 1~ а ~о(Р ""/2) ~о (Р+ Р(Ы) = Е 2„„ з ы — р т (6.61) 122 (? (К, г) = ] — — ~ о(К вЂ” К' ) оДК', р, г), и — потенциал межчастичного взаимодействия, рассмотреть спектр коллективных возбуждений в вырожденцой ферми-системе. Сравнить результаты для кулоновской системы, когда о(К) = = е /Й, и системы нейтральных частиц, взаимодействующих посредством короткодействующего потенциала. Р е ш е н и е. Для определения спектра коллективных возбуждений системы необходимо с помощью (6.56) и (6.57) получить дисперсионное уравнение.
Отметим, что в случае системы нейтральных частиц это будут продольные колебания, характерные для пространственно однородной системы. Для системы заряженных частиц это также будут продольные колебания, поскольку соотношение (6.57) при подстановке в него выражения и(К) = е /й превращается в решение уравнения Пуассона. 2 В силу линейности уравнений каждую фурье-компоненту возмущения можно рассматривать независимо.
Поэтому выберем возмущение в виде Для вырожденной ферми-системы равновесная функция распределения — это фермиевская ступенька. При этом 2 м-"-")-м % Ф'Ы-Ы Интеграл в (6.61) легко вычисляется. Для я = ц+ ~е, где е -в +О, получаем тРР ЙРР— тм Р(Ь)) = — 2 З 1+ уу — !п +„+ ~ПО(йрр — та), (6.62) где рр — импульс Ферми, а 6(х) — ступенчатая функция: 1, х в О, 8(х) = О, х ~ О.
Для исследования дисперсионного уравнения (6.60) удобно ввести безразмерные переменные о), д = тр„/(н й ). часть уравнения (6.60) записывается х = Йрр/(т Теперь вещественная следующим образом: (2 ° -„~й — )» = !п~-*--~-~ . (6.63) Рис. 2. Графическое решение уравнения (6.63) 6 123 Уравнение (6.63) удобно представить графически. График логарифма выходит нз нуля с тангенсом угла наклона касательной, равным двум, а тангенс угла наклона прямой (2 + 2/(и(й)д)1 к при о(я) ~ 0 (что соответствует отталкиванию частиц друг от друга) больше двух и становится равным двум прн о(я) ~ со.
Как видно из рис. 2, уравнение (6.63) имеет три корня. Корень х = 0 физического смысла не имеет. Корень, обозначенный точкой 2, соответствует затухающим по Ландау колебаниям, нбо при х ~ 1 в уравнении (6.60) отлична от нуля и не мала мнимая часть. Корень, обозначенный точкой 1, соответствует не затухающим по Ландау колебаниям в системе. Рассмотрим его поведение в зависимости от вида потенциала взаимодействия и(я). Если и® стремится к положительной константе прн е -» 0 (короткодействующий потенциал) и о(я) д э' 1, то пересечение графиков логарифма и прямой происходит в непосредственной близости х = 1. Из уравнения (6.63) в этом случае находим для частоты колебаний (6.64) Эта ветвь спектра коллективных возбуждений вырожденной ферми-системы нейтральных частиц представляет собой нулевой звук Ландау, который существует в системах с отталкнвательным взаимодействием между частицами.
Подчеркнем, что исходное уравнение соответствует приближению ь)т э 1 (т — время релаксации), когда столкновения не играют существенной роли в процессе распространения колебаний, в то время как в обычном звуке (при ыт ~ 1) столкновения успевают устанавливать термодннамическое равновесие в каждом малом по сравнению с длиной волны Х элементе объема жидкости. В случае кулонов- ского потенциала г)(л) = 4пе /А -» )в при я -» О.
Точка 1 прн 2 2 этом смещается в область х ~ О. Проводя в (6.63) разложение логарифма, получаем 2 4пе 3 Ге2 2 р (6. 66) где р . = Ь Зп и. Формула (6.65) определяет квадрат частоты З З. п2 плазменных колебаний, главное значение которой оказывается таким же, как и у классической системы. С ростом )г точка пересечения поднимается вверх. Исследование уравнения (6.63) показывает, что прн выполнении условия [4 е'/)п»р„)]' ' с Й/р„««! в системе возможны колебания с практически линейным по волновому числу законом дисперсии о = — 1 + 2 ехр -2 1+ 4те р.
124 Таким образом, плазменные колебания в системе заряженных частиц соответствуют нуль-звуковой моде колебаний в нейтральных системах. При я -+ О линейный спектр, характерный для нейтральных систем, заменяется практически постоянной частотой. Математически это различие обусловлено сингулярным характером кулоновского потенциала. 8. Используя уравнение (6.4) для одночастичной матрицы плотности в координатном представлении, получить квантовое кинетическое уравнение для функции распределения Вигнера для электронной системы металлических пленок в условиях квантового размерного эффекта, когда движение электронов поперек пленки квантуется размерами образца. Р е ш е н и е. В рассматриваемом случае система ие является пространственно однородной в направлении поперек пленки, поэтому определенная обычным образом функция Вигнера будет зависеть от поперечной координаты даже в равновесии.
Представим оператор потенциальной энергии электрона в пленке в виде суммы двух частей: Цгг) = Цз) бЦП), (6. 66) где У(з) — эффективное поле, действующее на электрон в равновесном состоянии, складывающееся из кристаллического пленоч- ного потенциала н самосогласованного равновесного поля электрона, а И/ — неравиовесная добавка к эффективному полю. Уравнение для одночастичной матрицы плотности <г~р~г'> в координатном представлении (6.4) теперь можно представить в виде с й2 В~~ ° г — (ч -7 ) — У(~~ ° У(г'~-6У(г~)+ Щи'~)~<г)Р( '> = О. (6.67) В равновесии движение электронов поперек пленки описывается уравнением Шредингера с потенциалом (/(г): й2 ~2 ( — р — - — О(2)] ф<(*) = с ф~2).
Вводим новые двумерные переменные в плоскости пленки: К = 2 (г + г'), М = г — г', где г = (г,г). Представим матричный элемент <г~р~г'> в виде интеграла Фурье по переменным, лежащим в плоскости пленки, и 125 однородной системы линейных алгебраических уравнений во„~ь,и~ - е (в'„'„~ч~~ы>. и ~ц и„, (ьи>) ьи,р,и~, х,г~ (6.79) где, например, выражение для электронного поляризационного оператора П~~(йы) имеет вид "/2 Н.(р'""/2) 3(~„,р ы — рт -е +е П (й„,,) „Г (6.80) Решение дисперсионного уравнения в общем виде сводится к исследованию определителя бесконечного порядка и представляет собой сложную задачу.
Эта задача существенно упрощается в длинноволновом приближении, когда АЕ < 1, где 1 — толщина пленки. Вычислим прежде всего двумерный фурье-образ кулоновского потенциала межчастичного взаимодействия, определяемый формулой (6.77). Фигурирующий там интеграл вычисляется с помощью интегрального представления функций Бесселя 7 (а): 2Е 7 ( ) 1 $г,1 — ейи'~~ — дъф 2Ю о и формулы преобразования Ганкеля первого порядка и | Ыхх ! (ху) -сд — — Кес О, у»0.
2 2)1 2 о В результате имеем 2п 2 о(!х1,Е) = — ~ — е (6.81) При АЕ ~ 1 экспоненту в формуле (6.81) можно заменить единицей. Тогда при любом выборе равновесного потенциала в пленке У(х) (и, следовательно, волновых функций ф,(х)) имеем, например, с помощью (6.76) 2 В (ь) 2 х 6 ИГИ ~~ лГ 51 Теперь бесконечная система уравнений (6.79) приводит к дисперсионному уравнению 2пе Йд- е (п,~ьо> ° и "~ки~] (6.82) Фазовая скорость ионного звука и/Й лежит в промежутке между характерными скоростями движения электронов и ионов иОН ЭЛ 128 При вычислении ионного поляризационного оператора П"'"фю) лл раскладываем равновесные ионные функции распределения 7 в л ряд Тейлора по степеням А и учитываем, что средняя равновесная концентрация электронов и , находящихся на з-м пленочном уровне, равна = Д~ — "Р— 21(Р) (6.83) рпр,)2 При выполнении условия кр/(т о) < 1 получаем Я П "~"(ка) — " л кк 2 ион где и — концентрация заряженных частиц, одинаковая для электронов и ионов.
Вычисление электронного полярнзацнонного оператора при условии кр/(т и) ъ 1 приводит с учетом равенства (6.83) к следующему результату: е ~ли) = — ~Я (6,85) где р — химический потенциал системы электронов. Концентрация электронов и при абсолютном нуле температуры определяется соотношением, следующим из (6.83) после вычисления интеграла по импульсной переменной: (6. 84) т л и = " ~(р-е), „г (6.86) 129 где и — число заполненных энергетических уровней в планке. Г Поэтому с помощью (6.85) получаем ЯП"(М) = -т и„/(пай ). (6.87) Закон дисперсии ионно-звуковых колебаний, получаемый при подстановке выражений (6.84) и (6.87) в дисперсионное уравнение (6.82) имеет вид й = (гйаЕ/(т т л )]Й.
(6.88) Скорость распространения таких колебаний в условиях размерного квантования движения носителей оказывается, как видно из (6.88), осциллирующей функцией толщины пленки. Действительно, с ростом Е скачками увеличивается число заполненных при абсолютном нуле температуры пленочных энергетических уровней и„ . ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Показать более аккуратным вычислением поляризациоиного оператора (6.61), что спектр нульзвуковых колебаний в ферми-системе нейтральных частиц лежит выше верхней энергетической границы спектра квазичастичных возбуждений ь! = йр„(т+ М /(2т) и дается выражением и = [ ° р — )(! ° 2екР[-2[! -т!1 — Щ. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
