Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (1185130), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть ось х перпендикулярна поверхности стенки, с которой рассматривается столкновение молекул газа. Рассмотрим молекулы, проекции импульса которых на ось х лежат в интервале р, р + др . Очевидно, что в единицу времени столкнутся со стенкой те из молекул, скорости которых 43 о направлены к стенке и которые успевают достичь стенки за единицу времени. Очевидно, что число таких молекул равно (Р /т)ехр(-р /2тяТ)йр Р +Р ии = а х е * (Шр ир ехр[-Гфр ], (2.40) (2пиееьТ)з 2 к г где л — средняя концентрация молекул.
Действительно, в равновесном газе отсутствуют выделенные направления, поэтому движение молекул в направлении, перпендикулярном оси х, не влияет на столкновения молекул со стенкой, которые определяются только движением вдоль оси х. Чтобы найти полное число столкновений в единицу времени, следует проинтегрировать выражение (2.40) по р в пределах от 0 до 00: 00 2 ш 2 2 и = 4 ии = — — — [ ир — ехр[- 2 — у~] 4 ир ир ехр [- 2-хир*] .
о -00 (2.41) Выполняя интегрирование, находим и = (1/4)ло, (2. 42) где гр — среднее значение модуля скорости в равновесном газе: 6 ех р' 8'яТ/(пт) . (2.43) 44 11. Определить среднюю энергию молекул максвелловского газа в веерообразном пучке, который выходит через небольшое отверстие в стенке сосуда в вакуум, и среднее значение коси- нуса угла между направлением скорости вылетающих молекул и нормалью к стенке сосуда.
Р е щ е н и е. Среднюю энергию <е> молекул в пучке можно найти, поделив выносимую пучком в единицу времени энергию Е на число вылетающих молекул, равное, очевидно, п. Подсчитать значение Е можно, сообразив, что по формуле (2.41) предыду- щей задачи определяется именно число вылетающих частиц.
Если умножить подынтегральное выражение на р /(2т), то эта форму- 2 ла будет подсчитывать уже выносимую пучком энергию: Р Р, Е = †" — е 2 ] ир — *ехр [- 2 †ф~ ] (Шр др ехр [- 2 †,рх] †2-"— и -00 (2.44) Интегрирование в (2.44) проще всего выполнить, перейдя к сферической системе координат в пространстве импульсов, направив полярную ось вдоль х. Тогда 2п пlв м ы - ††6 †.~2(юр (арм в сова)'ар р'е~р(- 2 ).
р.4ь~ 2т (2итйТ) о Интеграл по модулю импульса вычисляется с помощью интегрального представления Г-функции. В результате получаем Е = 2яТи, где и определяется формулами (2.42) и (2.43) предыдущей задачи. Поэтому <е> = Е/ц = 2яТ. Доля <быстрыхъ частиц в пучке выше, чем в равновесном газе. Аналогично можно получить ответ и на второй вопрос в условии задачи. Для этого нужно в выражении (2.41) предыдущей задачи перейти к сферической системе координат с полярной осью вдоль х и умножить подынтегральное выражение на соз 6. Полученное значение интеграла следует разделить на и. После несложных преобразований найдем <созВ> = 2/3.
ио 6 <г) = 1 дг аеюр(-тра/мт)[~ шгекр(-танк/йт~) 1. (2.4б ) о 0 Элементарное вычисление интегралов, входящих в (2.46), приводит к формуле < АТ Ь О ту ехр(глу'Б~БТ):Т ' выражение 45 Отметим, что приведенное решение имеет смысл только в том случае, когда выходящий пучок не нарушает теплового равновесия газа в сосуде, т.е.
когда число вылетающих молекул много меньше полного числа частиц в сосуде. 12. Определить среднее значение высоты молекул одноатомкого идеального газа, рассмотренного в задаче 3. Р е ш е н и е. Поскольку координата молекулы г не является термодинамической переменной, то ее среднее значение удобно находить с помощью функции распределения. Выражение для функции Гамильтона системы имеет вид (2.20), поэтому функция распределения по координатам распадается на произведение функций распределения отдельных молекул. В результате для среднего значения координаты х оказывается справедливым выражение Легко убедиться, что полученное выражение дает правильные результаты в рассмотренных в задаче 3 предельных случаях: <г) -р Ь /2 при тдйп/ЯТ) с 1, <~> -р 0 при гп~йп/(аТ) > 1.
ехр -рН г,-,~-„- ф (г) = ехр(-РЕ ) ф (г). (2.50) С помощью (2.50) выражение (2.48) можно переписать в виде <~(ехр[рн[г,, Е-]]( > = ехр[ Ен(г,, рг]] ЕР (г)Р (г). Л Используя свойство полноты системы собственных функций опе- ратора Н Х Ф (,) Ф*„( ) = Ж~,— ) приходим к формуле (2.47).
Обратим внимание на то„что формула (2.47) определяет ненормированный оператор плотности. 14. Построить оператор плотности одномерного гармонического осциллятора в координатном представлении. Р е ш е н и е. Как и в предыдущей задаче, будем рассматривать ненормированный оператор плотности. Аналогично (2.48) 46 13.
Показать, что в координатном представлении оператор л л л плотности р для системы с гамильтонианом Н(г,р) может быть записан в виде <г (ехР[-НН [~,-р-]] (г > = ехР [-РН[г;,Е-]]Р(г-г ) (2.47) Р е ш е н и е. Будем исходить из выражения для оператора плотности в координатном представлении <г (ехр[-РН[>7Е]](г > = хехр(-РЕ„)Р„(г)Р'„(г ). (242) Л где собственные функции ф (г) и собственные значения опера- Л тора энергии Е определяются уравнением Шредингера для ста- Л ционарных состояний Н [г., р-] Р (г) = Е Р (г). (2. 49) л Используя понятие функции от оператора р(А) как оператора, у которого собственные функции Ф совпадают с собственл Л ными функциями оператора А, а собственные значения (р равны Л значениям функции фА ) от собственных значений А оператора л Л Л А, имеем имеем <х [ехр(-РН(х)) [х ) = Яехр( — фЕ„) ф„(х ) ф„(х ) . (2,5ц л Для гармонического осциллятора собственные функции 9 (х) и л значения энергии Е даются формулами л Р (х) = [ОО) (2"л() ехр[-НО (Е), Ел ~~ +2 (2.54) 1 ехр(-Рйь)) (а.„) = 2 ехр(-Рль)) 1 [а.
[ = 4[1 — ехр(-2РЛь)Ц, 4? (2.52) где Н (д) — полиномы Эрмита, 4) = (л2ь!/Ь) х, л = О, 1, 2,..., 1/2 О (р) = (-!)"ехрае[О-) ехр(-а). (2.23) Для вычисления по формуле (2.51) удобно воспользоваться интегральным представлением полиномов Эрмита 2 Н (4)) = и еО )(((и (-2!и)" ехр( — и +2щи) . — О) Теперь соотношение (2.51) пе впишет ..'. едтк)щнм образом: 2 2 ОО хх,(ехр(-ОО(х)))~2> = [ОО] „-е*р[-12 — ) ! »иае х~ — Рлх>- л=о х ехр -Рль! и+~~ — и +2(д и — 2) +22д а . (2.55) 11 2 ° 2 1 2 Под знаком суммы по л в (2.55) стоят слагаемые, соответствующие разложению ехр[ — 2иоехр(-Щь))1 в ряд Тейлора. Поэтому выражение (2.55) можно переписать в виде 2 2ОО <» (ехр(ОО(»)) (» > = [»2) -ехр-2 — ) аи алехе[-~2) х — ф е р[- +2>Е,»- ° 2>Е е-2 ехр(-Охи)~ .
(2.22) 2 ° 2 Для вычисления интегралов в (2.56) можно воспользоваться формулой ( 1 л .л )а» ... а» ехр)-2 р а. хх ° (ррх) (',)2=1 1=1 ';й ' -1 где [а [ — определитель матрицы (а.„), а (а „) — обратная матрица. В рассматриваемом случае а обратная матрица — 1 1 -ехр(-Яйьр)( й) 2~Т:ехР~:БДЮ~Д~ ( Я~, ) Теперь получаем Г1-ехр(-2Яйи) 2+ 2 х ехр] — 2 — -ех — ьр [(((1 2д1(?2 ехр(-ЯМ+Ч2ц ' (2.57) Используя сотношения 111 Ьи сЬ ль1 -1 эЬ Ьь1 э ю +с ьр ' можно привести (2.5?) к виду 1/2 «у(* Р(-НН(х(((хх» = [р»Л»Л-(рте~] ехр(-ф~ [(х х ( (Л«Г-+ (х;хе( е(Л»р]). (РЕЛ( Не представляет труда вычислить нормированный оператор плотности.
Полагая в (2.58) х1 — — х2, находим ОФ вЂ” 1/2 Лр-р(-НН( = ( Нх <*(ехр(-НН((х> = [р»Л(рри( (Л~рн] В результате получаем <х1 [ехр(-ЯН( х)) ]х2~ Р(х,х .— 1' 2) [Я (лнрн] ехр[- Я[(х+х (~(лхлр~ ° (» -х ) е(лррлн]) . 15. Спнновый гамильтониан электрона в магнитном поле Й = -роВ, л где р — магнетон Бора, о' — спиновый оператор Паули„ — индукция магнитного поля. Считая ось г направленной вдоль магнитного поля, найти среднее значение о' в ансамбле с фиксиро- г ванной температурой. Р е ш е н и е.
При указанном направлении магнитного поля гамильтониан (2.59) переписывается так: л Н = -рВо;, л Используя понятие функции от оператора, запишем ехр(-ЯН) в виде хе ехр(Я)1В) О ехр(-ЯН) = О ехр( — ЯрВ) Видно, что нормированный оператор плотности можно записать: ~ехр(Р(.г) 0 2сР(-'В) ~ 0,хр( рцВ) л Теперь для среднего значения о' ймеем <о,> = Ьр(ро,) = ЩЯрВ). Ответ можно получить, не находя явного выражения для опеле ратора плотности. Поскольку о ' = 1, то справедливо равенство 1 л ехр(ДцВо ) = Я -„-гфрВо )" = п=О (РиВ) 1+ Е (2~~Т)т-(РрВ) + о .
(2.60) ь-о ь-о В правой части выражения (2.60) стоят разложения в ряды Тейлора гиперболических синуса и косинуса: л л ехрфрВгг ) = сйфрВ).7+ зйфрВ).гг . ~и = зи Й""~1-и ~ гй'~~4) 1 1 Ь Ж! г=О (2.61) где У(д) — потенциальная энергия вия, удовлетворяюшая условию ц ) ° В(~( межчастичного взаимодейст- (2.62) В выражении (2.61) можно выполнить интегрирование по импульсным переменным: «2ПВКТ) ъиl2 ам — Ьзуу1 'У Теперь легко видеть, что л л л Бр ехр(Дно) = 2сЬ(ДцВ), Ьр ~гг ехрЯрВо' )1 = 2зЬ(ДцВ). Из последних выражений следует, что л л Бр ~о ехр(ДиВо. )1 < о' > — ' ' — 1'п(ДцВ).
Бр ехр(РРВо' ) 18. Исходя из соображений механического подобия, определить характер зависимости от температуры и объема свободной энергии одноатомного классического неидеального газа, у которого потенциальная энергия межчастичного взаимодействия есть однородная функция л-го порядка от координат молекул. Р е ш е н н е. Исходим из соотношения (2.2) для статистической суммы системы из Ф частиц в каноническом ансамбле, которое в рассматриваемом случае записывается в виде 17. Показать, что среднее значение экспоненты <ехр (р(х)>, где угловые скобки означают усреднение по различным значениям величины х, не меньше значения экспоненты от среднего значения <у(х)>: < ехр у(х)> в: ехр «р(х)>.
(2.67) 1(1) = 1п <ехр((р1)>, где 10 = Р е ш е н и е. Рассмотрим = (р(х). Тогда, очевидно, <ех 1> <ехр Ф > Я ехр~у>~> се> > >-( ех > > 2 2 (2. 68) <ехр(ф)> Обозначим г" = (э ехр(1Р1/2) и Ф = ехр(у1/2) и воспользуемся неравенством Шварца — Буняковского ь ь ь ((я>)е~>) а~] г 1Ф~>) а»(е'~~~и . Имеем <ср ехр(уЕ)> я <у ехр(уЕ)><ехр(ф)>. С учетом этого неравенства из (2.68) следует, что ) "(1) О. Для функции 1(г) при 1 = 1 справедливо Х(1) = 1(О)+Г(О)+(1/2Н"® где Π— г, — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
