Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике.djvu), страница 14

Р е ш е н и е. Симметричная фаза становится неустойчивой при таких температурах, когда вторая производная от термодинамического потенциала Ф по параметру порядка т) отрицательна. Граничная температура Т возникновения неустойчивости соответствует равенству нулю второй производной. Поскольку в симметричной фазе т1 = О, то температура Т, соответствующая потере устойчивости, согласно (5.7) определяется равенством д Ф/дт) = 2а(Т-7 ) = О. (5.18) Отсюда следует, что потеря устойчивости симметричной фазы происходит при Т = Т .

Для определения температуры 7 , при которой теряет устойчивость несимметричная фаза, следует таким же образом исследовать выражение для д Ф/дт) при т) Ф О. Однако результат можно получить и проще, если использовать полученное в задаче 2 явное выражение для равновесного значения параметра порядка т1 в несимметричной фазе (5.9). Поскольку т) вещественно, то подкоренное выражение в (5.9) должно быть неотрицательно.

Отсюда немедленно получаем 1 - 32(Т-7 )ав/9С н О. (5.19) 5. В системах, размеры которых сравнимы с радиусом корреляции, при больших флуктуациях нельзя пренебречь членом порядка т) в разложении (5.3) для термодинамического потенцна- 4 ла. Вычислить среднее значение квадрата флуктуации параметра порядка <т1 > в симметричной фазе для таких систем. Предельное значение температуры, удовлетворяющее соотношению (5.19), есть 7 ' = Т'+ 9С /(32ав) . (5.20) Записав условие нормировки плотности вероятности в виде О) А = ~сЬ1ехрЦ вЂ” ап) -Вт1 )/ЯТ)1 = 1, получим следующее выражение для <т1 >: 2 . ..2 В 4 2 В 4 <т> = ]аттР р[- — "" „'аа]у [ат р[- — "'а 'уа]. риац — Ш вЂ” й Интегралы легко вычисляются с помощью формулы ] о Р е р(-да~-тх) = (2а) Г(и) ехр1а О [-т — ], (5.22) -У где 0 — функция параболического цилиндра.

В результате 1 /уТ 0 зу~(ат/ ~ГВ7Т) <'ц > = — /~~ 2 /У й (ат/т~27%Т) 6. Прн постоянном объеме и температуре вероятность флуктуации может быть записана следующим образом: а~ ехр( — аг'/яТ), где ЛР— изменение свободной энергии, ми. Пусть связанное с флуктуация- Дг = ~~й'~ат1 (г)+ Ь(7т)(г)) 1.

(5. 23) Вычислить среднеквадратичные флуктуации фурье-компонент Я величины т)(г) в разложении т)(г) = Ят) ехр(щг) . ч Р е ш е н и е. Коэффициенты т) в разложении (5.24) опре- Ч деляются соотношением т1 = р,]'ейт' т1(г) ехР(-Щг) . 1 Подставляя разложение (5.24) для т1(г) в (5.23), получаем для изменения свободной энергии выражение (5.24) ЬГ = Х,) 1Ч( -ЬЧ 11) т1 П р['(1+1,)г] ч,н, (5.26) 4. А.С.Кондратьев, В.П.Романов Р е ш е н и е.

Прежде всего отметим, что в выражении (5.3) можно пренебречь градиентным членом, поскольку характерный размер области однородности системы, определяемый радиусом корреляции, в данном случае оказывается одного порядка с линейными размерами системы. Поэтому вероятность флуктуации параметра порядка т1 записывается в виде в ехрЦ-аттис -Вт1 )/ЯТ)1.

Подставляя это (5.30), находим 4А(р,Т )В = В (р,Т ). (5.33) Соотношение (5.33) представляет собой уравнение линии переходов ! рода. 8. В гауссовом приближении вычислить флуктуации параметра порядка в симметричной и несимметричной фазах на линии фазового перехода ! рода. Р е ш е н и е. При фиксированных р и Т вероятность флуктуации определяется фактором ехр(-ЬФ/АТ). (5.34) В гауссовом приближении в симметричной н несимметричной фазах ЬФс,ии = А бт! ЬФ = Адт)2+ 12Вт! Ьт!з+ 30Рп Ьч .

Подставляя сюда значение т) из формулы (5.32), получаем 2 несим Й П илн с учетом уравнения линии фазового равновесия (5.33) ЬФ = 7АВ) . иесим (5.35) 4 = О, В ~ О. На линии переходов ! рода В ~ О, так что в трнкритической точке А = О, В = О. На линии фазовых переходов ! рода Т ! найти среднее знас! чение параметра порядка в несимметричной фазе н определить связь между коэффициентами А, В и !'.!.

Р е ш е н и е. Как мы знаем, на линии фазовых переходов ! рода находятся в равновесии симметричная н несимметричная фазы, т.е. выполняется условие А(р,Т ) + В(р,Т )т) + От)~ = О. (5.30) Поскольку в несимметричной фазе т) Ф О, мы произвели сокращение на т! . Второе условие состоит в том, что в равновесии термодинамический потенциал минимален.

Дифференцируя (5.29): А(р,т,) + 2В(р,Т,)т)З+ 37тт)4 = О, н вычитая (5.31) из (5.30), получаем т)з = -В(р,Т,)~О. (5. 32) выражение в условие фазового равновесия Вычисляя флуктуации в соответствии с правилами, изложенными в разд. 4, получаем <(бт1) > = ИТ/(2А), <(В1) > = ЬТ/(14А). Видно, что в симметричной фазе флуктуации параметра порядка в семь раз больше. 9. При фазовом переходе П рода теплоемкость С испытыва- Р ет скачок. В низшем по, т1 приближении найти величину скачка н исследовать, как она меняется при приближении к трнкритической точке. Р е ш е н и е.

Прежде всего вычислим изменение энтропии при фазовом переходе П рода. В несимметричной фазе с помощью (5.29) имеем Д (аф/дТ) Д а,1э ~Щ4 р О где а = (дА/дТ), Ь = (дВ/6Т), о — энтропия в Р' о ной фазе. Равновесное значение параметра порядка можно требования минимума термодинамического потенциала С помощью (5.29) получаем А + 2ВЧ +ЗА) = О. Решая это уравнение относительно ц, находим 2 (5.36) симметрич- найти из дФ/дтпл = О. (5.37) равновесное значение "о = УП (5.38) ЬС = Т ~ — ~7 — ) = — Т(а+2Ь~ц) ~ф Р Р Р = -Т а+2Ь -В+ В'-3АВ ' -Ь+2ВЬ-3п~> В -ЗАй (5.39) При вычислении (5.39) пренебрегается температурной зависимостью коэффициентов а и Ь по сравнению с более сильной зависимостью величин А и В.

входящих в выражение для 'ц . 2 Поскольку вычисляется скачок теплоемкостн, то все величины надо брать на линии фазового перехода П рода, где А = О. При этом из (5.39) следует ЬС = Та /(23). 100 Подставляя (5.38) в (5.36) и дифференцируя по Т, получаем для скачка теплоемкости По мере приближения к трнкритической точке со стороны фазо- вых переходов И рода положительный коэффициент В убывает, причем В(Т ) = О. Следовательно, скачок теплоемкостн в трнкр критической точке обращается в бесконечность. 10.

В теории фазовых переходов, основанной на модели эф- фективного гамильтониана, оказывается удобным представление термодинамического потенциала системы Й в виде )в )) = -РТ)е )'РХ *р(-))Щ, (5.40) где ЙЯ вЂ” термодинамический потенциал системы, представляю- щий собой функционал от параметра порядка т), взятый при фик- сированном значении этого параметра. Опираясь на обычное оп- ределение термодинамического потенциала (2.4), (2.5), пока- зать возможность представления его в виде (5.40).

Р е ш е н н е. В рассматриваемом случае формулы (2.4), (2.5) позволяют записать выражение для термодниамического потенциала в виде Нл)(Ч р) )) = -ет! ( Я хрГГ)ыГ хр[- — Гт — ]). Ф=О "1 м зм 1 (2пГГ) Ф) Интегрирование по фазовому пространству системы можно прове- сти в два этапа: сначала перебрать все возможные состояния при фиксированном значении параметра порядка Ч, а затем вы- полнить интегрирование по тр сО я Нх(д,р ]т)(д,р) ) = »() х )) .») ' ' )), и=о (5. 42) где Н (д,р]т)(д,р)) — гамильтониан при фиксированном значении в котором допустимы только те значения динамических пере- менных д и р, которые реализуют заданное значение порядка т).

Технически такое двухэтапное вычисление термодинамнческого потенциала удобно осуществить, введя дополнительное интегри- рование с 6-функцией вида б(т~-т)(д,р)): (5.41) (Г~, Рт)(Г~, Р» Й = -МТ )е( (др К ехр1Т[дГ Е)х)-Х)хр)) ехр[- — "— тт) ) — — ]). (5. 43) 101 Введя обозначение у О~(Ч,рт!(Ч.П) яч> - -ать( Ег рД+г„ь~ч-~д~ц *р[- — — — ]), (5.44) видим, что выражение (5.43) приводится к формуле (5.40). При рассмотрении конкретных физических систем на основе соотношения (5.40) для Дт)1 обычно используется какое-либо модельное выражение.

И. Вычислить термодинамический потенциал системы, для которой Р е ш е н и е. Для вычисления Н воспользуемся формулой (5.40), учитывая, что интегрирование по параметру порядка удобно выполнить с помощью фурье-разложения т)(г) = Я т) ехр(щг). (5. 47) Ч Поступая так же, как в задаче 6, приходим к соотношению ЯтД = Ъ' Я (ат+Ьд )[т) [ . ч Теперь выражение для й (5.40) принимает вид й = -ЬТ!и ДХНт!'с(т!" ехр(-Цат+Ьд )(т!' +т!" )/ЬТ]. (5.49) Я Я ч ч (5.

48) Цт)1 = Ь + дтт! + Оц~, где д и 6 — константы, т = (Т-Т )/Т, ь! — слагаемое, не зас с висящее от параметра порядка. Р е ш е н и е. Используя формулу (5.40) предыдущей задачи, имеем для термодинамического потенциала п - а ать[]ач-р[-а~фз]] (5.45) — ОО Входящий в соотношение (5.49) интеграл выражается через функцию параболического цилиндра аналогично тому, как это было сделано в задаче 5. Используя соотношение (5.22), приводим выражение (5.45) к виду й = й — йт1п[~пЯ ' О,,ц[-~ — ]] — ~Б~-. 12. Вычислить термодинамический потенциал системы, в которой функционал от параметра порядка 14тЯ имеет вид Ц[тЯ =,)'с(г(а'и! (г) + Ь(Чт)(г)) ].

(5. 46) 102 При получении (5.49) использовано соотношение (5.27) и учтено, что интегрирование по т1 в (5.40) в рассматриваемом случае должно пониматься как интегрирование по всем независимым фурье-компонентам параметра порядка. Действительно, в отличие от формулы (5.40) здесь необходимо перебрать всевозможные пространственные конфигурации распределения параметра порядка, что после перехода к фурье-представлению соответствует интегрированию по всем фурье-компонентам.