Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике.djvu), страница 11

Напомним, что квантовая функция распределения Вигнера не может рассматриваться как вероятность реализации определенных состояний, и поэтому данное обстоятельство не приводит к каким-либо недоразумениям. Для интегрирования по у воспользуемся соотношением СО иехр~-2-~(р1+и) +(р1- ) цехр(2йр2и) Н„(р1+и) Нл(а1 — ) = — лй 1)л.2л 1 1й 2 (,2)сй (2 й~ = й~~ й 1 ' и 1 йй ~~тй ~ = й~ "й с с 1. — полипом Лагерра порядка и. После замены переменной и =. = (ию ) у/2 и вычисления интеграла по и выражение (3.61) 1/2 записывается следующим образом: (р,й() = 2 Я ( — 1)л В'(а,о',р ) ехр(-ай~) 1 (2ий~) . (3.62) 12 л,0' Формула (3.62) дает функцию Др,м), явно зависящую от К, хотя очевидно, что в однородном магнитном поле рассматриваемая система является пространственно однородной.

Причина этого заключается в использовании канонического импульса р. Если перейти к кинетическому импульсу Р = р -(е/с)А(м), то в 70 ~'СерРИК х(р р) (2п) (3.66) 71 силу выбранной калибровки векторного потенциала имеем = р +-'ВУ, Р = р, Р = р . х х С ' у у' г г' Теперь в = (Р +Р )/(ти ) и функция распределения Вигнера 2 2 2 х у с ~(Р,Й) оказывается не зависящей от пространственных координат: ~ = ~(Р). 14.

Выполнить переход к классической статистике в выражении для квантовой функции распределения Вигнера для электрона в квантующем магнитном поле: ДР) = 2 Я (-1)" %(п,с, Р ) ехр(-в ) Е (2в ), (3.63) л=о Р/(2т)+ы,(п+о+1/2)-р 1 Р +Р 'рре(п а. Р ) .)1г 1 + ехр с в2 с Р е ш е н и е. При переходе к классической статистике следует прежде всего отбросить единицу в знаменателе выражения для функции распределения Ферми-Днрака. При этом появляется возможность в явном виде выполнить суммирование по спиновой переменной о' = +1/2.

В результате получаем ))Р) = Х(е рре. е*р(-гф]] 1 )-!)" л-О Рг/(2т)+ы (п+1/2 ) р х ехр — ' ехр( — в ) (. (2в2). (3.64) Теперь можно выполнить суммирование по и, воспользовавшись выражением для производящей функции полиномов Лагерра (1-г) ~ 1ехрЯТ = Я Е~(х)г", ]г] к 1, л=о где 1.~ — присоединенный полипом Лагерра. В результате формула л (3.64) переписывается следующим образом: ь), Рг/(2т)+ис/2-и =.)- р- <-.))-.-е~-.)- х св 2в ехр(-и /Т) 2 1 ехр с Т ехр):и7Г~ ""-е р -и с с После элементарных преобразований это дает Р2 Р2 Р2 ))р) = Х е*р~ ехр [- р-„*-.~, — — *— „— ~ ))егр] .

)р. ре) С Соотношение (3.65) можно переписать в несколько иной форме, если воспользоваться условием нормировки квантовой функции распределения: Вычисление интеграла в (3.66) после подстановки Г(Р), даваемой формулой (3.65), приводит к результату 1 ехр (~~ = — 1Ь~~ ~.(2птТ) после чего формула (3.64) переписывается в виде р2 р2 р2 ~(Р) 1 2Т 2п 3/21 с. хр с х ~1~ с (3 67) "с с Формула (3.67) показывает, что равновесная функция распределения электронов в квантующем магнитном поле в пределе классической статистики является «двухтемпературной», ибо ее можно записать в следующем виде: где <продольная» температура Т вЂ” это обычная температура Т.

й а «поперечная» температура Т определяется соотношением Т = ыс/2 Ща~/2Т). Таким образом, существование двух температур для системы электронов в квантующем магнитном поле в пределе классической статистики может быть объяснено проявлением квантовых свойств при высоких температурах, когда статистика уже становится классической.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Показать, что соотношение (3.32) остается справедливым при учете спинового расщепления энергетических уровней в квантующем магнитном поле. 2. Используя выражение для энтропии в квантующем магнитном поле (первая из формул (3.31)), найти выражение для теплоемкости электронного газа и исследовать характер осцилляцнй при изменении магнитного поля. 3. Показать, что в двумерном бозе-газе бозе-эйнштейновская конденсация отсутствует. 4. Используя формулы (3.31), построить графики зависимости энтропии и магнитного момента от магнитного поля прн разных значениях температуры. Продумайте, как рациональнее организовать вычисление интегралов Ферми-Днрака с помощью ЭВМ.

4. ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ 4.1. Гауссова квазитермодинамическая е теория флуктуаций Флуктуациями называются отклонения термодинамических величин от их средних значений, обусловленные тепловым движением частиц системы. Различают термодинамические и квантовые флуктуации физических величин. Условием того, что флуктуация параметра х имеет термодинамический характер, является нера- венство йТ ъ 6/т, (4.1) где т — характерное время изменения параметра х.

В этом случае плотность вероятности отклонения величины х от своего среднего значения, полагаемого равным нулю, имеет вид ы(х) = ~/а/2п ехр(-ах /2). (4.2) Распределение вида (4.2) называется гауссовым; оно нормировано на единицу: ) и(х) 0х = 1, — и а средний квадрат флуктуаций <х~> равен <х2> = ~х2и(х) Нх = а '.

(4.3) При рассмотрении одновременного отклонения от равновесных значений нескольких термодинамических величин х, ..., х п выражение для плотности вероятности имеет вид и'(хг "° х ) = дехр( а.ахи/2» (4. 4) и (2п)п Й с где а — определитель, составленный из элементов симметричной матрицы а. = а, . Распределение (4.4) также нормировано на единицу: ~Их,...дх (х,...х) =1. — и Для средних значений флуктуаций справедливо равенство <хх> = а., (4.5) !у Ц' где а ..

†элеме матрицы, обратный а... (/ Ц Распределения Гаусса (4.2) и (4.4) получены прн учете только квадратичных членов в разложении энтропии в ряд Тейлора около равновесного значения. Коэффициенты а„ имеют Ц смысл вторых производных от энтропии по х. и х . Эти формулы позволяют вычислять только квадратичные по отклонениям термодинамических величин комбинации, например <фУ) >, 2 <Ы йт> и .д. Рассмотрим флуктуации в системе, которая может обмениваться с термостатом энергией в форме теплопередачи и совершения работы (в статистической физике она описывается нзотермо-изобарическим ансамблем). В этом случае средние значения давления р и температуры Т определяются термостатом. В гауссовом приближении формула для плотности вероятности в отсутствие внешних полей в системе с фиксированным числом частиц У может быть записана следующим образом: ,„ь| ьч — ьтьз (4.6) При расчетах с помощью выражения (4.Б) необходимо приводить экспоненту к гауссовой форме, содержащей любую пару термодинамических переменных, например ~ и Т или р и 5 и т.д.

Общая формула для вероятности флуктуаций неизолнрованной системы, контакт которой с термостатом может быть произвольным (термнческим, материальным и т.д.), имеет вид (4.7) ш ехр В гауссовой теории флуктуаций выбор переменных состояния системы, как н обычно в термодинамике, произволен, предполагается только малость относительных флуктуаций.

В случае, когда относительные флуктуации не малы (напрнмер, в окрестности точек фазовых переходов П рода), гауссово приближение становится неприменимым. 4.2. Статистическая теория флуктуаций В статистической теории флуктуаций средние значения квадратов флуктуаций, как и любые средние значения физических величин, можно вычислять непосредственно с помощью статнстн- ческих сумм или функций распределения.

Например, в ском ансамбле удобно вычислять среднее значение флуктуации энергии системы. Используя формулу для ческой суммы Я канониче- квадрата статисти- (4.9) Я= Яе~ 1 получаем в соответствии с правилом вычисления средних <Е> - =Е = ~ЕЕ1 е 1 = ~д~) Яе 1 = — ~рр = — фпЯ, 1 -РЕ 1д -РЕ 1да д <Е2> 1~ Е2 — ДЕ1 1 д ~ — ЯЕ11д Я ~~ад'1 ~) дР2 Теперь для <(ЬЕ) > = <Е > — <Е> имеем 2 2 2 <фе) > = ~-е — $~я = — ц<е> (4.8) Аналогично изложенному в рамках большого канонического ансамбля удобно вычислять средний квадрат флуктуации числа частиц <(ЬУ) >: 2 . а Р ор Р В изотермо-изобарическом ансамбле удобно находить средний квадрат флуктуации объема: <(Ю > = — Р--д —.

(4.10) Статистический ансамбль определяется набором параметров, зависяших от физических условий, в которых находится система. Эти параметры при заданных условиях по определению флуктуировать не могут, поэтому флуктуирую1цие параметры нельзя выбирать произвольно. В результате в некоторых случаях гауссова теория флуктуаций приводит к расхождению со статистической теорией. 4.3. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами При рассмотрении броуновского движения взвешенной частицы используется метод Лаижевена, в котором проекция уравнения движения на некоторое направление записывается в виде ~2 щ~ х 1 Их+ Е(1) или гни ~~ + Р(1) (4 11) 111 где гп — масса броуновской частицы, и/8 — сила трения, пропорциональная скорости, Р(1) — случайная (стохастическая) сила, есть 2 1(44>) = 1(0) — т —, где 1(0) = — ( — 1 ' 2 2* (4.20) Из (4.20) видно, что при увеличении времени корреляции (2т .+ 0) в спектральной плотности 1(и) остается одна линия ь>=0: 1(ь>) ~ ~ 2пьр(0) д(ь>).

В противоположном случае з' -ь в спектральная плотность для конечного интервала частот Ы а 2' превращается в константу: (4.22) 1® = 1(0). (4.22) ЗАДАЧ И <Д'ттДТ> = О. (4.25) Сравнивая (4.24) с соотношением (4.3), находим <(дТ) > = лТ /С, (4.26) (4.27) 1. Вычислить флуктуации термодинамических величин <(дТ)2> <(дет)2> <(дф> <(др)2> <детдТ> <дуд >> <д)тд „> <дрд5>, <дЯИТ>, и <дЯдТ>, считая независимыми переменными параметры ~ и Т. Р е ш е н и е.

Выразим в формуле (4.6) величины Ы и Др через флуктуации независимых переменных ~Т и Т: ЬЬ [ЬТ] ЬТ+ [ЬТ) ЬТ ЬР Щ ЬТ+ [Ф) ЬТ' [4'2>Е С помощью равенства ь1г" = — 5ЙТ вЂ” рддр имеем (д5/дУ) Т = (др/дТ) . Далее, (д5/дТ) = С,lТ. Подставляя эти значения в (4.23), имеем д т' ЬЬ- Щ ЬТ ° . "ЬТ.

Теперь выражение для плотности вероятности (4.6) после подстановки найденных выражений для д> и др принимает гауссов вид в переменных )т' и Т: в еер[- — 4ЬТ4 ° 2ЬТ[ЬТ] ЕЬТ)~] (4. 24) 2яТ Т Из (4.24) видно, что плотность вероятности распалась на произведение множителей, зависящих только от ДТ и Д1т.

Это означает, что флуктуации температуры и объема статистически независимы: Для вычисления средних значений комбинаций, содержащих одну нз выбранных независимых переменных, удобно выразить флуктуации второй величины через Ы и ЬТ. Тогда получим, например, для <(ьТЕр> <ьтьр> = Я <ьтьр> ° Я «ьт>>>. Подставляя сктда соотношения (4.25) и (4.26), найдем <ьтьр> = ьт [ц . (4.28) Аналогично <ьрьр> = Я] «ьр>ь> ° [ь~1] <ьрьт>.