Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике.djvu), страница 16

Нарисуйте графики зависимости автокорреляционной функции скоростей от времени, радиальной функции распределения от расстояния н теплоемкостн С от температуры. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Сравните результаты, полученные в задаче 7, с точным решением Онзагера для двумерной решетки Изинга (см.: Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. Статистическая физика.

— М.: Наука, 1976. — С.541). Насколько отличается получившееся поведение теплоемкостн от логарифмического закона С ~1п ~ Т-Т ~ ~? Сос гласуется ли температурная зависимость магнитного момента с выражением и = сопз( (Т вЂ” Т) ? с 2. Прн расчетах методом молекулярной динамики (задача 8) определить число шагов, через которое устанавливается максвелловское распределение по скоростям. 6. ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ 6.1. Уравнения Лиувнлля н Неймана Основу динамического подхода к описанию статистических свойств систем многих частиц составляют уравнения Лнувилля и Неймана для классических и квантовых систем соответственно. Уравнение Лиувилля, которому удовлетворяет и-частичная функция распределения р(г,...,г, р,...,р, Г) имеет внд В Сир1=0, (6.1) где Н вЂ” функция Гамильтона, а (Н,р) — классические скобки Пуассона: ~" ~~ =,е,[6:гг: +в'] (6.

2) Уравнение (6,1) удобно записывать в виде ф+т1р = О, (6. 3) где 1. = -~~Н, ) — самосопряженный оператор Лиувилля: Основу описания свойств квантовых систем составляет уравнение Неймана (6.4) Переход к сокращенному описанию приводит, вообще говоря, к появлению макроскопической необратимости во времени.

Оно осуществляется редуцированной функцией распределения р, (оператором плотности), которая соответствует неполному ан- 109 где р — оператор (матрица) плотности системы а частиц, Н— оператор Гамильтона, а [Н,р) = Нр — рН вЂ” коммутатор операторовНнр. Уравнения Лнувнлля и Неймана соответствуют полному статистическому ансамблю, они обратимы во времени и обеспечивают стационарность энтропии системы 5 = -Бр (р!пр): Н5/сй = О.

самблю. Основная проблема неравновесной статистической механики — получение и решение управляющих уравнений, т.е. замкнутых уравнений для р (1). Уравнения для редуцированных функций распределения часто называются кинетическими уравнениями. 6.2. Приблнженне самосогласованного поля Простейшее приближение для л-частичной функции распределения — это мультнплнкативное приближение (6. 6) йчЕ = 4пр йчВ=О, 1дВ 4п ° 1 дЕ (6.8) го1Е = с л-т го(В с 1+ с п7 ' Плотность заряда р и плотность тока 1 выражаются через одночастичные функции распределения: р (г,1) = Яе ~с(р) (гр1), 1(г,г) = Яе ~с(рг~ (гр1). (6.9) а а Приближение самосогласованного поля особенно удобно для определения спектра коллективных возбуждений в системе.

Он 110 р(гр...,г, р1 ...,Р„О = )(г1Р11) Йг2р~0 ... 1(г р г), которое приводит к приближению самосогласованного поля, когда каждая частица с гстемы движется в поле, создаваемом частицами системы и приложенным внешним полем. Уравнение, которому удовлетворяет одночастнчная функция распределения ( (гр1) частиц сорта а, называется уравнением Власова: д) д~ д~ '" -'-,-' ~ ~'~, Р( —,)Ц,р,() = Здесь У вЂ” энергия взаимодействия частиц сорта а н Ь.

Уравнение Власова обратимо во времени. Иногда в правой части уравнения (6.6) оставляют «след» интеграла столкновений в приближении времени релаксации н записывают ее в виде -е Д -1 о), где с -+ +О, а ~ о — равновесная функция распределения. В случае системы заряженных частиц уравнение Власова записывается в виде П д~ П ° «~- ° е (е ДАВ~) г — = О. (6.7) Здесь р = тч — кинетический импульс, а Е н В определяются нз системы уравнений Максвелла находится из дисперсионного уравнения, получаемого с помощью уравнения Власова и системы уравнений Максвелла после перехода к фурье-представлению ( ехр(йг-ЙМ)) и имеющего вид (6.1О) ц(к,й) = О. Здесь й = и+ су, причем у/ы к 1.

Закон дисперсии колебаний ы(к) находится из уравнения Ке6(к,ь1) = О, (6.11) а величина у, соответствующая затуханию колебаний при Э «О и нарастанию при у» О, определяется соотношением !ш д(к,ь1) Р— й е Ь( й, и) ~ (1,) Определяемое из уравнения Власова затухание з называется затуханием Ландау. Оно соответствует взаимодействию волна- частица типа взаимодействия Вавилова †Черенко и ие приводит к необратимой диссипации энергии волны. (6,12) ЗАДАЧ И 1.

Среди полного набора динамических переменных системы можно выделить группу переменных Х, ..., Х и У, ..., У, п 1' ' т' характерные временные масштабы изменения которых резко раз- личаются («медленные» и «быстрые» переменные). Обосновать возможность перехода к сокращенному описанию такой системы и получению управляющих уравнений, описывающих эволюцию во времени медленных переменных. Р е ш е н и е.

Для полного набора динамических перемен- ных системы существует замкнутая система уравнений (напри- мер, уравнения гамильтонова типа) Я = ЦХ,У,(), Я = ДХ,У,1), (6.13) 111 где Х и У вЂ” векторы с компонентами Х, ..., Х и У,..., У и 1'"' т соответственно, ~ и д — векторные функции с компонентами и д1, ..., д . Медленность изменения величин Х по сравнению с изменением величин У позволяет решать вторую группу уравнений (6.13) для У, рассматривая в них Х как фиксированные параметры. Такое положение оправданно, например, в случаях, когда время изменения величин У оказывается существенно меньше времени изменения величин Х, которые в этом случае являются квазиинтегралами движения по отношению к переменным У. При этом получаем У = 6(Х,1). (6.14) Д+ ~'ер = О.

(6.17) 112 Подставляя выражения (6.14) в первую группу уравнений (6.13), получаем замкнутую систему уравнений для величин Х: $ХТ = дХ, В(Х,О, 1) = (р(Х,О. (6.15) Система уравнений (6.15) — это и есть управляющие уравнения, определяющие медленную эволюцию системы. Фактическое использование выражений (6.14) требует знания начальных условий для величин У, которые, разумеется, взять неоткуда. Поэтому для величин У берутся квазиравновесные значения, соответствующие решениям уравнений (6.14) при ~ -~ в: величины У успевают релаксировать и прийти в квазиравновесное состояние, не зависящее от начальных условий, при фиксированных значениях величин Х.

Для величин Х это означает переход к новому огрубленному масштабу времени. Поэтому фактически систему (6.15) следует понимать в смысле ЛХ = (р(Х,1), (6.16) где Ы макроскопнчески мало, но все-таки много больше характерного времени «забывания» исходных значений У. Величина ш и играет в рассматриваемом случае роль времени корреляции с в иерархии временных масштабов Боголюбова. Для применимости управляющих уравнений (6.15) необходимо, чтобы время релаксации х величин Х было много больше времени корреляции ~ с Таким образом, проблема получения управляющих уравнений в рамках динамического подхода заключается в нахождении квази- интегралов движения в рассматриваемой системе, которые и играют роль медленно изменяющихся во времени величин Х.

2. Получить уравнение для редуцированной функции распределения р (~) = Ур(1), где У вЂ” некоторый оператор проектирования, с помощью точного уравнения Лиувилля для полной функции распределения р и обсудить возвгожность перехода к управляющему уравнению, замкнутому относительно р(1). Р е ш е н и е. Введем функцию р (1) = (1 — У) р(1) и получим уравнения для р~ и рз, действуя операторами У и (1 — 7) на уравнение Лиувилля Имеем ар, ар, 1 щ- = ТЫР1+Р2). 1 а7 — = (1 1т) ИР1+Р2). Запишем второе уравнение из (6.1?) в виде ар оГ Р2 где использованы обозначения М = (1-'У)Е 1р(~) = (1-..1.)Е рф).

(6.18) (6.19) (6.21) 1 / 5. А.С.Кондратьев, В.П.Романов Ищем решение уравнения (6.18) в виде Р2(т) = е Ф((). (6.20) Подставляя это выражение в уравнение (6.19), получаем Д = — Ее' (р(т), где 1р(0) = р (О). Интегрируя по времени в пределах от нуля до 1, находим 4Я = 1р(0) — 1~сКт е!™(р(т).

О Подставляя (6.21) в (6.20) и совершая замену переменной з = 1-т, приходим к следующему выражению для Р ((): Р2(~) = е ' Р2(0) — фЬ е ' Ю(1 — з), 0 или после подстановки выражений для М и у Р2(0 — ехр1 — Я1-Р) Ц Р2(0) — 1 ~ 11з ехр1 — Ы(1 — Р)Ц (1 — ут)(- Р1(т — з). 0 Подставляем найденное значение р (~) в первое уравнение из (6.18) для р(1). Имеем ар1(() Г~ = у'ЫР1(0 + И.

ехр[-и(1-У)ЦР (О)— 1 — фЬ И. ехр~-1з(1-7) Ц (1 — У)Е р (~ — ~). (6.22) 0 Уравнение (6.22) — это точное уравнение, ибо при его выводе на основе использования уравнения Лиувилля (6,17) не делалось никаких приближений. В отличие от уравнения (6.17) уравнение (6.22) для р (т) имеет нелокальный во времени характер, т.е. обладает памятью. Стоящее под знаком интеграла перед функцией р(1-з) ядро называется функцией памяти. Для получения управляющего уравнения в уравнении (6,22) необходимо исключить (или задать в явном виде) р (О) и обра- тить в нуль функцию памяти за то время з, за которое функция р (~-з) не меняется существенно.