Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике.djvu), страница 20

й й й (7. 28) 136 Далее, используя (7.17), находим Я л <Р7.~> = -1,'т л д7 ' = — Рд-. дц~г,11 дц й й Наконец, снова учитывая (7.17), имеем 1;т и <и . -й> = — — Ят л <о .> = — ри, г й Подставляя соотношения (7.22)-(7.24) в (7.21) и учитывая свойство (7.18), получаем уравнение движения газа в гндроди- намическом приближении: а 3. Используя кинетическое уравнение Больцмана, получить уравнение баланса энергии, вводя локальную температуру Т(г1) с помощью равенства 2 икт = 2 Ет л <У > 3 1 г (7.25) а где 7 определяется формулой (7.17), а л = 1,л .

й Р е ш е н и е. Умножим кинетическое уравнение (7.1) на т У /2, проинтегрируем по импульсам и просуммируем по всем г сортам частиц. Учитывая свойство (7.10) интеграла столкнове- ний Больцмана, запишем результат в виде д 1 д? и Я л т <У > + д- ~ Я л т <ч У >— г д 1 г дуг дуг дуг — ~Я (<л > <> ~-„-> +Р <~ — >'> = О. <7.26) а й Преобразуем отдельные слагаемые в (7.26).

Вводим тепловой поток ц относительно гидродинамического течения: ц = Я ц = 2 Я и т < У~У~>, 1 г й а (7.34) Аналогично, учитывая (7.22) для тензора давлений, найдем д$~ ди, ди. 2 с'патпа~та Д~ > = ! с п тп <и «У ) = — ~ — 'Р.». (7.30) а аа И наконец, вследствие (7.17) и соотношения р = т ч, имеем 2 а аа' 2Япт Г<~ — а> = 1п Г<У>. (7.31) а а Подставляя соотношения (7.28)-(7.31) в (7.26) н учитывая оп- ределение (7.25), получаем уравнение баланса энергии в гид- родинамическом приближении: д .3 .3 ~!т ~пкТ + йч(ц+ц ~пкТ) + д — Р Яп Г <У > — О. (7 32) а Учитывая, что вследствие (7.18) и (7.1?) справедливо дп о-Т = -Йч пц+ Яп <У > а можно переписать уравнение (7.32) в виде 3 гдт дТ1 .

ди т «Эт ° р-„~ = -а в — т>-Р. ° еи г <т > <т~< (г,и <т >) . 3 а ~а 4. Показать, что кинетическое уравнение Больцмана приво- дит к возрастанию плотности энтропии системы а при любом неравновесном начальном распределении. Р е ш е н и е. Запишем уравнение Больцмана в виде ст Вычислим производную по времени от выражения д5 д( д-Т = — Я )ар (1+!п~ ) д7д. а Подставляя сюда выражение для д( /д! из (7.34), получаем а д5 - = т.!«рд.Ь) )[» аг.т -- ! '-] 1.

р.ЗЫ а ст Рассмотрим отдельные слагаемые в правой части этого соот- ношения. Непосредственной проверкой легко убедиться в спра- ведливости равенств >а д )с(р(1+(~~ ) о-„- — — Р!р ~„-Ц 1~~ ), д~ Г )с(р (1+!п~ ) р-~ = Г ~Нр а — (1 !п! ) = О, 137 (7.38) (х- д) 1пх О, Д причем знак равенства достигается при х = и.

Итак, йт — О, (7. 42) 138 так как 1 = 0 при ] р] = со. Как мы видели ранее, интеграл а столкновений Больцмана обладает свойством 1" 1'] = Ф1, (7. 37) ст Вводим величину Ьс, называемую производством энтропии: йг = -т, 1йр 1~~ 1и ] ,д~ а ст С учетом соотношений (7.36)-(7.38) выражение (7.35) для д5/д1 переписывается следующим образом: й = ЙчЯ~с(рт ~ 1и? + йт. (?.39) а Первое слагаемое в правой части этого выражения представляет собой плотность потока энтропии Т: Т = -Я ] с(р ч ~ 1п~ (7.40) а Теперь соотношение (7.39) переписывается в виде д7.+ ЙчТ = йт.

д5 (?.41) Уравнение (7.41) представляет собой уравнение баланса энтропии. При равной нулю правой части соотношение (7.41) имеет форму закона сохранения. Нетрудно показать, что производство энтропии Ьо' — 0 для интеграла столкновений Больцмана равно рт-] = к (~о ~~ ~ ~~'~' ~.~ ). Действительно, для Ье имеем ~ = -к 1Ф Ф,~~,',~~(! (и',-! ц] аЬ Это выражение можно переписать в симметричном виде по отношению к сортам частиц а и Ь и импульсам частиц до соудареиия (нештрихованным) и после соударения (штрихованным) вследствие одинаковости относительной скорости о и сечения расаь сеяния сйт ь для прямых и обратных соударений и равенства аь Фс( = Ф'Ф': а Ь а Ь' ~Ф ~/ 4' ~' ЙР ~Рьпоаь 6() ?ь ~ ~ь) 1п Знак правой части этого выражения определяется знаком функции и из соотношения (7.41) с учетом (7.42) следует, что д5 о-~-+'йчТ ~ О.

Наконец, для пространственно однородной системы й~Т = О и, следовательно, справедливо неравенство д5 -«О, баланса Паули 5. Показать, что уравнение кинетического (7.3) сохраняет нормировку вероятности Я в. = 1. с Р е ш е н и е. Рассмотрим производную по времени от выражения от суммы вероятностей (7.43): дв. жЕв;= Ед7 Подставляя сюда производную дв/д1 из уравнения Паули, пол чаем (7.43) 5 = -<1пв~ = -Яв.1пв.. Ф 4 ю Вычислим производную по времени от 5: Н5 д дв. -(7 = — -17Яв.!пв. = — Я(1+1пв.) д-)- .

ю' В силу сохранения условия нормировки (7.43) Я дв,/д1 = О. 1 Поэтому, используя (7.44) и уравнение Паули, имеем дв, -,77 = -Я1пв .д-)-г — — — Я(Р,.в.— Р.в.))пв. = ~Р,(в.— в.)1пв,. с' Симметризуем это выражение по индексам ( и ): (7.44) -17 = АКР..~(в.— в ) 1пв.+ (в.— в.) 1пв.! = 2 Я Р (в,— в ) 1и — ~, Н5 1 г 1 1 ц ч с 1 у с у, ч с у в Ц 139 у И -(7Яв. = ),(Р.в — Р,.в) = О Ц вследствие свойства Р = Р.. Поэтому Я в. = сопз1, и при Ц ую Ф выполнении условия нормировки (7.43) в начальный момент времени оно остается справедливым и в последующие времена.

6. Показать, что уравнение Паули (7.3) приводит к возрастанию энтропии системы при любом неравновесном начальном распределении. Р е ш е н и е. Энтропия системы и'5/сИ ~ О. 7. Показать, что при любом начальном распределении вероятностей в(0) уравнение Паули (7.3) является уравнением ре- 8 лаксационного типа. Р е ш е н и е. Введем вектор состояния К с компонентами ш, и запишем уравнение Паули в матричном виде дВ' ~-ЛФ, (7. 45) где й — матрица перехода с элементами Из вещественности вероятностей переходов Р, и микроскопической обратимости следует, что матрица Л эрмитова: (7.46) Это свойство позволяет утверждать, что собственные значения матрицы Л вещественны, а собственные векторы ортогональны: ЛФ =ЛФ, Л =Л, л л л л л где Ф вЂ” вектор с компонентами Ф(").

Записав формальное реше- и ь ние уравнения (7.45) в виде В'(1) = е В'(0), где В'(0) — начальный вектор состояния, можно разложить Ж'(0) по собственным векторам матрицы Л: Ф(0) = ЯС Ф„, или ге,(0) = ЯС„Ф("). П л Теперь вектор 1)"(~) можно представить в следующем виде: Ф(() = ЯС Ф е~ и, или ю„(1) = ЯС Ф(") е~ и. (7,47) л л Покажем, что все Л ~ 0 и Л = О. Для собственных функций и Ф и спектра й справедливы равенства (Ф,Ф ) — б, Л вЂ” (Ф,ЛФ ), 140 Полученное выражение неотрицательно, поэтому Н5/Н О. Знак равенства имеет место при э, = я~. для любых ( и 1.

Этот ! случай соответствует равновесному состоянию в микроканоническом ансамбле, описывающем замкнутую систему. Итак, при любом начальном неравновесном распределении, когда ы. ~ а ., ! / имеем где символом (А, В) обозначено скалярное произведение А и В, определенное равенством (А,В) = ЯА'.В.. Найдем знак выражения (Ф,ЛФ), где Ф вЂ” произвольный вектор: Ф = (Ф 1. Имеем (Ф,ЛФ) = 'Я„Ф*.(Р.Ф вЂ” Р.Ф) г! ряРДФць;Ф)+Ф~Ф-Ф)1 = — уя Р,/Ф.-Ф.$ ~ О. ~748) г) Е!' Знак равенства имеет место при Ф. = Ф.. Этот случай со! ответствует собственному значению Л = 0 и собственному вектору Ф . Все Л при и ~ 0 в силу (7.48) отрицательны. Теперь Л имеем вместо (7.47) выражение (7.49) о о п п — 1 где ~ = Л вЂ спек времен релаксации системы.

Видно, что с п и течением времени система необратимо релаксирует к не зависяшему от времени равновесному состоянию: 1р'(о М СОФО. 8. Решить уравнение кинетического баланса Паули (7.3) для двухуровневой системы с начальным условием в (0) = 1, ! Щ2(0) О Р е ш е н и е. Обозначим вероятность перехода через Р = Р = р. Матрица перехода Л в рассматриваемом случае с учетом соотношения (7.46) записывается в виде л= ( ].

Для нахождения собственных значений матрицы Л приравниваем нулю определитель: Р = О, р -Л раскрывая который находим Л = О, Л = — 2р. ! Нормированный собственный вектор Ф матрицы Л, принадлежаший собственному значению Л = О, есть 1/~/2' 141 Л = -2р, а собственный вектор Ф, принадлежащий значению равен $1/ч~Г Начальный вектор Ф'(0) распределения вероятностей по условию равен Ф'(0) = Раскладывая вектор 1Р(0) по собственным векторам матрицы перехода Л: У(0) СОФО+ С1$1 находим С, = С = 1/Ю. Итак, в соответствии с формулой (7.49) вероятность заполнения состояний в произвольный момент времени 1 определяется выражением Г(~) = СОФО С1$1е'Л1, или н~(~) = — (1+ е 1'), и (~) = -(1 — е ~1м) .

1 Видно, что предельные значения вероятностей при ~ .+ сэ одинаковы: 1( ) 2( ) 2 ' 1 9. Решить уравнение кинетического баланса Паули (7.3) для л-уровневой системы с начальным распределением вероятностей ю1(0) = 1, в (О) = 0 (А = 2, 3, ..., и), считая для простоты, что все вероятности переходов между различными состояниями одинаковы: Р..

= рб.. Считать, что и ъ 1, однако д и произведение пр конечно. Р е ш е н и е. Матрица перехода Л в соответствии с (7.46) имеет вид -(л-1)р р р -(п-1)р Р Р р р р ... -(л-1)р Л„= — лр, А = 1, 2, ..., л-1. образом, есть одно невырождеиное собственное значе- 0 и (л — 1)-кратно вырожденное собственное значение Таким ние Л 142 Симметрия матрицы позволяет легко найти ее собственные значения: Л = — пр. Нормированный собственный вектор Ф есть 1 1/~й 1/~й 1/~гй Собственные векторы, соответствующие (и — Ц-кратно вырожденному собственному значению Л = -пр, можно записать в виде [п(п-1)1 -[( и-1)/и1 [п(и — 1) 1 [п(и — 1) 1 [и( и — 1)] -[(п-1)/п1 1/З [п( и-1) 1 [п(п-1) 1 [и(и-1) 1 [п(п-1) Д -[(п-1)/п1 вщс С вЂ” ' ° С~ "~ — " ]а"", а=2,З,..., или, вычисляя выражение в квадратных скобках, м~,(1) = С,— +С е "Р~, й = 2,3, „и.