Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике.djvu), страница 6

Поэтому о 2 1м О = [[дхдд[ехр[- ~+)дг ядр ир шр ехр[-~4т~)] з о -м (2. 21) Интегралы в (2.21) легко вычисляются. В результате имеем Я = 5 1 — ехр — — ~Т вЂ” (2ятйТ) . (2.22) Выражение для свободной энергии получается с помощью (2.22) и имеет вид 1-ехр(-гпййо/ИТ) г" = -яТ1Щ = -ХИТ 1п +21пТ+ сопМ .

(2.23) В константу объединены члены, не зависящие от У, Т и и . Внутренняя энергия У равна Ь' = -Т~ ~:Т = ~~Ийт У (2.24) 37 Теплоемкость С„в данном случае удобно найти с помощью выражения для внутренней энергии (2.24): л(р гб(7~ 5 И(тЫЬ о /Т) ехр(тк Ьо/ИТ) л, [ехр(тайп/йТ) — 1[ й Г помощью соотношения (2.25) определяем С в указанных в условии задачи предельных случаях: при гида /(АТ) «1 С = 2.Жй, 3 при тайп/ЯТ) в 1 С = 2 Мй. Интересно отметить, что предельные значения С можно определить, ие вычисляя статистической суммы.

При тдйо/(яТ) « << 1 поле тяжести не влияет на движение частиц системы, которая может рассматриваться как идеальный газ в отсутствие поля тяжести. При тдЬ /(ФТ) в 1 для ответа на поставленный вопрос можно воспользоваться теоремой вирнала: 2<Е,> = п<Е >, а где и — показатель однородности потенциальной энергии как функции координат. В рассматриваемом случае потенциальная энергия представляет собой однородную функцию первого порядка координаты г.

Тогда <Ел> <Еа>а 2 д 2<Е,> = <Е > Й г а Поэтому С, = ~~~<Е,> ° <Е„>~ = ~И . д 1 5 мы имеет вид Мр. М М Н = Š— '+ Ес,.[М) — Е[Ьф 1=12т 1=1 ' 1 Здесь первое слагаемое в правой части соответствует поступательному движению молекул, а е.[М) — классическое выражение с для кинетической энергии вращения как функции момента вращения М. Последнее слагаемое описывает потенциальную энергию дипольных молекул в электрическом поле. Выражение для статистической суммы имеет вид [[р „„„[ р' ) р~~~,,„[ с[р~, исака))" Здесь  — угол между Ь и е".

Интегрирование по т означает вр интегрирование по угловым переменным. В последнем интеграле удобно перейти к сферической системе координат, выбрав полярную ось по направлению электрического поля е~. Поскольку электрический момент определяется производной от свободной энергии по напряженности поля ° =-Ю (2.26) т,ч а г = — лТЫЦ, то для определения Р достаточно вычислить в явном виде только интеграл по углу 8.

38 Кстати, почему не следует использовать теорему внриала прн тра /Ят) < 1? 4. Вычислить электрический дипольный момент идеального газа, состоящего нз линейных молекул с неизменным дипольным моментом Ь, при помещении его в однородное электрическое поле напряженностью Ф. Р е ш е н и е. Функция Гамильтона рассматриваемой систе- Итак, выражение для (~ достаточно представить в виде и и Я - а(~дВя~пВ р(исовВ/Йт)) о где а — коэффициент, не зависящий от напряженности электрического поля Ф. Интеграл в (2.27) легко вычисляется и дает О=а~ — зЬ~Т (2.28) Теперь для свободной энергии справедливо выражение г" = Р,— УЙТ 1п~+!и зЬ~Т (2.29) С помощью (2.29) соотношение (2.26) дает Р = УБ с(6~7 — оь Полученное выражение называется формулой Ланжевена. 5.

Доказать, что классическая система не может обладать магнитными свойствами (теорема Бора — ван Левен). Р е ш е н и е. ГЦ~и наличии магнитного поля, нндукция В которого определяется формулой В = го(А, где А — векторный потенциал, функция Гамильтона имеет вид О = Я~-- [р.— — 'А~г)) ° У. г =! где У вЂ потенциальн энергия взаимодействия частиц системы.

Записав выражение для статистической суммы в виде ~ = зй ~"''*~(- †) убеждаемся, что интеграл по фазовому пространству системы можно записать следующим образом: 63 — )идехр(-г~) )ыре р(-~ — в г. (р.— — 'А(г.)] ). Теперь видно, что благодаря бесконечным пределам в интегралах по импульсам можно сделать замену переменной е, р — — 'А(г.) = р'. В результате Я оказывается не зависящей от векторного потенциала А. Следовательно, статистическая сумма Я имеет такой же вид, как и в отсутствие внешнего магнитного поля.

Но это н означает, что классическая система не проявляет магнитных свойств. 6. Вычислить классическую и квантовую статистические суммы системы из Ф одинаковых одномерных невзаимодействующих осцилляторов с собственной частотой и Найти внутреннюю энергию и теплоемкость такой системы. Р е ш е н и е.

Функция Гамильтона 0 одномерного классического осциллятора имеет вид Поэтому классическая статистическая сумма одного осциллятора записывается следующим образом: = т)ирдеехр[-тр) = ~ ~рреер[-сартр) 1шееер[- — ррр-] — и — СО Интегралы легко вычисляются и в результате находим = йТ/(Йи), где Ь = Ь/2я .

(2.30) Для квантового осциллятора статистическая сумма дается формулой я е р[-Ырр~~) . Это выражение представляет собой бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем ехр(-йа/яТ). Поэтому ЬЛ 1 1 = '"р[ рщ р-еертЖе7рр~ = ррр~рр77рр) Отметим, что при лю/(яТ) << 1 гиперболический синус можно разложить в ряд и ограничиться первым членом разложения: зп х - "х.

Тогда формула (1.31) переходит в классическое выражение для статистической суммы (2.30). Очевидно, что статистическая сумма системы из М независимых одинаковых осцилляторов связана со статистической суммой одного осциллятора соотношением — 2зЬ р2-х7 (2.32) Внутреннюю энергию системы У можно найти с помощью формулы ~~тдту '"(~и д Дифференцируя соотношение (2.32), находим у уд ) [ Ерр ) у[ ~рре ) ре у[йу,ре, ) (2. 33) В классическом пределе рш/(йТ) ~ 1 отсюда получаем К (2.34) 40 Теплоемкость системы можно найти, дифференцируя по температуре выражение для внутренней энергии (2.33): г ~~~~им г р(ш~ат>-ц' ~и1 В классическом пределе йа/(яТ) < 1 отсюда находим С = ФК что совпадает с результатом, полученным непосредственно с помощью (2.34).

7. Пользуясь соотношением (2.7), получить выражение для плотности состояний р(Е): р(Е) = Яб(Е-Е.). Е Р е ш е и и е. Подставим в формулу (2.7) выражение (2.1) для статистической суммы Я = Яехр( — ДЕ): 0'+ гм ) = ~2п-, 1 ехр[Р(Е-Е,ЦпК ! 0' — гв Совершаем замену переменной Д = ~х: — г 0'+м р(Е) = Я2п- ) ехр~~х(Е-Е,ЦНх. ( — г О'-6$ Учитывая, что подынтегральиая функция не имеет особенностей в нижней полуплоскости комплексной переменной х, и используя интегральное представление для б-функции, приходим к выражению (2.35) для р(Е). 8.

Вычислить плотность состояний для нерелятивистского одноатомного ферми-бозе-газа с законом дисперсии с = = р /(2т). Ре ш е н и е. Воспользуемся соотношением (2.35) предыдущей задачи: Ис) = Еб(с-с,.). 1 Квантовые числа, характеризующие состояние частицы в рассматриваемом случае, — это проекции импульса р, р, р и х' у' г спииовое квантовое число о': д(е) Я О 'г — г Р Рэ Рро (2.36) 41 Суммирование по о' дает множитель у = 2з+1, где з — значение спина. Например, для электронов з = 1/2 и д = 2. Суммирование по проекциям импульсов можно заменить интегрированием по правилу 1.

~ =и~1 рк "а где Š— линейный размер системы по оси к (2.36) к сферической системе координат ваиие по углам, находим м 2 р(с) = — гг — (кр р~В (с — ~ — ], о Совершая замену переменной р /(2т) = х, 2 р та~2е "2 Т7223 2 и Ь х. Переходя теперь в и выполняя интегриро- к г имеем (2.37) при условии, что магнитное поле направлено вдоль оси г, имеет вид 2 с = г — + Ьд и+г '~г' где ы = ев/(тс) — циклотронная частота, и = О, 1, 2, ...— номер осциллятора Ландау.

Энергетический спектр электрона вырожден по квантовому числу р, характеризующему положения Д центра осциллятора Ландау: х = р /(то). обычное выражение для плотности состояний Используя (2.35), имеем 2 р(с) = Я б 2 — '+ Ьу и+~ — е 0',а „р,р г' у (2.38) Суммирование по спиновой переменной дает множитель 2. Переходя от суммирования по р и р к интегрированию, следует г д аккуратно выбрать пределы интегрирования. Очевидно, что интеграл по р берется в бесконечных пределах. При рассмотг ренин объемных свойств пространственно однородной системы естественно предположить, что центр осциллятора Ландау лежит внутри образца: О-х 42 9. Вычислить плотность состояний для нерелятивистского электронного газа в квантующем магнитном поле В, пренебрегая сп яновым расщеплением энергетических уровней. Р е ш е и и е. Закон дисперсии в указанном приближении где Š†линейн размер системы вдоль оси х. Это приводит к х условию, накладываемому на р: У' Π— р < иыЕ.

у СХ' Итак, для р(е) с помощью (2.38) имеем а ойдо 2 р(с) - 2м1гд Я (шр ] Вр В(а — ~-- — ьа (» ~]) . о-ОВ о Интеграл по р вычисляется элементарно. Так как подыитегральное выражение есть четная функция р, то м г Ути в р р(а) = 2 '~ 2 е (др 6(с — р-*- — Йи ( ~]), (2 нЬ) л-о где У = 1. Е Е . В интеграле по р удобно сделать замену це- х 2 г' г ременной р,/(2лт) = х.

В результате получим З/2„ (2.39) 2 и Ь " е-Ьсо,(п+1/2) В этой формуле суммирование проводится по таким значениям л = О, 1, 2, ..., при которых под корнем стоит иеотрнцатель- ное число. Легко убедиться, что выражение (2.39) переходит в формулу для плотности состояний в отсутствие магнитного поля при и ~ О. действительно, при и, ~ О суммирование по л в (2.39) заменяется интегрированием 3/2 с/(А(д )+1/2 2 ~ Ь о ~ — Ьо (~+1/2) Элементарное вычисление этого интеграла приводит к формуле (2.37) задачи 8. 1О. Определить среднее число столкновений молекул одно- атомного максвелловского газа с единичной площадью поверхности сосуда, в котором он находится, в единицу времени. Р е ш е н и е.