Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике.djvu), страница 2

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ ") О,< Е>, Š— внутренняя энергия Я вЂ энтроп У вЂ” объем р — давление )х — химический потенциал М вЂ” число частиц Т вЂ температу Š†свободн энергия Гельмгольца Ф' †теплов функция (энтальпия) Ф вЂ” термодинамический потенциал (свободная энергия Гиббса) й — большой термодинамическнй потенциал и — внутренняя энергия единицы объема (и У/Р) г — энтропия единицы объема (з = $/У) — о ость (Р = )тт/)г) С, — химический потенциал единицы массы гп — масса частицы Š— вектор напряженности электрического поля 0 — вектор электрической индукции Р— вектор поляризации Н вЂ” вектор напряженности магнитного поля  — вектор магнитной индукции М вЂ” вектор намагниченности 1 Гд~~1 й = — ~ — ~ — коэффициент теплового расширения (изотермическнй) Р С вЂ” теплоемкость при постоянном давлении Р С вЂ” теплоемкость при постоянном объеме.

бЯ вЂ” количество теплоты В Обозначения величин, встречающихся только один раз, приведены в соответствующих задачах. и — скорость движения К = — У~рЕ~ — нзотермический модуль всестороннего сжатия ГД 1 т=- тти — скорость распространения продольного звука с — теплоемкость единицы объема (с = С /У) Р Р с — теплоемкость единицы объема при постоянном Е Е с — теплоемкость единицы объема при постоянном 0 0 ь- †диэлектрическ проницаемость ~ — свободная энергия единицы объема () = Р/г) М вЂ” масса системы С вЂ” теплоемкость системы при постоянном Е 1ГЗ Д Р = — ~ — изотермическая сжнмаемость т р рот й — постоянная Больцмана Š— энергия системы в состоянии с квантовым числом л л Я вЂ” статистическая сумма канонического ансамбля — статистическая сумма канонического ансамбля, системы нз Ф частиц Ф 0(д, р) — функция Гамильтона й — постоянная Планка (й = Ь/2П) М вЂ” статистическая сумма больщого канонического ансамбля Š— энергия системы У частиц, находящейся в квантовом состоянии л пй ~0(Е) — плотность состояний И вЂ операт Гамильтона ~> †статистическ оператор гл — квантовая функция распределения и м(Е) — функция распределения в энергетическом представлении х(г) — потенциальная энергия п(г) — функция распределения по координатам .с — конфигурационный интеграл 1(р) — функция распределения по импульсам с — скорость света ь(р) †энерг частицы как функция импульса 0 — спиновый оператор Паули 0' — спииовое квантовое число )1 — магнетон Бора 0'.

— матрица Паули Ф вЂ” число заполнения квантового состояния А л Р (т)) — интеграл Ферми — Дирака й )Хб, ь .— энергия Ферми 'Г) — параметр порядка 1. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА 1.1. Термодинамика простых систем аи = т(з — рм+ры. (1.1) Внутренняя энергия и, рассматриваемая как функция 5, у и Ф, называется термодинамическим потенциалом.

При этом говорят„ что она задана в своих естественных переменных. Поскольку, д и д и например, в-т81Т = руд-т, то из (1.1) следует (1.2) На практике бывает удобно перейти к термодинамическим потенциалам с другими естественными переменными. Они получаются с помощью преобразований Лежандра Г(т,ки) = и-тБ, Щ5,р,У) ф(т, р, И) = и+ р)~, = и ° р)~-Т5, = и — Т5 — и~(. (1.3) Г)(т,ки) Термодинамика устанавливает точные соотношения между различными макроскопическими параметрами системы„т.е. различными экспериментально измеряемыми характеристиками. Для вычисления таких характеристик необходимо привлекать уравнение состояния, получаемое на основе статистического подхода или данных эксперимента.

Получение термодинамических тождеств основано иа использовании фундаментального равенства Гиббса, которое имеет вид Можно построить и другие потенциалы, например Л = У вЂ” рФ, однако практически они не используются. Из определений (1.3) с учетом (1.1) следуют равенства йГ = — 5ИТ вЂ” Рсй~+ 1иИ, ЛГ= Юр+Та5+ рт, ИФ = Юр — 5 НТ+ рйИ, сЯ = — 5дТ вЂ” рЛ' — ЖИр.

(1. 4) Из равенств (1.4) следуют аналоги равенств (1.2); например, из первого равенства (1.4) имеем (1.5) Практически переход от одних термодинамнческих переменных к другим удобно проводить, используя определители — якобианы перехода ди ди Зх ду до до . Вх Ду В[и я~] (1. 6) С их помощью частные производные записываются в виде ['"]„- 1И (1.

7) а переход от одних переменных к другим осуществляется следующим образом: ди,о ди о д1,з (1. 8) Если три величины к, у и г связаны функциональной зависимостью Дх,д,г) = О, то удобно использовать следующее тождество: (1.9) ьи = тих-рл~, Я] = -[1Я, (1.10) 10 Поскольку часто рассматриваются системы с фиксированным числом частиц, то соотношения (1.1)-(1.5) переписывают с учетом этого факта. Например, 1.2. Термодинамика диэлектриков и магиетиков При наличии электрического поля Е выражение для дифференциала внутренней энергии единицы объема системы и записыва- ется в виде с(и = Тйз+ ~Ир+ ~йЕЛ), (1.11) где с.

= р/т — химический потенциал, отнесенный к единице массы, тл — масса частицы, р = Л'гп/У, ьт — индукция электрическо- го поля. Плотность энергии и в (1.11) — это полый~ плотность энергии системы; изменение которой определяется теплопередачей, изменением числа частиц и изменением электрического заряда. Наряду с и можно рассматривать функцию ) = и-ИЕ1~ 1 (1.12) которая получается из и преобразованием Лежандра по переменным Е и О.

Поэтому Ии~ — 7'йз ~0р (1.13) Можно в явном виде выделить из и плотность энергии электрического поля и = и — Е /(8п). (1.14) Тогда, учитывая, что О = Е+ 4пР, где Р— поляризация, имеем с помощью (1.11) и"з = ТИз+ ~Ир+ ЕИР. Наконец, преобразуя и по Лежандру в отношении переменных Е и Р, имеем и = и — РЕ. 3 2 (1.16) Соответственно ~пз = 7'~з+Ыр-Р(Е. (1.17) Остальные термодинамические потенциалы получаются с помощью равенств (1.11)-(1,17) на основе общих соотношений (1.3). Функциям и и и можно дать наглядную интерпретацию в соответствии с характером описываемой ими части плотности полной энергии системы и.

Например, и описывает плотность энергии системы за вычетом плотности энергии электрического вид Ни = Тг(з+ ~др+ ~-ННВ. 1 (1. 18) Наряду с и рассматривается также термодинамический потенциал и = и — НВ/(4п). (1.19) Тогда Йи = Тг(я+ ~йр — 4 — ВйН. 1 (1.20) Можно выделить в явном виде плотность энергии поля в отсутствие магнетика: — И /(8п). магнитного (1.21) Тогда, учитывая соотношение В = Н+4пМ, где Н вЂ” напряженность магнитного поля, имеем (и, = Т з+ Иа+ Нам. (1.22) МиН: Преобразуем и по Лежандру в отношении переменных (1.23) Теперь для Ии имеем ~из (1. 24) Иногда в явном виде выделяют плотность энергии магнитного поля прн наличии магнетика = и — В /(8п).

В этом случае для дифференциала и' имеем Ии' = ТИх+ ~Ир — М~1В. (1.25) (1.26) поля. Использование функции и вместо и соответствует ситуации, когда полный электрический заряд системы остается неизменным, а изменяются электрические потенциалы. Выбор функций и, и1, и и и определяется тем, какая часть энергии электрически заряженной системы рассматривается в конкретной задаче. Термодинамические соотношения для магнетиков весьма сходны с аналогичными соотношениями для диэлектриков. Выражение для дифференциала внутренней энергии единицы объема имеет ЗАДАЧ И 1. Вычислить значение выражения с~р „Бт ~П~" ор Р е ш е н и е. Легко заметить, что приведенное в условии задачи выражение можно записать в виде определителя Теперь, пользуясь указанным свойством якобианов 11.8), имеем дТ Б дТ,Я д,Т дЯ дк' р т р Но нз дФ = -50Т+ У0р следует равенство И, — -Я'), Поэтому исходное выражение равно единице.

2, Выяснить, как меняется энтропия однородной системы при ее квазистатическом расширении при постоянном давлении. Зависит ли характер изменения энтропии от коэффициента теплового расширения а = 1т~д7~ ? '"Р Гд~1 Р е ш е н и е. Нас интересует знак производной Р Выразим эту величину через коэффициент теплового расширения и. Имеем с помощью метода якобианов ~~~] 1+~) 1~~~.~) й~~ ~) ~~~ [~~] е Р р р ТУгх так как с =т~ Р Использованное в (1.27) преобразование очевидно, поскольку справа мы хотим получить производную Р Теплоемкость при постоянном давлении неотрицательна, поэтому знак левой части (1.27) определяется знаком а.

Энтропия возрастает, если а положительно, и убывает, если а отрицательно. Например, при изобарическом расширении воды от О ло 4 С энтропия убывает. 3. Найти разность С вЂ” С теплоемкостей при постоянном Р давлении и при постоянном объеме для системы с неизменным числом частиц. 13 Р е ш е н и е. Используя фундаментальное равенство Гнб- бса 8Я = Тйз = (Ш + ~ИЛГ (1.28) имеем непосредственно С =Т8~~~ Считая в (1.28) внутреннюю энергию У функцией температуры н объема, можем записать С =Т8~ =С+ 8(' +р 8 Для выражения в квадратных скобках с помощью (1.28) имеем 8.Р, Р 8Р, Из соотношения НР = -ЯдТ вЂ” рЖ' следует Я„= [В], Поэтому [В]," -'[Ю, Теперь с помощью соотношения (1.29) получаем с -с,=тф Я].

(1.3О) Используя соотношение (1.9), можно представить разность С вЂ” С, в виде Р с,-с,=-т~ (1.31) нли с -с, = -т[11] Я] . (1.32) 14 4. Выяснить, у каких систем теплоемкость прн постоянном объеме С не зависит от объема системы. Р е ш е н и е. Нас интересует случай, когда обращается в нуль производная дс,/дГ. Поскольку С то необходимо исследовать величину д 0 д~(/ сП~с~Т дТЗ Г ' (1.33) Дифференцируя это равенство по температуре, с учетом (1.33) находим 8~и [а'~~ Итак, теплоемкость С не зависит от объема, если давле- ние — линейная функция температуры.

В этом случае д~ Е -=о. оТ~ 5. Выяснить, у каких систем те-: оемкость прн постоянном давлении не зависит от давления. Р е ш е н и е. Задача аналогична предыдущей. Учитывая, что ~Ж = Т65+ РЫр, (1. 34) имеем Составляем производную дС ~2]~ Т 07Рр Поскольку из (1.34) следует = Р+Тр— то с помощью соотношения сй = — 5дТ ~- Ю~р находим од . БТ Теперь для дС /др получаем я -е = ~~ [~ - тЯ] ] - -т(8— ~ ",'] . Видно, что С не зависит от р, если объем системы à — линейная функция температуры. Так как йИ = ТН5 — рЖ', то ~~(р~ = Т~~р~ — р.

Но из г)г = гни га51 т т = -5пТ вЂ” р~Л~ следует ~~~~~ = ~~)у~; поэтому ]ф] = тЯ -р. 6. Найти уравнение состояния системы, для которой выпол- няются условия ~~(т! = О, р( — ! = О. т Р т Р е ш е н и е. Из уравнений, полученных в двух предыду- щих задачах: Ю,-'Р),-' 7Й,-"-'И, в рассматриваемом случае следуют равенства Эр р' сП7 Отсюда получаем для дифференциала температуры Я ~р+ Я] ~ Ьр+~~, или Интегрируя, находим р(т = СТ, где С вЂ” произвольная постоянная, которую нельзя определить термодинамически. 7. Доказать тождество "тр т ~' Ре ш е н и е. Способ!. Подобные равенства удобно доказывать, рассматривая стоящую слева функцию У(р,Я) как сложную функцию переменных р и Я, от которых зависят переменные (~ и Т, фигурирующие в правой части тождества ~(Р ~) = (т(Р.ТР Р)).