Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике.djvu), страница 5

Обратим внимание на то, что к а(1) приведенные соображения непрнме- пимы. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Вычислить скорость звука в идеальном газе н газе Вандер-Ваальса, исходя из его термодинамического определения ~гдр/др) 2. Газ продавливается через пористую перегородку таким образом, что давления по обе стороны перегородки постоянны н равны р1 и р2 соответственно (процесс Джоуля †Томсо). Показать, что для идеального газа температура в таком процессе не меняется. Как будет меняться температура в газе Ван-дер-Ваальса? 3. Найти разность С вЂ” С для газа Ван-дер-Ваальса. Р 2. РАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИКА КЛАССИЧЕСКИХ И КВАНТОВЫХ СИСТЕМ 2.1. Статистические суммы (2.1) Я вЂ” = 11 = |',ехр( — рЕ ), и где р = 1/(лТ) — параметр распределения Гиббса, Š— энергия системы в квантовом состоянии, задаваемом набором квантовых чисел и.

Для классической системы из Ж тождественных частиц статистическая сумма 9„, дается выражением ) пГ ехрИЗН(р, д)), (2.2) (2пй) Ж! где 0(р,д) — функция Гамильтона системы, а интегрирование проводится по всему фазовому объему системы. Множитель 1/(2пй) связан с соотношением неопределенности Гейзенберга ЗФ и имеет смысл элементарного объема в фазовом пространстве, при перемещении внутри которого изображающей систему точки не появляется нового микроскопического состояния. Множитель 1/У1 связан с квантовой неразличимостью тождественных частиц. Он обеспечивает правильную зависимость термодинамических характеристик от числа частиц Ж в системе (см.

задачу 1). Свободная энергия Е связана со статистической суммой (~ канонического ансамбля соотношением 31 В равновесной статистической механике вычисляется статистическая сумма рассматриваемой системы в каком-либо ансамбле. Информация о свойствах системы извлекается из статистической суммы с помощью термодинамики. Наиболее широко используются два ансамбля — канонический и большой канонический. В каноническом ансамбле статистическая сумма Я для квантовой системы из У частиц имеет вид В большом каноническом ансамбле статистическая сумма Х определяется выражением — Е Еехр(р(и)~-Е )], У=О л ей (2.

4) где р — химический потенциал, а Е,„— энергия системы из У частиц, находящейся в квантовом состоянии, задаваемом набором квантовых чисел п. Со статистической суммой М связан термодинамический потенциал Й й = -йТ1пЖ. (2.5) Статистические суммы в разных ансамблях связаны между собой преобразованием Лапласа — Меллнна.

Например, плотность состояний р(Е), которая является статистической суммой в микроканоническом ансамбле, связана со статистической суммой Я соотношением, следуюгдим непосредственно нз (2.1): Я = Х р(Е) ехр( — РЕ) НЕ. (2. б) 0 Теперь очевидно, что <м~ = '['„ы] (2.10) 32 1 Оъю'а р(Е) = 2-„( Х СЮ-р(аЕ) Ю (2. 7) ~о'-ссо Далее формулу (2.4) можно записать в виде Х = Е ехр(Р(хУ) 9 .

(2. 8) Ж-О Соотношение (2.8) можно рассматривать как дискретное преобразование Лапласа. При решении задач следует избегать непосредственного вычисления искомой средней характеристики системы путем усреднения ее микроскопического аналога. Необходимо помнить, что вся информация о макроскопических свойствах системы содержится в ее статистической сумме, и извлекать ее из выражений (2.3) и (2.5) следует методами термодинамики. Для некоторых макроскопических характеристик можно записать формулы, непосредственно выражающие их через соответствующие статистические суммы. В частности, для внутренней энергии У справедливо выражение « = <я> = -(' ~<а) = я.

(2.9) Для среднего числа частиц <Ф> в большом каноническом ансамбле имеем 2.2. Функция распределения Часто функция распределения задается в каком-либо конкретном представлении. Например, в энергетическом представлении со- отношения (2.11) и (2.12) принимают вид Е - Ое р(-тр], (2.13) <А> = О«А(е„) ехр(- т1], Е (2.14) р) л где А(Е ) — диагональный матричный элемент оператора А в в энергетическом представлении. Классические аналоги формул (2.13) и (2.14) записываются следующим образом: «АЕ) = ~ехр(- тр], <А> = ~йЕ р(Е) и)(Е) А(Е), (2.1б) где р(Е) — плотность состояний в энергетическом представле- (2.15) нин.

В классических системах часто используются функции рас- пределения по координатам и импульсам. Написав для функции Гамильтона выражение У Н(г,р) = Я 2 — (+ У(г), 1 где потенциальная энергия 0(г) зависит то высо от координат частиц, можно представить распределение (2.11) в виде р(г,р) = (2пЬ) п(г) П ((р.). 1 Здесь функция распределения по координатам «(е) = 2 е р (- -Ц~], а е. — конфигурационный интеграл: 2 - )2,.) Ш. е р (- -Я(] В каноническом ансамбле квантовая функция распределения (оператор плотности) определяется соотношением л р = ~ехр(-тр], (2.11) где Н вЂ операт Гамильтона системы, а 9 † статистическая сумма: Я = Бр ехр( — Н/ИТ).

Среднее значение физической величины А дается формулой <А> = Бр(рА) (Ярр = 1). (2.12) 2. А.С.Кондратьев, В.П.Романов ЗЗ Одночастичная функция рас.".ределеь т по импульсам определена равенством ) пр ПР) 8(Р). (2.18) Интеграл в (2.17) вычисляется по координатам всех частиц системы. Интегрирование по р в (2.18) проводится по импульсной переменной одной частицы. Если под У понимается только энергия взаимодействия частиц системы с внешним полем М 0(г) = Е 0(г,.), Е-1 то функция л(г) аналогично функции распределения по импульсам распадается на произведение функций распределения отдельных частиц: Ф л(г) = П л(г.), 1=1 нормированных условием Уагл(г) = 1. При этом интеграл по г в (2.17) распадается на произведение интегралов по координатам каждой частицы системы.

Использование функций распределения бывает удобным„ когда требуется найти среднее значение микроскопической величины, которая не является термодинамической леременной. ЗАДАЧИ 1. Найти уравнение состояния, внутреннюю энергию и тепло- емкость классического идеального одноатомного газа, рассматривая его статистическую сумму в каноническом ансамбле. 34 Функция ~(р) распадается на произведение трех функций: 2 ир) = ир,~иаир), ир,) = „,'„„,-Р[-~*~).

С помощью введенных функций средние значения физических величин„зависящих только от координат или только от импульсов, даются формуламн <А> = ~Ыг л(г) А(г), Р е ш е н и е. Функция Гамильтона для одноатомного иде- ального газа из У частиц имеет вид У р'. О(Ч,Р) = Е 2-'-. с=1 Интеграл по фазовому объему системы распадается на произве- дение интегралов по пространственным и импульсным перемен- ным. Интеграл по координатам каждой частицы дает объем системы. Интеграл по импульсам распадается на произведение ЗУ интегралов гауссова вида )г ехр(-ахи) Нх = з%/а. Поэтому выражение для статистической суммы ~ принимает вид = — — (2пийТ) зч э ж,зл~ ~, Свободная энергия г системы определяется соотношением (2.3).

Используя формулу Стирлинга 1пж! = Ф1П~, е' находим г = — яТМ 1п)() +21пТ+ сопз1 . 1~ 3 В константу объединены члены, не зависящие от Ж, ~' и Т. Теперь с помощью термодинамического соотношения находим ~Ф! А™ )77т т р Гав 1 1 ~ТЛ т 5 = — оТ = ЯМ )(г+ 21пТ+ сопМ + ~Ай. Теплоемкость можно найти по формуле ЭТ ~, = 2' Внутренняя энергия У может быть найдена с помощью любого из соотношений Ц Р+Т~ Р Т б~~~ Т2 д Р 3~~Т нли непосредственно с помощью формулы (2.9). 2.

Найти уравнение состояния, внутреннюю энергию и тепло- емкость для ультрарелятивистского газа с законом дисперсии 35 е(р) = с]р], где с — скорость света, рассматривая его статистическую сумму в каноническом ансамбле. Р е ш е н и е. Поскольку функция Гамильтона ° 0 системы складывается из энергий отдельных частиц е(р), то выражение (2.2) для статистической суммы можно сразу записать в виде Переходя в интеграле по импульсам к сферической системе координат, получаем (ир шр ар е р (- -Ц-~] = 4г] шр р ехр (- й]. — Ш 0 Получившийся интеграл можно вычислить двукратным интегрированием по частям или с использованием интегрального представления для Г-функции Г(г) =,/'Нге ~г~', Кег О.

о В результате находим (~ 1 УЗ А (2.19) 36 Свободная энергия г", определяемая с помощью (2.19), равна Р = -КИТ 1п)(г+31пТ+ сопз1 . Внутренняя энергия У дается формулой и = -Т' Ц~~ = ЗИЯЕТ или вычисляется с помощью формулы (2.9). Отсюда для С имеем = 3Жй. Уравнение состояния имеет такой же вид, как и для классического нерелятивистского газа: 3.

Найти внутреннюю и свободную энергии и теплоемкость С, при постоянном объеме столба одноатомного идеального газа из Ж молекул в трубе высотой Ь и площадью сечения 5, находящегося в однородном поле тяжести напряженностью д. Определить С в предельных случаях таей /(яТ) < 1 и таей /(йТ) э 1. Р е ш е н и е. В рассматриваемом случае функция Гамильтона имеет вид Фр', И 0= 1;и — +~,шах. (2. 20) ~=! <=1 где г. †высо, на которой находится г-я молекула газа. При таком виде функции Гамильтона формула (2.2) содержит произведение интегралов по динамическим переменным каждой части- цы.