Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 15

Интегрируя последнее вы- РажЕНИЕ ПО ВСЕМ ВОЗМОЖНЫМ ЗцаЧЕНИЯМ КОМПОНЕНТЫ СКОРОСТИ Оа, МЫ найдйм искомый импульс, передаваемый 1 ежа поверхности стенки ф за 1 сек, всеми ударяющимися об ей поверхность молекулами газа. Переданный за ! сек. импульс равен, очевидно, силе, действующей на 1 смз поверхности, т. е. давлению газа р: или т Тк' Р=— 2и Р' (12,4) Для определения числового значения л необходимо сопоставить уравнение (12,4) с экспериментальным значением давления достаточно разрежвнного газа. Последнее давтся формулой уравнения состояния рЛ= Рот.

Сравнивая это выражение с (12,4), мы видим, что параметр а связан с абсолютной температурой Т соотношением т л = —. 2аТ ' (12,5) Равенство (12,5) подтверждает, что формально введенный нами параметр а является существенно положительной величиной. При определении связи между а и температурой Т нам пришлось прибегнуть к данным эксперимента. В дальнейшем нам прндйтся столкнуться с параметром, аналогичным л.

Тогда вопрос об определении смысла и значения параметра будет обсуждвн детальнее. Мы увидим, что смысл параметра а может быть выяснен без непосредственного привлечения данных эксперимента. Найдйм ещз число к ударов молекул об 1 с.ив стенки за 1 сек. Формула (12,1) лайт число молекул, достигающих стенки за секунду н имеющих скорость между о и и +Ыо . Полное число молекул, ударяющихся об 1 смг стенки за 1 сек., получается интегрированием (12,1) по всем значениям и от нуля до бесконечности. Это даат: (12,6) ф 13.

Вычисление характерных величин для идеального гази Перепишем теперь распределения Максвелла (11,17) и (! 1,16), выразив в них параметр а через абсолютную температуру газа: т1в" +в +в! г г ! т г(п„=л~ — ~ е г"т ~(п ~2п еЬ, — (2кдт 1 к в х х, ~2п =4лп( — ) е '"тогг(о. ъ,2кЛТ / (13,!) (13,2) Вместо того, чтобы пользоваться распределением частиц газа по состояниям, мы можем ввести эквивалентное ему расйределение вероятностей того, что отдельная частица попадает в данное состояние.

5 звк. 1ггз. в. Г Левкх 6 13! вычисления хгвхктвгных ввличин для идеального газа 65 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ (гл. ш в 1 сл/з газа, имеющих данную скомолекул равно и, то, очевидно, вероятность того, что некоторая произвольно выбранная молекула попадает в состояние с данной скоростью, равна Если среднее число молекул рость, равно //и, а полное число п~ь„.~ и /,л /У ///' /// Ж /г Ф д й д Йд /// (х А// / и„//е ггы Рис.

12. Поэтому функцию распределе- ния Максвелла можно трактод вать как функцию распределен ния вероятностей того, что / отдельная молекула попадЕт Р в данное состояние. Последнее д ~/у /// /Х д// /ц.)/р/и характеризуется значениями ,',,'М/ Рис. 11. компонент скоростей и , ОР И О,. На рис.

11 и 12 изображены функции распределения по компонентам скорости и абсолютной величине скорости. Поскольку невозможно изобразить графически функцию трйх переменных, на рис. 11 по оси ординат отложено значение †, а по оси п(п ) и бе дг абсцисс — величина 1 — ) О . '12/г/ ) ' //а Кривая распределения является й/ симметричной по отношению к положительным и отрица- ТЕЛЬНЫМ ЗНаЧЕНИЯМ Оп, ИМЕЕТ максимум при т/ =О и асимптотически обращается в нуль дд при стремлении аргумента к бесконечности.

На рис. 12 по оси ор- д динат отложена функция — , и (и) и по оси абсцисс — величина ( — )' — ) О. Эта кривая обращается в нуль при и =О, проходит через МТ) максимум при некотором значении аргумента и асимптотически стремится к нулю при бесконечно больших значениях скорости. Таким образом, мы видим, что число молекул в газе с очень малыми и очень большими скоростями сказывается сравнительно небольшим. Тем не менее, всегда можно найти известное число очень быстрых и очень медленных молекул. Ня первый взгляд может по- $131 вычислвнив хлглктвгных ввлнчин для идвлльного глзл бу анх а.г аа а гвивжйаа аювпш,чтл ~1=Ы=а —.

Юм Таким образом, каждой скорости и отвечает определенный сдвиг дисков на угол ч или угловая 'скорость а, Изменяя эти величины, можно пропускать в ловушку частицы, имеющие определенную скорость (точнее, скорость, лежащую в малом интервале Ьпе, определяемом шириной щелей). Число частиц в пучке, обладающих данной скоростью, определялось непосредственно по фотометрнческому измерению толщины осадка в повушке-пластинке, охлаждаемой жидким воздухом. После пересчета распределения скоростей в молекулярном пучке на распределение скоростей в нзотропных условиях (см. задачу 31) получавтся гистограмма, изображвнная на рнс.

14. Кривая на том же Рисунке представляет распределение Максвелла (для паров ртути), казаться странным, что функция распределения по скоростям имеет юы' максимум. Действительно, множитель е 'ьт экспоненцнально убывает с квадратом скорости молекулы. Поэтому число молекул с данной скоростью должно быть тем меньше, чем больше скорость. Однако второй мьо,китель оз изменяется в противоположном направлении и растет с ростом скорости. Этот множитель характеризует число состояний молекул со скоростью, меньшей данной. Конкуренция обоих множителей приводит к появлению максимума в функции распределения.

С ростом температуры распределение становится все более пологим. Это означает, что относительное число молекул с данным большим значением скорости постепенно возрастает. На рис.13 изображено изменение распределения Максвелла с ростом температуры (для молекул кислорода). й Экспериментальная проверка распределения Максвелла являлась одной из важнейших задач молекулярной физики. Поэтому было разработано несколько методов изме- Рис.

13. рения распределения скоростей. Самым наглядным из них является опыт, идентичный с известным опытом физо по определению скорости света. Молькулы, испаряющиеся с поверхности раскаленной нити, пропускаются через систему щелей — линз, образующих узкий молекулярный пучок, летящий в вакууме по направлению к ловушке.

На пути пучка устанавливаютса два вращающихся диска с прорезями, через которые должен проникнуть пучок. Для того чтобы молекулы, имеющие скорость о, могли проникнуть через обе щели прн заданной угловой скорости а вращения дисков и расстоянии 1 между ними, щели должны быть смещены на угол ч, равный 68 1гл.

ш КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ил„ 'и = ) 'л 1Йв = ~ юм— о» чы ~ <" м(В +В) =-(2 —,Г) ' ~ п.а '"'~Ъ ~ ~ по дои, который бератся от нечзтной функции, равен, очевидно, нулю (см. Приложение !). Поэтому среднее значение и равно нулю: Интеграл зал ГР м !О Г Этот результат является совершенно оче- Р аа нгтгыгюмазп ч А видным. Он показывает, что оба направления движения вдоль оси л являются равноРнс. 14. вероятными. Аналогичный результат мы получили бы при вычислении любой другой компоненты скорости. Таким образом, в силу изотропии всех направлений движения в пространстве среднее значение вектора скорости равно нулю: (13,3) Аналогичным образом равны нулю средние значения любых нечзтных степеней от вектора скорости или его компонент: (и)яч+' = 0 при любом целом а.

Другой весьма точный метод измерения распределения скоростей в молекулярном пучке паров лития, натрия или им подобных газов, атомы которых имеют полуцелый спин, основан на изучении поведения пучка в магнитном поле, перпендикулярном к направлению его движения. Он представляет повторение известного опыта Штерна и Герлаха для определения магнитных моментов, но детально не может быть описан в рамках этой книги. Эти и ряд других, более косвенных методов измерений распределения скоростей(см., например, задачи 22 и 27) позволяют считать доказанным наличие максвелловского распределения скоростей в газах.

Зная распределения (13,1) и (13,2), можно найти средние значения любых величин, характеризуюших свойства газовых молекул. Найдзм прежде всего среднее значение какой-либо компоненты скорости, например о . По определению среднего значения $131 вычисление хлглктегных величин для идеального гьзь 69 (13,5) Как видим, она не зависит от природы молекулы и пропорциональна температуре газа Т. Средняя энергия Е всех газовых молекул в сосуде равна сумме энергий поступательного движения всех молекул, поскольку взаимодействие между ними отсутствует: Е = № = — й((г Т, 2 (13,8) где 7ч' — полное число молекул в газе. Энергия идеального газа не зависит от объема сосуда и определяется только абсолютной температурой а). а) Может показаться, что независимость средней ввергни газовой моле- «улы от размеров сосуда противоречит квантовой формуле для энергии (3,!3), ! согласно которой а„—, где а — линейный размер сосуда.

Нужно, однако, аа помнить, что средняя энергии определяется проэзведением энергии на чи- сло ква итовых состояний. Последнее согласно (4,3) н (3,6) пропорцио— 1 нально й(а) К 'Гса аа — ла. Это и приводит е цезависимости энергии и от объема, Найдвм теперь среднее значение абсолютной величины скорости, Имеем, очевидно, по определению и из формулы (13,2): СО ЮЮ' ! лн о = ~ о — = 4л~ — ) ~ е выпас(тг г2ла7) о = — '(' — '~)" = 1,!3(' — '")'*. (!3,4) В соответствии со сказанным выше средняя скорость молекулы возрастает с ростом температуры.

Это возрастание пропорционально корню из абсолютной температуры газа.Мы видим также, что средняя скорость молекул обратно пропорциональна корню квадратному из массы молекулы. Большой интерес представляет среднее значение кинетической энергии газовой молекулы в. Оно равно тоа 2 ' Среднее значение квадрата скорости может быть легко вычислено непосредственно: о = ~ оа — =4 (2 йТ) ~ г елоо 2 ( ). (13,6) о Таким образом, средняя кинетическая энергия поступательного движения газовой молекулы оказывается равной — 3 в = — нТ. 2 (13,7) 7О [гл.

щ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ Мы будем отождествлять эту среднюю энергию механического движения молекул газа с макроскопической тепловой эн.ргией. В связи с этим абсолютную температуру мы должны с кинетической точки зрения трактовать как величину, характериаующую средн|ою энергию движения молекул. В настоящее время такая трактовка является единственно возможной. В следующей главе мы подробно остановимся на обсуждении этих утверждений. Полученные выражения для средней энергии отдельной молекулы и газа в целом могут быть интерпретированы следующим образом. Каждая молекула имеет трн степени свободы, и ев движение может быть разложено на движение в трдх взаимно перпендикулярных направлениях. В силу равноправия всех направлений в пространстве средняя энергия движения в каждом направлении должна быть одинаковой.