Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 19

Как показывают полученные формулы, вылетающие нз щели молекулы имеют ббльшне характернстнческне скорости, чем молекулы в объбме газа. ГЛАВА !Н СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 9 17. Квазинезависимые системы Рассмотрим некоторую мак раскоп иче скую систему, состоящую из весьма большого числа частиц. Мы будем предполагать, что движение всех частиц определяется законани квантовой механики; состояние каждой частицы характеризуется некоторыми квантовыми числами. Разделим всю нашу систему на большое число частей так, чтобы взаимодействие межлу этими частями было весьма слабым, и им можно было в первом приближении пренебречь. Мы будем называть всю изучаемую систему собранием ей почти независимых частей.

Такие слабо ззаимодействуюшие между собой части системы движутся в первом приближении независимо друг от друга. Однако взаимодействие, существующее между ними, приводит к тому, что фактически движение одной из частей влияет на движение другой, н полной независимости между ними не существует. Мы будем называть в дальнейшем слабо взаимодействующие части большой системы иеазинезаеисимыми подсистемами, или ирослго лодсистемами. Остановимся прежде всего на вопросе о том, когда подсистемы, образующие большую систему, можно считать квазинезависимыми. Очевидно, что подсистемы являются квазинезависимыми, если энергия их взаимодействия в среднем мала по сравнению с энергией каждой из подсистем.

Это означает, что если в некоторых случаях взаимодействие между подсистемами может быть достаточно большим, то при этом длительность взаимодействия должна быть настолько малой, что подавляюще большой промежуток времени движения они проводят, совсем не взаимодействуя друг с другом. В качестве примера такого рода подсистем можно привести молекулы идеального газа, которые лищь изредка и на очень короткий промежуток времени вступают в сильное взаимодействие друг с другом.

90 [гл. Тч СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕИИЬ В других случаях между подсистемами может происходить непрерывное, но слабое взаимодействие. Представим себе, например, что каждая из подсистем, входящих в систему, содержит очень большое число частиц (атомов или молекул) и является, таким образом, макроскопической системой. Тогда полная энергия подсистемы, слагающаяся из энергий движения отдельных частиц, будет пропорциональна полному числу частиц, входящих в подсистему.

Число частиц будет в свою очередь пропорционально объбму рассматриваемой подсистемы. Взаимодействие между различными подсистемами обусловлено главным образом силами молекулярного взаимодействия между молекулами, находящимися на поверхности каждой из взаимодействующих подсистем '). Силы молекулярного взаимодействия так быстро убывают с расстоянием, что вклад в энергию взаимодействия, вносимый взаимодействием молекул, находящихся в глубине подсистем, мал по сравнению с вкладом поверхностных молекул.

Поэтому энергия взаимодействия между подсистемами пропориионалдна числу молекул, находящихся на их поверхности, т. е. величине самой поверхности. Таким образом, внергия подсистемы в пропорциональна Утз, где ус — характерный линейный размер системы, а энергия взаимодейстяия г,в )тз. Их отношение рв вв в Яд 1 А1 д р делается достаточно малым при достаточно большом )ч'. Если подсистема содержит очень большое число частиц, энергия взаимодействия еб с окружающими подсистемами будет мала по сравнению с собственной энергией подсистемы. В этом случае подсистему можно считать слабо взаимодействующей с остальными системами собрания, а еб энергию — постоянной.

Энергию всего собрания квазинезависимых систем можно считать равной сумме энергий отдельных частей, т. е. Е = ~~ е,, (!7,1) д) Мы нигде ие будем учитывать гравитационного взаимодействия, связанного с притяжением по закону всемирного тяготеяия, поскольку оно валяется весьма слабым и не играет никакой роли в молекулярных процессах. Нужна, однако, заметить, что при изучении макроскопическнх свойств вещества в астрофизических проблемах гравитационное поле в ряде случаев имеет весьма существенное значение и должно обязательно учитываться. где знак — подчеркивает тот факт, что при написании (17,1) мы пренебрегли энергией взаимодействия между подсистемами, образую- щими собрание.

Суммирование в (17,1) ведвтся по всем частям си- стемы (подсистемам). э 18! 9! статистнчвсков влспгадвленив В 18. Статистическое распределение Мысленно выделим из всей системы одну произвольно выбранную подсистему. Эта подсистема состоит из некоторого числа молекул (как мы только что пояснили, оно может быть и большим и малым, в зависимости от конкретного характера тех подсистем, из которых построена система), движущихся по законам квантовой механики. Энергия нашей подсистемы не является строго постоянной, а, напротив, вой время изменяется з пределах величины емн где з„ вЂ энерг взаимодействия системы с ей окружением. Хотя з„ вЂ” весьма малая величина и ею можно пренебречь в балансе энергии, тем не менее существование взаимодействия играет очень существенную роль в поведении системы.

Именно, благодаря наличию взаимодействия состояние системы не будет оставаться неизменным. Напротив, она будет переходить из одних состояний в другие. Иными словами, взаимодействие подсистемы с окружающими ее телами служит причиной переходов ее из одних квантовых состояний в другие. Это взаимодействие имеет чрезвычайно сложный и запутанный характер.

Уже в простейшем случае, когда в качестве подсистем фигурировали отдельные молекулы, мы видели, что попытка определить движение каждой молекулы, т. е. последовательность изменения состояний, представляет огромные трудности. В газе, состоящем из очень большого числа частиц, проявлялись новые закономерности, характерные для коллективного движения всех газовых молекул. Движение отдельной молекулы, даже если бы мы смогли определить его с достаточной степенью точности, не характеризовало бы свойств газа.

Так, например, если бы мы нашли, что какая-то газовая молекула движется с очень большой скоростью, то это вовсе не свидетельствовало бы о том, что все газовые молекулы движутся с большими скоростями, н не отражало бы никаких закономерностей, характерных для газа в целом. Для газа в целом, состояние которого мы хотели найти, выявляются новые статистические закономерности, кратко сформулированные нами в виде положения о молекулярном хаосе. Совершенно аналогично обстоит дело и в общем случае макроскопической системы, состоящей из большого числа квазинезависимых подсистем.

Взаимодействие между подсистемами будет приводить к изменению их состояний — переходу из одних состояний в другие. Взаимодействие между подсистемами является настолько сложным, что точное определение состояния каждой из систем становится задачей еще более трудной, чем нахождение движения отдельных молекул в газе. Вместе с тем, такое определение теряет всякий физический смысл. Действительно, если бы даже мы сумели найти, в каком состоянии находится некоторая подсистема в данный момент времени, через весьма короткое время в результате взаимодействия с другими подсистемами она перейдйт в другое состояние.

Поэтому состояние [гл. ш 92 стьтистичясков Рлспгвдаланиз единичной подсистемы, входящей в большое собрание систем, известное в некоторый момент времени, не характеризует состояния всего собрания, подобно тому как скорость отдельной газовой молекулы ещв не характеризует свойств газа, как целого. В связи с этим мы заранее отказываемся от описания поведения отдельной системы и будем искать статистические законы, характеризующие поведение всего собрания систем в целом. Это означает, что мы не будем пытаться детально проследить за последовательным изменением состояния отдельной подсистемы с течением времени, а будем стремиться найти вероятность твг того, что одна произвольно выделенная из собрания подсистема попадет в некоторое 1-е состояние.

Если это распределение вероятности будет нами найдено, то мы сможем: 1) найти среднее число систем, находящихся в данном состоянии, если нам задано собрание, состоящее из М одинаковых подсистем (например, число молекул, находящихся в данном состоянии, если подсистеме соответствует отдельная газовая молекула); 2) найти среднее значение любой величины, характеризующей состояние отдельной системы, на- ' пример ее энергии, по общим правилам, изложенным в 9 8; 3) найти отклонение величин от их средних знач е н и й, характеризующееся средней квадратичной флуктуацией. Примеры нахождения средних значений различных величин (скорости, энергии и т.

п.) были приведены уже в главе П1. В том случае, когда в качестве отдельной системы выступает не молекула, а некоторая макроскопическая квазинезависимая подсистема, состоящая в свою очередь из очень большого числа частиц, мы можем воспользоваться общими статистическими рассуждениями й 9. Последние показывают, что в такой системе все величины имеют значения, очень мало отличающиеся от своих средних значений. Поэтому если нам известны последние, то мы можем считать, что с огромной степенью точности нам известны истинные значения всех величин, характеризующих состояние подсистемы. Таким образом, если бы мы сумели найти распределение вероятностей различных состояний подсистемы и средние значения всех ед характерных величин, то мы знали бы ей состояние с огромной степенью точности.

Если квазинезависимыми системами являются отдельные молекулы, †случ, который реализуется только з разреженном газе,— вычисленное среднее значение какой-либо величины, например скорости, может очень значительно отличаться от истинной скорости этой молекулы. Однако при рассмотрении поведения газа, состоящего из очень большого числа частиц, снова можно считать, что средние значения очень мало отличаются от истинных. Мы видим, таким образом, что постановка вопроса в статистической фиаике в принципе ничем не отличается от постановки вопроса в кинетической теории газов. Мы исследуем статистические закона- $181 стлтистичзскоа глспгздаланиа 93 мерности, проявляющиеся в системах, состоящих из очень большого числа частиц. Зная эти закономерности, мы можем вычислять средние значения всевозможных величин.