Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 16

Таким образом, формула (13,7) означает, что на каждую 1 степень свободы в среднем приходится энергия, равная — 7АТ. Это 2 утверждение является частным случаем весьма общего закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы. В 2 39 мы подробно обсудим этот закон и укажем границы его применимости. Формула (13,8) показывает, что средняя энергия всего газа, при- А7Л7 ходящаяся на одну степень свободы, равна —. Если отождествить 2 эту энергию с термодинамической энергией (подробнее см.

9 31), то получаем, что на каждую степень свободы идеального одноатом- ФА ного газа приходится тепловмкость — . 2 ' Представляет интерес установить связь между энергией газа в и его давлением р. Записав (12,2) в виде р=2п1 1' ) е еат(~п )~й~ 12ЯДТ/ е » (е -е') ~~ ~( ~~~~) ~ — е з еьп ~ ~ е еаг сь |й~+ е ее +(,,—.,-Т)' Фе е" ° ~ ~ е е'™*".+ ее,, яи~'~ а 1» (е +Е„") +(2~йТ) ~ 2 $14) елспгвдвлвнив млксввллл, вывлжанноа чввзз имптльс 71 ФИФ 2пГ т И~ Г лнв , ет/о дв,(, = 3 ~2хлТ),~ 2 2 М/те~~ 2 Дч 2 Е ЗУ12 / 3 Р ЗР' (!3,9) — (е 'жтоз) =О, Легко находим: =( )" (13,10) Сравнивая (13,10) с (13,4), мы видим, что средняя скорость молекул на 13% больш наиболее вероятной. Часто вводят также понятие о средней квадратичной скорости 1' вз, характеризующей энергию газовых молекул.

В силу (13,6) эта величина равна УФ = ~( — )'*= 1,22( — ) '. (13,11) Соедняя квадратичная скорость на 22з/ больше наиболее вероятной. Это вполне естественно, так как вклад быстрых молекул в энергию должен быть больше, чем вклад медленных. 5 14. Распределение Максвелла, выраженное через другие переменные. флуктуация внергии Найденный нами в $ 11 закон распределения молекул идеального гази по скоростям может быть выражен также н в других переменных, характеризующих движение молекул. К таким переменным принадлежат.

прежде всего импульс и энергия, Предположим, что мы хотим найти среднее число молекул в единице объвма, компоненты импульса которых имеют значения, лежащие в интервале р , р +с/рн; р„, р„+ г/р„; р„ р,+г/р,. Для этого мы должны в распределении (11,17) перейти к новым переменным р„, мы видим, что давление идеального газа оказывается численно равным з/з от кинетической энергии поступательного движения молекул газа, находящихся в единице объема. Наконец, найдем скорость молекул газа о , при которой максвелловское распределение имеет максимум, т.

е. наиболее вероятную скорость. Йля нахозшения ей ищем максимум функции распределения, который определяется из условия (ГЛ. Ы2 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ р„, р„связанным с переменными о, о„, оа соотношениями: Ре=то, )22= — тоя, Да=те. Производя это простое преобразование, находим: 2 2 2 Ре+РР+Р» (14,1) 12ет12Т ) Аналогично среднее число молвнул с абсолютным значением импульса, лежащим между р, р + 22р, равно Рв 2122 = 4яп( ) ° е таят рвйр 1 22тЛТ 7 (14,2) Найдем теперь распределение Максвелла по энергиям. Для этого мы тгл должны ввести новую переменную е= —.

Очевидно, имеем: 2 ' Г22 о22Ъ = у У т т' Поэтому для среднего числа молекул с энергией между з и е+Фе по (14„2) находим: в2а =л, ° е )/вг(2, 2 (1 4,3) 1'я (ЛТ)2 С помощью законов распределения (14,2) и (14,3) могут быть найдены средние значения )2' и 2", где г — любое число. Мы ограничимся вычислением средней энергии а и среднего квадрата энергии 22 одной молекулы. Очевидно, имеем; а — Фл, 2 '= !' — '= Ьтаив „, (14,4) Л )/ вв (ЛТ)2 Для вычисления интеграла нужно ввести новую переменную х = )/2.

Простое вычисление вновь приводит нас к формуле (13,7). Вычислим теперь значение среднего квадрата энергии 22. Очевидно, имеем: а вала 2 Г в Че Ат,1 ,! „У я (аТ)2 „! Интеграл вычисляется с помощью подстановки 1/е = х. Простое вычисление дает: авв 4 !Т а ° о Ь" (лТ)2 ~ ° '5Ф Р),Г =15(йт)в, ~'~с (ЯТ)а 16 $151 стОлкнОВения молекул между СОБОЙ 7З Наконец, представляет интерес вычисление относительной флуктуации энергии За.

Из предыдущих результатов непосредственно получаем: — 7 ее — (е)з )7(де)Б . / 2 е е )е 3 (14,6) н соответственно (ОЕ) =Ь(Хее) = л'(Ьзе) =И вЂ” (ЙТ)Я. При этом мы воспользовались найденным в 9 9 правилом вычисления флуктуаций для независимых систем. Относительная флуктуация энергии газа в целом равна ЗМ ' Е (14,7) В полном соответствии со сказанным в 9 9 относительная флук- 1 туация энергии оказывается пропорциональной = и является ни угу чтожно малой прн всех реальных значениях числа М.

Таким образом, можно считать, что с большой степенью точности экергия идеаль. ного газа равна его средней энергии Е. ф 1б. Столкновения молекул между собой Рассмотрим две молекулы, движущиеся в идеальном газе со скоростями Оа и м . Очевидно, что для столкновения этих молекул друг с другом абсолютные величины и направления скоростей сами по себе не играют роли. Важно лишь, как происходит движение одной Нз (14,5) мы видим, что относительная флуктуация отнюдь не мала, а, наоборот, порядка единицы. Это означает, что если мы выберем в газе одну молекулу и измерим ее энергию, то это измерение вовсе не обязательно покажет, что энергия близка к средней энергии е.

Этот результат нисколько не противоречит сказанному в 9 9. Фактически, рассматривая свойства молекул идеального газа, мы всегда имеем в виду не нахождение движения и средних значений соответствующих величин применительно к одной молекуле, а нахождение средних для всего газа, как целого. Поэтому для нас важно только то, чтобы была мала относительная флуктуация величин, относящихся к газу в целом. Пусть рассматриваемый газ содержит М молекул. Тогда его средняя энергия будет равна — — здгл7 Е=№=— 2 1гл.

щ 74 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ молекулы по отношению к другой. Если, например, обе молекулы движутся по прямой одна вслед за другой, то столкновение в единицу времени произойдйт в том случае, если вторая молекула успеет за 1 сек. «догнать» первую молекулу. Скорости движения обеих молекул в пространстве по отношению к стенкам сосуда не играют роли. Таким образом, при решении вопроса о столкновениях нужно рассмотреть их относителчное движение. В механике показывается, что движение двух частиц можно всегда разложить на движение в пространстве общего центра тяжести и их относительное движение. движение центра тяжести не играет роли в пооблеме столкновений, и его можно не учитывать.

Относительное движение двух частиц происходит так, как если бы одна из них была неподвижной, а вторая имела бы массу, равную /П1/Юе приведвнной массе р = -, где т1 и и. — массы частиц. Приведйм простое доказательство этого утверждения. Пусть уравнение движения первой частицы имеет вид дзг1 ттт.=Р где Р1 — ей радиус-вектор и Р1 — сила, действующая на первую частицу со стороны второй. По закону равенства действия и проти'- водействия на вторую частицу будет действовать сила.

равная — гч1. Поэтому уравнение движения второй частицы можно написать в виде дзг1 ше —,'=+к,= — Р,, '-' ды где гя — радиус-вектор второй частицы. Нас интересует относительное движение частиц, т. е. изменение расстояния между ними Р = г, †. Разделим оба уравнения на соответствующие массы и вычтем второе из первого. В результате получим: Обозначив через — величину 11 в + — ~ = 1 I 1 11 т1+тз мы видим, что н 1ЯЯ 1Л11яа относительное движение происходит так, как будто бы двигалась одна частица, но с массой р. Кроме того, центр тяжести системы может прямолинейно и равномерно (если нет внешних сил, действующих на систему) двигаться в пространстве.

В случае двух одинаковых часТиц лг1 = lиа И 11 = — . 75 $151 СТОЛКНОВЕНИЯ МОЛЕКУЛ МЕЖЛУ СОБОЙ Скорость относительного движения чотн равна, очевидно, ззотн ззз ззз ' Центр тяжести системы движется со скоростью иц,„равной тгвт+ жгвз згц.т = М где М = тз+шз — масса всей системы. Выражая скорости зз1 и ззз через относительную скорость и скорость движения центра тяжести, имеем: лтт 01 = Зтц.т + Зготн лч+шз лт1 Згя = Знц.т — Янотн. лот+ нтз Кинетическая энергия системы из двух материальных точек может быть представлена в виде тлзвз 2 + т з тл нт 1 1 тлтт, ттт 2 ц. т + 2 ц. т + 2 ~ (лтт + нтз)з + (т1 + лоз)з отн Мзтц.т ~ Н отн 2 ' 2 з о Зоотн 1 /3 н(тв = 4к ( ' е знт,цз ЛЪ отн 1 2БЛТ) отн (15,1) Этот результат можно получить и более подробно, написав вероятность того, что первая частица имеет скорость зз1, а вторая— т.

е. равна энергии движения системы, как целого, в пространстве н энергии относительного дни>кения. Если внешние сильк действующие на систему, отсутствуют, то е6 центр тяжести движется в пространстве равномерно и прямолит нейно. В случае двух одинаковых частиц глт = Лзз = лз, так что р = — . 2' Применим эти выводы к проблеме столкновения частиц между собой. НБЙ11ЕМ преткде всего, какова вероятность Ал„„ того, что две произвольные молекулы имеют скорость относительного движения, равную О„„. Поскольку при относительном движении одну нз частиц можно считать покоящейся, а вторую — движущейся (но с массой р), для вероятности того, что вторая частица имеет данную скоростью„„, можно написать распределение Максвелла: [гл.

ап 76 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ скорость оа, в виде иг о1 )'тт~"- — „,т а ойега=Фэгдгюа=4л1 ) е г"т отрог Х А 2тлТ) н гоа тг Ай — — а Х 4л1 ) е гат огагоа= ~,2наТ) 4л1(т 1 т )2 ЛТ) 4л1 2,ЕТ ) 'е '"' о,~Мо, огс'оа. Переходя от переменных о, и ог к о„н и о„,, используя написан- ные выше выражения, находим: Мо Ггтвга= 4 ( ~.Т) 4 ( ) е аат Х г Р"отн Х е тат ~!~о'„, Ноя.тоотнИоо Здесь ! У~ означает модуль якобиана преобразования от о и оа к о, Оотг: дог та тт+ тг та + тт !У1= + та+ та 1 и +т Таким образом, „г т Р ото тйд,а=~4 А 2 .) е ' ~,„до„„1Х тат ля 7 ) Мы видим, что вероятность данного состояния движения двух частиц распадается на произведение вероятностей данного относительного движения Нтв„„ и данного движения центра тяжести атея т. В проблеме столкновений нас интересует только первая вероятность, даваемая формулой (15,1).