Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 18

2' 18. Найти среднее значение обратной величины скорости молекул в газц О т в е т. ( — ) = ( — ) 4к ) е за~отто * У~~. о 83 ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ и! 17. Найти число молекул в газе, имеющих энергию большую, чем заданная энергия аа. При этом считать, что ээ))яТ. Решение. Искомое число молекул получается интегрированием распределения молекул по энергиям (!4,3) в пределах от аэ до бесконечности СО ° 2п Г -АГ и,>, — — „. ) г )Таэба, 7 а(йТ)з ) В величине интеграла главную роль играют наименьшие возможные значения аргумента э ы чь Медленно изменяющийся множитель Г' а можно вынести за знак интеграла, взяв его значение в точке а си гэ. Тогда имеем: 4 ч, 2п 7 то ~ а т 2п1/а„-ат )У !ДТ)э,~ ' 1 яДТ Зависимость числа частиц с энергией, большей данной энергии чь от энергии го и температуры Т передабтся главным образом эксцоненциальным мноэкнтелем е л~.

Предэкспоненциальный множитель изменяется медленно и мало влияет на фактическое значение л,>,. 18. Найти длину свободного пробега Г молекул примеси к идеальному газу, если масса молекул основного газа равна ш, их эффективное сечение а, з те же величины для молекул примеси равны т' и а'. ! 1 э+э' Ответ.

г=- — °, где ч= ш' ~/ !+ —, 19. Найти изменение эффективного сечения а в зависимости от темпе- ратуры, рассматривая молекулы как твбрдые непроницаемые сферы, прнтяа гивающиеся друг к другу по закону и = — — при г)б. га Считать, что молекулы движутся по законам классической механики. Р е ш е и и е. Пусть по — относительная скорость бесконечно разделенных молекул и гэ †прицельн расстояние.

Законы сохранения энергии и момента можно записать в полярных коор- динатах в виде р(ге+ аув) — — = И~~, те ргзв = вгапэ Исключая угловую скорость, находим: а з гаво гз+ — = — +о. гх рта О В точке наибольшего сближения молекул радиальная скорость г обращается в нуль. При этом расстояние между молекулами имеет минимальное значение г„„, которое находится из условия га а 1 а ( + ) гняа йоэ г„вэ !Гл. щ 84 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ Если гннн м;, Л, где и' — диаметр твардой сферы, которую мы считаем моделью молекул, то молекулы сталкиваются; если гннн) и' — они пролетают, не соприкасаясь друг с другом.

Условие соприкосновения г„ „ = о' будет выполнено для прицельного расстояния гпа о Соответствующее эффективное сечение равно /1 э/ а 1Х рт'э Оно оказывается зависящим от значения относительной скорости оэ молекул. Притяжение между молекулами увеличивает эффективное сечение.

Воза 11 растание сечения пропорционально (1+ —,„° —.), т. е. зависит от отноше!»оо а ння энергии притяжения — к кинетической энергии относительного двигкепня — ро . При большой относительной скорости искривление пути, вы- 1 2 званное притяжением, оказывается малым и мало сказывается на значении сечения. Усредняя по всем значениям оэ, находим: с = яйэ (1 + — „( — )) = япэ (! + — ) . пэ Поправка к среднему сечению (яопраэка Сеэерлэпда) имеет вид ( ) 1+ — ) и стремится к единице при увеличении температуры. с! т) От конкретного вида взаимодействия зависит значение с. Но не температурная зависимость сечения.

29. Найти число молекул в 1 смэ газа, обладающих данной энергией относительного движения. »стн 2п -эт г— Ответ. н(п = э !/ н, и'н »от» угг ~р~')а 21. Изучение свойств плбнок нерастворимых поверхностно-активных веществ (органических кислот и спиртов), нанесбнных на поверхность воды, показало, что при малых плотностях плбнки (точнее, когда средняя площадь, приходящаяся на долю одной молекулы поверхностно-активного вещества, весьма велика по сравнению с минимальной площадью, занимаемой одной молекулой, — обычно около 20 квадратных а гстремов) молекулы плбикн могут совершенно свободно двигаться по поверхности жидкой подлотккн. Взаимодействие между молекулами воды н молекулой поверхностно-активного вещества ограничивает лишь свободу вертикальных перемещений последних.

Благодаря этому при малых плотностях плбнки еб молекулы распределяются по всей свободной поверхности воды и ведут себя подобно своеобразному «двумерному» идеальному газу, частицы которого движутся только в двух измерениях. 85 ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ Ш ат ион йотт у= / 2ИТ р = — дт. М 22л. Газ состоит из атомов, излучающих свет с длиной нолны Ль Найти закон распределения измеряемой в спектроскопе интенсивности излучения газа, состоящего из т'»' атомов, находящихся в тепловом движении, в зависимости от длины волны, Р е щ е н и е.

Если неподвижный атом излучает свет с длиной волны Лв, то при движении атома от наблюдателя со скоростью и вследствие аффекта Допплера наблюдатель регистрирует свет с длиной волны Л = Л,(1+ — "), где с в скорость света. Поэтому интенсивность света, излучаемого атомами в интервале длин волн между Л и Л + »(Л, равна »уп У йЛ = Гьэ — = ап йп, е где а — интенсивность, излучаемая одним атомом.

Число атомов, имеющих скорость п, дастся распределением Максвелла: »!аа' р-хл» »въг Яи»» н е е тлт. Поэтому н»е» (Х -Лр зл вт' р -Л»ь 1- Го е = уо е, (2) . /2ЛГЛэ где Ь = ~ — носит название допнлеровсной ширины линии. Очевидно, шеа что интенсивность излучаемого света, максимальная при Л = Ль убывает в е раз при Л = Лв». Ь. Формула (2) даат распределение интенсивности в линии, излучаемой газом, если атом излучает строго монохроматический свет.

Подтверждение формулы (2) является одним из методов экспериментальной проверки распределения Максвелла ва. Показать, что число ударов молекул об 1 енз поверхности сосуда за 1 сек. может быть записано в виде лп 4' Написать распределение скоростей в идеальном двумерном газе, найти давление и средние скорости молекул. Сравнить средние скорости с соответствующими величинами в обычном (трйхмерном) идеальном газе. Р е щ е и и е.

»н (вил+э") 86 !ГЛ. Ш КИИЕТИЧЕОКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОН 24. Найти число молекул, издающих на 1 смз поверхности в единицу времени под дзиным углом 6 к поверхности. О т в е т. ггге (т' эьт, рг 2 ~ и( — ) с парте ° соэбз1пбг40= 12кДТ) о = и ~ — ) созбЫп бгтб.

l2НТ» й 25. Считая, что молекулы, ударяющиеся о стенку, передают ей а-ю часть своей энергии, найти энергию, передаваемую на 1 смз стенки за 1 сек. Решение. Число молекул, падающих на 1 смз поверхности за 1 сек., ашоз вычислено в задаче 23. Каждая из молекул передайт энергию —. Поэтому гее' Т птоз_#_ т ТЧ' оьт Е=як ) — !1 — ) с т озгуо= 2 ~2кДТ) рг = аяп — ° ( — ) 26. Найти число молекул, ударяющихся об 1 смз поверхности в единицу времени и имеющих компоненту скорости, перпендикулярную к стенке, ббльшую, чем некоторая заданная величина се О т в е т. ег гос, о'еа >е (2 ЯТ) ~ и и (2 ) 27. Электроны, испаряющиеся с накалйнной нити и образующие газ с плотностью и, пролетают через последовательность щелей, образующих направленный пучок с площадью 1 смз.

Пучок проходит через задерживающее электрическое поле, останавливающее часть электронов. Найти число электронов, проходящих через задерживающее поле. Решение. Число электронов, вылетающих через щели с данной скоростью, равно геы о»Гп I ш 1й алт гт» = — = и ! ) с лез ого. 4 ! 2яйТ ) Число электронов, проходящих через задерживающее поле, равно »= ~ г!», где оо определено формулой з Атео — =сК 2 Окончательно егер ет ер ЗАДАЧН К ГЛАВЕ Ш 87 23. Металл находится в равновесии со своим паром. давление пара считаетсн достаточно низким, так что наличие пара не влияет на скорость испарения частиц. Найти массу металла, испаряющегося с 1 омз поверхности в 1 сек., как функцию давления и температуры.

Р е ш е н и е. В состоянии рзвновесип число испзрнющнхся частиц н число частиц, ударяющихся о поверхность, равны друг другу. Число последних дабтся форлгулой (12,6). Масса этих молекул равна Г 'нТ М=от= и ~Г 2лтгл ' где м — масса атома и и — плотность газа, причбм и= —. Такая же Р КТ ' масса уносится с 1 смз в единицу времени испаряющимисн частицами. , 29. Найти число молекул, ударяющихся об 1 смз поверхности за 1 сек., имеюцих скорость между и н о+о(п.

Р е ш е н и е. Число частиц, достигающих стенки, имевших данную скорость и ударяющихся о ней под углом 0, 0+о(6, вычислено в задаче 24. Полное число молекул, имеющих данную скорость и ударяющихсн о стенку под произвольным углом, равно алое жз е/ 3~= 2нп(2 Т) е " тг-с(о ~ созб ° о!п630= т ' '-' тат, 2еЛТ ) о оало 'л 2 ИТ) Интеграл по углу 6 ведетсн в пределах от нуля до —. При 6) — молекулы 2' 2 движутся от стенки. 30.

Система нз Ф частиц, ! которых кинетическзя энергия связана с импульсом соотношением е = арт, образует идеальный газ, характеризую- щийся равновесной функцией расиределения е(ш = 4н)Р(р) рзг)р, гле Т(р) — любая функции. Найти общее выражение, связывавшее давление газа с энергией частиц, заключенных в единице объйма. Считать, что давление возникает в результате ударов молекул о зер- кально-отражающие стенки сосуда. Р е ш е н не.

Средняя энергия идеального газа ее Е = № = 4нЫ!г ~ еУ (Р) УР йр. о Лавлсние газа может быть представлено в виде Оо СО ! !лг Т дв р= — 4а ~ рэу(р) р'г!р= — 4н 1 р — 7(р)р'г(р= =3И .! о о !)(г ЕЕ = — 4а ~ еу (р) рт л(р = — . = 3) .,( 3)г ' В частности, при 1=2, т. ц е рл, получается (!3,9). 88 [гл. Ри КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 31. Молекуллрный пучок выходит нз узкой щели в откачанный сосуд. Найти среднюю скорость н среднюю квадратичную скорость частиц в пучке. решение. Число частиц, вылетающих через единицу площади щеин за 1 сек, н имеющих данную скорость, равно 4иа4 4Ут = — 44П„= — ' ~ — у4 Е О'444. 4 " 4 ~2ЕЕТ) Вероятность данной скорости молекулы в пучке 4ут 44П4 =— ч Средняя скорость молекулы в пучке — чяп ( т )~ ~ зеьг 4 — I зяДТ о Аналогично средняя квадратичная скорость 'р" оз= ~/ — "'.