Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 17

Подставляя в (15,1) значение р, получаем: г итого т Ат бтвотн = 4л1 — ) е 'а' о ало „. А 4лат) (15.2) доотн д, дегтя дог для, т дог доя .т Мо!, т М 'т~' — ., а Х ~4л( 2 ЛТ) е '-' оя,, "оя.,) ="нв„„„' "тияяо тат $1б) отолкноввния молвиял мвждя совой 7у С помощью распределения вероятностей (15,2) можно найти среднее значение скорости относительного движения о„„: 3 "- ='~4 Т,) ) е " о„„до„„=р/2 . (И,З) ~ 4яЛТ г' о Таким образом, средняя скорость относительного движения почти в полтора раза превышает среднюю скорость теплового движения.

Найдем теперь число столкновений, испытываемых в единицу времени молекулой в газе, имеющем плотность и. Мы будем предполагать, что газ является настолько разрежйнным, что молекулы сталкиваются попарно и можно пренебречь числом столкновений, при котором одновременно приходят в непосредственный контакт три и более молекул. Соударение двух молекул является сложным процессом, сушественно зависящим от природы и характера взаимодействия сталкивающихся частиц.

Если бы молекулы представляли собой твйрдые шарики, не взаимодействующие друг с другом иначе, как прн непосредственном контакте, то для соударення центры молекул должны были бы сблизиться на расстояние д ~( 2г, где г — радиус молекулы-шарика. То же самое можно было бы сформулировать и иначе: если молекула представляет собой сферу радиуса г, то она испытывает соударения с другими молекулами, центры которых лежат в кружке площадью 4ягв. Эту площадь мозкно назвать геометрическим сечением столкновения.

В действительности, однако, молекулы взаимодействуют между собой не только при геометрическом соприкосновении, но и при прелате на некотором расстоянии друг от друга. Поэтому можно считать, что испытывают столкновение молекулы, центры которых лежат не на расстоянии диаметра д= 2г, а на расстоянии эффективного диаметра столкновения Ы'.. Соответственно площадь кружка, в котором должны лежать центры молекул, для того чтобы они испытали столкновения друг с другом, равна а = я (йе)в.

Эта площадь носит название аффективного сечения соударения. Очевидно, что с помощью эффективного сечения можно охарактеризовать процесс соударения молекул. В случае значительного притяжения, существующего между молекулами, эффективное сечение соударения может быть существенно больше их геометрического сечения. Необходимо также иметь в виду, что эффективное сечение соударения не является постоянным, но может зависеть от ряда факторов и прежде всего от относительной скорости движущихся частиц. Рассматривая соударения между молекулами газа, будем считать, что все молекулы газа, кроме одной, неподвижны. Выделенная молекула движется по отношению к неподвижным со скоростью о„,.

Она проходит в единицу времени путь о„„вырезая в пространстве (гл. ш г8 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ цилиндр объемом оо„н. При этом опа испытывает столкновения со всеми молекулами, находящимися в этом цилиндре. Число таких СтОЛКНОВЕНИй РаВНО, ОЧЕВНДНО, 2О„„ дин„„, ГДЕ ди„,н = Лдтв, И дтвотн даатся формулой (15,2), Полное число соударений, испытываемых молекулой в единицу времени, получается интегрированием этого выражения по всем возможным значениям о„„: ~ ооотн длнотн во 2 в'в отн ю 'в вв наг 2 =4я( ) л ~ о(о„н)е ' оотндоотвв.

42ЛТ) о (15,4) Если эффективное сечение столкновения можно считать не зависящим от скорости, то вместо (15,4) получаем: 2 в Т "отн ( 4нЛТ) Глт = ино„н = иг р 2 о = 4ла ~/ 2вл (15,5) Это и есть число столкновений, испытываемых молекулой а 1 сек. ф !6. Длина свободного пробега Найдам теперь средний путь, проходимый молекулой между двумя последовательными соударениями, именуемый средней длиной свободного пробега. За одну секунду молекула проходит в пространстве путь, равный в среднем о.

При этом она испытывает ч столкновений. Средняя длина пути между столкновениями равна (16,1) ч лооотн ло У 2 ' Длина пробега А в среднем пропорциональна отношению среднего пути, проходимого з единицу времени молекулой, к числу испытываемых ею соударений. Поэтому величину ) именуют средней длиной свободного пробега. Средняя длина свободного пробега оказывается обратно пропорциональной плотности газа п и эффективному сечению н, Формула (16,1) даат среднюю длину свободного пробега.

Часто, однако, важно знать, какова вероятность того, что молекула пройдет произвольный путь х, не испытав ни одного столкновения. Иными з 16) длина своводного пговвгл словами, представляет интерес найти закон распределения вероятностей для пробега молекул. Обозначим через тв(х) вероятность того, что молекула пролетит расстояние х, не испытав ни одного столкновения. Соответственно гв(х+ Их) представляет вероятность того, что молекула пролетит путь (х+г(х), не испытав ни одного соударения. Прохождение пути х+Их представляет сложное событие, состоящее из двух независимых этапов: пролита пути х без столкновений и последующего пролита пути г(х также без столкновений. Поскольку эти события являются независимыми, можно написать: (16,2) тв (х+ г1х) = тв (х) тв (г(х). Последнюю вероятность удобно переписать в другом виде.

Очевидно, что вероятность тв'(Фх) того, что на бесконечно малом пути Ых молекула испытает соударение, пропорциональна длине Нх и может быть представлена в виде а Фх, где а — некоторый коэффициент пропорциональности. Вероятность того, что молекула пролетит путы1х без столкновений, равна при этом гв 01х) = 1 — тв' (г(х) = 1 — а дх. Подставляя это в (16,2), находим: ги(х + Нх) = гз (х)(1 — а ах). (16,3) Разлагая тз(х + г(х) в ряд по степеням пх и ограничиваясь бесконечно малыми величинами первого порядка малости, имеем: гв (х + а'х) = гв (х) + — „Нх, откуда, сравнивая с (16,3), имеем: с8гз = — агв (х) Ых.

Интегрируя, находим: тз(х) = Ае- Для определения произвольной постоянной А заметим, что вероятность того, что молекула пролетит как угодно малый путь без столкновений, равна единице: тл (х -+ О) = 1. Отсюда следует, что А = 1 и окончательно гв(х) = е- (16,4) Для определения смысла постоянной величины а найдем среднюю длину свободного пробега ), пользуясь формулой (16,4). 80 (гл.

ш КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ По определению, средняя длина свободного пробега А равна А= ) хг(Р, (!6,6) о где г1Р— вероятность того, что молекула, пройдя без столкновений путь х, испытает соударенне на отрезке х, х+ах. Согласно предыдущему можно написать: аР = ге(х) аш'(х) = ге(х)аг(х = ае- ах.

Подставляя значение йР в (16,5), находим: А=а ~ хе-е'ах= —. 1 (16,7) а' Таким образом, постоянная а оказывается величиной, обратной средней длине свободного пробега. формулу (16,4) для вероятности того, что молекула пролетит путь х, не испытав нн одного соударения, можно переписать в виде те(х) =е (16,8) Эта вероятность оказывается зкспоненциально убывающей функцией расстояния. Подчеркнем, что ге(х) дает вероятность пролвта молекулой пути х без столкновений независимо от того, в каком месте она испытала последнее соударение. Это означает, что расстояние х отсчитывается от произвольной точки, а не от места последнего соударения.

Вероятность того, что молекула пролетит путь без соударения и столкнется на участке х, х + Нх, согласно (16,6) и (16,7) равна аР= — „е ' г(х. (16,9) (16,6) М(хг) е М (хя) еа (16,10) формула (16,8) важна для зкспериментального определения средней длины свободного пробега молекул в газе. Представим себе узкий направленный пучок молекул„выходящий в некоторый откачанный до сравнительно низкого давления сосуд, содержащий охлаждаемую пластинку, помещаемую на пути пучка на расстояниях х, и х, от входного отверстия.

Молекулы, пролетевшие путь х1 н хя без соударений, будут достигать пластинки, образуя на ней осадок. Отношение числа частиц, осевших на пластинке в обоих положениях, равно согласно (16,8) 81 задачи к глава ш ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ !Н 11. В сосуде находится смесь двух идеальных газов, молекулы которых имеют массы глд и шз. Найти функции распределения обоих газов, если вся система находится в состоянии статистического равновесия. Решение. На основании рассуждений, аналогичных тем, которые относятся к формуле (11Л), можно написать для функций распределения ит и и: и„(о"') и., (о.',) = и, (о.,) из (о ), ~ А+ ' '= о~+ 'т' ! иг(оз) и~(о';,) =- и~(оз) ит(оз), 1 от + о., = оз + оо (2) и, (о1) и, (оз) = и., (оз) ™з (оа) отз+оз=ох+па (3) Совокупность выражений (1) представляет баланс числа соударений и знергии для столкновений частиц обоих сортов; выражения (2) н (3) относятся к соударениям между частицами первого и второго сортов соответственно.

Из (1) следует: 1 лиг 1 ииз жз ит Ло,~ из яозз шт' Из (2) и (3) находим: ит — — Аде им (Я=солж.тт), из= Азе йы ((з=сопзйтз) Таким образом, для молекул обоих газов справедливо распределение Максвелла. 12. Найти число молекул, имеющих заданное значение компоненты скорости вдоль некоторой оси о, и в перпендикулярном направлении о).

Япе'1~+ФЛ! и Ответ: ии=2я~ — ) ие зат' о Ло(но„ ~2яЛТ ) 6 зак 1623. В Г. левич Измеряя числа Ау(хз) и А((хз) и считая приближено, что Л одинакова для всех молекул в пучке, с помощью (16,10) можно определить Л. В соответствии с требованиями теории л оказывается обратно пропорпиональной плотности или, что то же самое, давлению газа. По порядку величины Л составляет около 10 см при р — 10 а лам ртутного столба и около 10 з при атмосферном давлении.

82 1гл. ш КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 13. Вычислить число частиц в газе, у которых х-я компонента скорости лежит в интервале 0~(о <о",. (-) Р е ш е н н е. Искомое число частиц равно, очевидно, о(о) мо' х о Вводя безразмерную переменную получаем: н ич — — — е Их. гг о Функция, определяемая интегралом оь ег1(хо) == ~ е Их, 2 )» )г я ° носит название интеграла оероятноети.

Значения его табулированыи приведены в таблицах 1см,например, Вике н Эмде «Таблицы математических функций», Гостехиздат, 1948 г.). Таким образом, 1,1о) 1 и у о<о <огю 2 ' /2ЯТ яг 14. Вычислить число частиц, имеющих скорость, лежащую в интервале 0<о<о»о. Ответ. На основании результатов предыдущей задачи имеем: но .„. = и )ег1П) — — — ~ =н110,84 — — ). о<о(о Р' к е ! е)г в )- 1$. Вычислить наиболее вероятную зиергню молекул в газе. Показать жоо ф — ш~ . 1 'нТ Ответ, оо»= —.