Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков, страница 7

Нетрудно видеть, однако, что новое определение скобки Пуассона в классической механике приведет к алгебре изоморфной исходной. Действительно, замена переменных р= ~4 а ~ р', д=з1ипа ~/~а ~ д возвращает нас к старому определению. Важную роль в квантовой механике играет след оператора Тг А. По определению в ч Тг А = )„Аы — — х, (Аео е~). Напомним основные свойства этой операции. След не зависит от выбора базиса. В частности, если взять собственный базис оператора А, то ТгА= 2 аь т, е, след является суммой собственных чисел. Если а,— кратное собственное значение, то оно входит слагаемым в сумму столько раз, какова его кратность. След произведения двух операторов не зависит от порядка сомножителей Тг АВ = Тг ВА.

В случае большего числа сомножителей допустима их циклическая перестановка под знаком Тг Тг АВС = Тг ВСА. След самосопряженной матрицы — вещественное число, так как собственные значения ее вещественны, 6 6. Состояния в квантовой механике В этом параграфе мы покажем, как задаются состояния в квантовой механике. Напомним, что мы сохранили определе. ние состояния, приведенное в $2. Там же было показано, что задание вероятностных распределений эквивалентно заданию средних значений для всех наблюдаемых. Рассуждения, которые привели нас к этому результату, сохраняют свою силу з1 (2) и в квантовой механике, так как они не использовали конкрет* ной реализации алгебры наблюдаемых классической механики.

Задать состояние — это значит задать функционал <в(А) на алгебре наблюдаемых 6 со следующими свойствами: 1) (1.А+ В !в) =),(А (в)+(В!в), 2) (А» (в) в О, 3) (С !в) =С, (1) 4) (А |в) = (А (в). Свойство 1) мы уже обсуждали. Свойство 2) выражает тот факт, что для наблюдаемой А», которая по своему смыслу не- отрицательна, среднее значение не может быть отрицательным числом, Свойство 3) утверждает, что среднее значение наблю- даемой С в любом состоянии совпадает с этой константой. На- конец, по свойству 4) средние значения вещественны.

Таким образом, состояние в квантовой механике есть положительный, линейный функционал на алгебре самосопряжснных операто- ров 6. Общая форма такого функционала (А !в) = Тг МА, где М вЂ” оператор в С", удовлетворяющий условиям: 1) М"=М, 2) (М$, $)~~0, (3) 3) ТгМ= 1. Оператор М называется матрицей плотности и играет в кван- товой механике ту же роль, что и функция распределения р(д,р) в классической. Покажем, что свойства матрицы плотности — следствие сформулированных выше свойств функционала усреднения <А !в>.

Действительно, из вещественности функционала <А !в~ следует Тг АМ = ~х' АмМы = 2'.; А»~Мы = ь »-1 ь» ! и А»;М)» = Тг АМ' = Тг АМ. с »-1 Полагая Х = А1+ (Ав где А1 и А» — самосопряженпые операторы, получаем из последнего равенства Тг ХМ = Тг ХМ', где Х вЂ” произвольный оператор в С". Из произвольности опе. ратора Х сразу следует свойство 1). Теперь используем положительность функционала (А(в~ Тг А'М) О. Положим А = Р„, где Є— оператор проектирования на нормированный вектор т( ((1 Ч (! =!), Ряс=(в, ч)п Для вычисления следа удобен любой базис, в котором первый базисный вектор совпадает с и (е! = тЬгь...,е„), тогда ТгР„'М=ТгР„М=(Мп, !1) О. Мы видим, что положительвость матрицы плотности является необходимым условием для положительности функционала (А~в). Достаточность проверяется следующим образом: Р « Тг А'М=Тг АМА= ~„(АМАе!, е!) = ~ (МАе„Ае!) ~~О, ! ! ! ! так как каждое слагаемое под знаком суммы иеотрицательно.

Наконец, условие нормировки матрицы плотности ТгМ = 1 сразу следует из свойства 3) функционала. Таким образом, мы показали, что состояния в квантовой механике описываются положительными самосопряженными операторами со следом, равным единице. (Напомним, что в классической механике состояние задается неотрицательной функцией р(д, Р), нормированной условием ~ р (д, Р) И!) !(р = 1.) Любой оператор М со свойствами (18) описывает некого. рое состояние системы, т. е. между множеством состояний и множеством матриц плотности М существует вззимно-однозначное соответствие Если М! и Мз — операторы со свойствами (3), то очевидно, что их выпуклая комбинация М=аМ!+(1 — а)М,, О<а(1 также обладает втими свойствами и, следовательно, соответ- ствует некоторому состоянию а =акч + (1 — а) в!.

Мы видим, что множество состояний в квантовой механике яв- ляется выпуклым. Веем требованиям к матрице плотности удовлетворяет одно- мерный проектор Рч, (((!р !( = 1). Действительно, 1) (Р,~* ч) = (в, И (ф. и) = (ч. ф) (в, ф) = (с, Р !)), 2) (Рчф. $) = Я, ф) (ф, $) = / Я, ф) Р) О, 3) ТгР,,=(ф„ф)=1. В конце параграфа мы покажем, что состояние Ре не рас- кладывается в выпуклую комбинацию других состояний, т.

е. аз 2 зак. Зз! Разложим произвольный вектор в по этому базису и подей- ствуем на него оператором М, 5=ХВ Ф!)Ф! Мй= ~,р!Й Ф!)Ф!= )'„и!Рр,.а. ! ! ! ! В силу произвольности й М= 'Яр!Ре. ! 1 (4) Все числа р! иеотрицательны, так как они являются собственными значениями положительного оператора. Кроме того, ,и, = ТгМ = 1 и, следовательно, состояние М действительно является выпуклой комбинацией чистых состояний Рч .

Для среднего значения наблюдаемой в чистом состоянии а~ Ре формула (2) принимает вид (А ~ е!) = (АФ, Ф), П ф Н = 1. (б) Для случая смешанного состояния в~ М= Яр!Рч, имеем с-! (А 1 а) = Е р! (АФь Ф!) ! ! 34 является чистым. (Напомним, что в клзссической механике чистое состояние имеет функцию распределения р(д, р) = = б(!) — до)б(Р— ро) ) Заметим, что чистое состояние опреде. ляется заданием вектора Ф, однако между чистыми состояниями и векторами нет взаимна-однозначного соответствия, так как если Ф' отличается от Ф численным множителем по модулю равным едияице, то Ре — — Ре.

Таким образом, чистому состоянию соответствует класс нормированных на единицу векторов, отличающихся друг от друга множителем е", где а ен 1с. Вектор Ф обычно называют вектором состояния, а пространство, в котором действуют самосопряженные операторы (наблюдаемые), пространством состояний, Пока в качестве пространства состояний мы взяли пространство С". Покажем, что любое состояние в квантовой механике является выпуклой комбинацией чистых состояний. Для этого заметим, что М, как всякий самосопряженный оператор, имеет собственный базис Эта формула показывает, что так же как и в классической механике, утверждение о том, что система находится в смешанном состоянии М=~" и,Рч равносильно утверждению, г-ю чю что система с вероятностями рь (= 1, ..., и находится в чис.

тых состояниях Рч . В заключение этого параграфа докажем, что состояние, опи. сываемое матрицей плотности М = Р„, является чистым. Нам нужно показать, что из равенства Рч — — аМ~+(! — а)Мм 0(а< 1 (7) следует, что М~ = Ма= Рч. При доказательстве используем, что для положительного оператора А и произвольных векторов ~р и ф справедливо неравенство !(А~р, Ф))зч- (А<р, ч~)(Аф, ф).

(8) Из (8) следует, что А~р = О, если (А~р,~р) = О. (Неравенство (8) есть условие положительности формы Эрмита: (А (аф+ Ьф), пи+ йф)=(А~р, ~р)па +(А~р, ф)ай+(Аф, ч)ао+(Аф, ф)И ) О, где а и б — комплексные числа.) Обозначим через Рй~ подпространство, ортогональное вектору ~р, тогдаРэщ= О, если 4~ ~Жь Используя положительность операторов М~ и Мз и (7), имеем 0(а(МИр, т)(а(МИр, Ч)+(1 — и) (МЧ, гр)=(Р Ч, р)=О, т. е.

Мир = О. Используя самосопряжениость Мь получим для произвольного вектора $ (Мир,5)=(~р, МД),=0, ф~Жь поэтому МД=Сьф и, в частности Мгф=Счф. Здесь Сь — кон* станта, зависящая от вектора $. Произвольный вектор $ можно представить в виде ь = (ь. Ф) ф+ Чь р еи Яь поэтому МД=СчРэь т. е. М,=СчР,. Наконец, из условия Тг М, = 1 получаем, что Сч — — 1, следовательно„ М, = Р, и Мг=рч Можно проверить и обратное утверждение. Если состояние является чистым, то существует вектор ф ~ С", )~ ф ~! = 1 такой, что М=Рэ.

5 7. Соотношения неопределенности Гейзенберга В этом параграфе мы покажем, как соотношения неопределенности, которые упоминались в 5 4, следуют нз математического аппарата квантовой механики, н дадим их точную формулировку. Рассмотрим дисперсии двух наблюдаемых А и В в состоянии в. Напомним, что дисперсия наблюдаемой определяется соотношением ЯА = (в ! (А — А, ) !Р) = (в ! А') — (в ! А)', где А,р — — (в!Л).

Через Ь А мы обозчачаем .~/,у,~ Соотношения неопределенности утверждают, что для любого состояния в справедливо неравенство б А Л„В ' ю — ! ((А, В) ! в) !. (1) Соотношения неопределенности достаточно доказать для чистых состояний. Для смешанных состояний они будут следовать тогда из неравенства (2.17), которое справедливо и в квантовой механике, так как его вывод не зависит от реализации алгебры наблюдаемых. Начнем с очевидного неравенства ((Л+таВ)ф, (Л+гаВ)ф)' -О,!!ф!!=1, авиЯ. Раскрывая левую часть, получим (Азф, ф) + аэ (В'ф ф) — (а ((А — ВА) ф, ф) ) О. Используя определение квантовой скобки Пуассона (5.15) и формулу для среднего значения наблюдаемой в чистом со- стоянии в Рч (6.5), перепишем последнее неравенство в виде (А'! е)+ аз(ВР!в) — аЬ((А, В)„!в)) О при любом а ~ и и, следовательно, (А'|в)(ВР!в)) — ((А, В)„!е)Р, Соотношения неопределенности (1) непосредственно следуют из этого неравенства, если сделать замену А -р- А — Л,р, В-  — В„, н учесть, что (А, В )й = ((А — А,р), ( — В„)');,, Соотношения неопределенности показывают, что дисперсии двух наблюдаемых могут обратиться в нуль одновременно только в том случае, когда среднее значение скобки Пуассона равно нулю.

Для коммутирующих наблюдаемых (А, В)р = О и правая часть равна нулю для всех состояний. В этом случае соотношения неопределенности ие накладывают никаких ограничений, и такие наблюдаемые являются одновременно измеримыми. В дальнейшем мы увидим, что действительно сугцествует принципиально возможный способ одновременного измерения таких наблюдаемых. Наиболее сильные ограничения накладываются на пары наблюдаемых, для которых <(А, В) и! в) Ф О для всех в, например, если (А, В) р = сопзй В этом случае не существует состояний, в которых дисперсии 36 обеих наблюдаемых равны нулю. Мы увидим в дальнейшем, что для одноименных координаты н проекции импульса (Р, Фа=1, где I — единичный оператор, Соотношения неопределенности для этих наблюдаемых принимают вид Ь Рсха' -Щ2, т.