Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков, страница 8

е. в природе не существует состояний, в которых координата и одноименная проекция импульса имеют одновременно вполне определенные значения. Это утверждение справедливо как для смешанных, так и для чистых состояний, поэтому чистые состояния квантовой механики в отличие от чистых состояний классической механики не являются состояниями с нулевой дисперсией всех наблюдаемых. Мы можем теперь вернуться к вопросу, поставленному в начале 5 2: чем можно объяснить неоднозначность результатов экспериментов.

Мы видели, что в классической механике такая неоднозначность связана только с условиямн эксперимента. Если в условия эксперимента включить достаточное число предварительных измерений, то мы сможем быть уверены, что система находится в чистом состоянии и результаты любого эксперимента полностью детерминированы. В квантовой механике ответ на этот вопрос оказывается совершенно другим. Соотношения неопределенности показывают, что не существует даже принципиальной возможности поставить эксперимент так, чтобы результаты всех измерений были определены однозначно условиями эксперимента.

Мы вынуждены, таким образом, считать, что вероятностный характер предсказаний в микромире связан с физическими свойствами квантовых систем. Эти выводы кажутся настолько неожиданными, что интересным представляется вопрос о возможности введения в теорию так называемых «скрытых параметровж Можно предположить, что описание состояния системы при помощи матркцы плотности М = Ре не является полным, т, е, кроме Р, следовало бы задать значения каких-то параметров* х (сокрытых параметров»); тогда описание станет достаточным для однозначного предсказания результатов любого измерения.

Вероятностный же характер предсказаний в состоянии ьт Р тогда можно объяснить тем, что цам неизвестны значения скрытых параметров и по ним существует какое-то вероятностное распределение. Если обозначить состояния, задаваемые парой (Р, х) через озго * «Скрытые параметры» л метина рассматривать как элементы некоторого множества РС Относительно физической природы этик параметров мы не делаем никаких предположснигп так как она безразлична длк дальнейшчт рассуждений.

то наше предположение сводится к тому, что состояние в есть выпуклая комбинация состояний в,. Мы знаем, что Рч не раскладывается в выпуклую комбинацию операторов со свойствами матрицы плотности, т. е. состояниям в„не соответствуют никакие операторы М. Способ описания состояний в квантовой механике определяется выбором алгебры наблюдаемых. Предположение о том, что существуют состояния, которым не соответствуют никакие матрицы плотности, заставляет нас отказаться от утверждения, что наблюдаемые есть самосопряженные операторы, т. е.

отказаться от основного предположения квантовой механики. Таким образом, мы видим, что введение скрытых параметров в квантовую механику невозможно без коренной перестройки ее основ. 5 8. Физический смысл собственных значений н собственных векторов наблюдаемых В этом параграфе мы рассмотрим вопросы, касающиеся физического толкования теории. Прежде всего мы должны научиться строить функции распределения для наблюдаемых в заданном состоянии. Мы знаем общую формулу в„(Л) =(0(Л вЂ” А) ~в), (() где 0(х) — функция Хевисайда.

Чтобы построить функцию от наблюдаемой 0(Л вЂ” А), рассмотрим уравнение А<р, =а,вр Только для простоты рассуждений пока предположим, что все собственные значения различны, т. е. спектр оператора А простой, и занумеруем собственные значения в порядке их возрастания а1 ( ... ( а„. Через Рч обозначим операторы проектирования на собственные векторы. Введем оператор РА (л) (2) а,<Л (значок 1 под знаком суммы принимает значения, удовлетворяющие условию а~ ( Л).

Покажем, что Рд (Л) = 0 (Л вЂ” А). (3) Для проверки этого равенства достаточно убедиться, что операторы Р,(Л) и 0(Л вЂ” А) одинаково действуют на базисные векторы ~рь Используя определение функции от оператора, имеем 0 (Л вЂ” А) ~рг — — 0 (Л вЂ” а~) ~р~ —— — 1 ~срц Л> ап С другой стороны, ('Чь, Х~~ оп Райт,= Е Рцй=~ а~ь ' О, 1<аг Последнее равенство написано с учетом того, что Ра фг —— =бьарг и оператор Ра появится под знаком суммы только при Фг условии А = аь Легко проверить, что Ра(Х) — проектор, т. е. Рд(Х) =РА(Ц и РА(Х)=Рл(Х).

Очевидно, что Рз(Х) = О при Х( а1 и Рд(Х)= 1 при Х ) а„. Оператор Ра(Х) называется спектральной функцией оператора А. Теперь нетрудно получить явный вид для функции распределения гаА(Х), га ~ †» М, газ(Х) =(Рл(х) ~га)=ТгМРх(А) = =ТгМ ~ Ра = ~' ТгМР а~~ь с~~А окончательно млР)= Е (Мрь р). (4) а~~А Напомним, что (М~р,дД~>0. Мы видим, что еы(Х) — кусочно- постоянная функция, имеющая скачки при значениях Х, совпадающих с собственными числами, и непрерывная в этих точках справа.

График ее изображен на рис. 3, а, аг аа ас аа-г аа Х Рис. 3. Из вида функции распределения следует, что отличной от нуля является вероятность получить значение наблюдаемой А, совпадающее только с одним из собственных чисел. Вероятность (р~ при измерении получить значение а~ равна величине скачка 'функции гаА(Х) в этой точке и'г=(МФя чч) (Б) Сумма Уь как и следует ожидать, равна единице, так как Х йУ,-ТгМ=1. Для чистого состояния в Рч, формула (6) принимает внд йг, =! (ф, в) р (6) Наконец, если система находится в состоянии Рч, т. е. в чнс- Ф~' том состоянии, определяемом одним нз собственных векторов наблюдаемой А, то по формуле (6) (Р, = бн В таком чистом состоянии прн измерении наблюдаемой А с достоверностью получится число аь Пока мы предполагали, что оператор А имеет простой спектр.

Обобщение полученных результатов ва случай кратного спектра, когда собственному значению а~ соответствует несколько собственных векторов Ф,", Фн', ..., Ф',." труда не представляет. Достаточно заменить проекторы Рч на операторы Рь проектирующие на собственные подпространства, соответствую. щие собственным значениям а~ р Ф= ~ ~ (ф Фм)) Ф(м Ф 1 Тогда вероятность прн измерении наблюдаемой А получить значение а~ в общем случае определяется формулой (7) у = )' (МФ'и Ф'м) х-1 а в случае чистого состояния (8) Теперь мы получили возможность показать, что обычное определение функции от оператора согласуется с данным в й 4 понятием функции от наблюдаемой, Действительно, операторы А н ((А) имеют общую систему собственных векторов АФ)"'=а Ф',и ! 1 ! ( (А)Ф)~' = 7 (а,) Ф~м, а число,~ь, (МФс Ф) ) одновременно является вероятностью при измерении получить значение а, для наблюдаемой А и Яа~) для наблюдаемой ((А).

Отсюда сразу следует, что мну,(Е) =~а(Г'(Е)). Заметим еще, что в состояниях, определяемых собственными векторами А, наблюдаемые А н ((А) одновременно имеют вполне определенные значеннн и, н ((а,) соответственно. Мы можем следующим образом подытожить результаты, которые связывают математический аппарат теории с ее физическим толкованием. 1) Наблюдаемая А в состоянии ы М имеет среднее значение (А ( ы) = Тг МА и функцию распределения в„(Х) = Тг МРд (Х).

д....„... ----. М=Р,, ((ф(1=1 2) Множество собственных значений наблюдаемой А созна. дает с множеством возможных результатов измерения этой наблюдаемой. 3) Вероятность (Р~ получить в результате измерения наблюдаемой А число, совпадающее с одним из ее собственных значений, вычисляется по формуле (7) в общем случае и по формуле (8) для чистых состояний. 4) Собственные векторы наблюдаемой А определяют чистые состояния, в которых наблюдаемая с достоверностью принимает значение, равное соответствующему собственному числу.

Мы видим, что построенная модель удовлетворяет многим физическим требованиям к механике микромира, сформулированным в $4. Она допускает существование неизмеримых одновременно йаблюдаемых и объясняет соотношения неопределенности. В рамках этой модели естественно описываются наблюдаемые, имеющие дискретное множество значений, С другой стороны, мы видим и ограниченность такой модели. Любая наблюдаемая не может иметь больше, чем л значений, где и — размерность пространства состояний С" и, следовательно, эта модель не позволяет описать наблюдаемые с непрерывным множеством значений.

Поэтому трудно предположить, что такая модель может описывать реальные физические системы. Однако эти трудности не возникнут, если перейти к п = оо и в качестве пространства состояний взять комплексное гильбертово пространство, а наблюдаемые считать самосопряженными операторами в этом пространстве. Выбор пространств состояний для конкретных физических систем и правила построения наблюдаемых для них мы обсудим в $ 11, а пока продолжим изучение нашей конечномерной модели.