Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков, страница 4

Таким образом, на опыте проверяются только следствия из основных положений квантовой механики, а не ее основные законы. С этими обстоятельствами связаны, по-видимому, главные трудности, возникающие при первоначальном изучении квантовой механики. Такого же характера, но, очевидно, гораздо большие трудности стояли перед создателями квантовой механики. Эксперименты со всей определенностью указывали на существование особых квантовых закономерностей в микромире, но ни в коей мере не подсказывали форму квантовой теории. Этим можно объяснить поистине драматическую историю создания квантовой механики и, в частности, тот факт, что первоначальные формулировки квантовой механики носили чисто рецептурный характер. Они содержали некоторые правила, позволяющие вычислять измеряемые на опыте величины, а физическое истолкование теории появилось после того, как в основном был создан ее математический формализм.

При построении квантовой механики в настоящем курсе мы не будем следовать историческому пути. Мы очень коротко опишем ряд физических явлений, попытки обьяснить которые на основе законов классической физики приводили к непреодолимым трудностям. Далее мы попытаемся выяснить, какие черты описанной в предыдущих параграфах схемы классической механики должны сохраниться в механике микромира н от чего можно и нужно отказаться. Мы увидим, что отказ только от одного утверждения классической механики, а именно от утверждения, что наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве, позволит построить схему механики, описывающую системы с поведением, существенно отличным от классического. Наконец, в последующих параграфах мы убедимся, что построенная теория является более общей, чем классическая механика, и содержит последнюю как предельный случай, Исторически первая квантовая гипотеза была выдвинута Планком в 1900 г, в связи с теорией равновесного излучения.

Планку удалось получить согласующуюся с опытом формулу для спектрального распределения энергии теплового излучения, выдвинув предположение о том, что электромагнитное излучение испускается и поглощается дискретными порциями — квантами, энергия которых пропорциональна частоте излучения Е=пю, (1) где пт = 2пч, и — частота колебаний в световой волне, а й =. = 1,05 Х 1О-Ят эрг с — постоянная Планка *, Гипотеза Планка о световых квантах позволила Эйнштейну дать чрезвычайно простое объяснение закономерностей фотоэффекта (1905 г.).

Явление фотоэффекта состоит в том, что под действием светового потока из металла выбиваются электроны. Основная задача теории фотоэффекта — найти зависимость энергии выбиваемых электронов от характеристик светового потока. Пусть )т — работа, которую нужно затратить на выбивание электрона из металла (работа выхода). Тогда закон сохранения энергии приводит к соотношению где Т вЂ” кинетическая энергия выбитого электрона. Мы видим, что эта энергия линейно зависит от частоты и не зависит от интенсивности светового потока. Кроме того, при частоте ю ( )т/Ь (красная граница фотоэффекта) явление фотоэффекта становится невозможным, так как Т = О.

Эти выводы, основанные на гипотезе о световых квантах, полностью согласуются с опытом. В то же время по классической теории энергия вырванных электронов должна зависеть от интенсивности световых волн, что противоречит результатам экспериментов, Эйнштейн дополнил представление о световых квантах, введя импульс светового кванта по формуле р=йй.

(2) Здесь й — так называемый волновой вектор, имеющий направление распространения световых волн; длина этого вектора й связана с длиной волны Х, частотой ю и скоростью света с соотношениями 2п ю й= — = —. Л с ' Для световых квантов справедлива формула Е=рс, а В старой литературе формула (1) часто записывается в виде с = йт, постоянная й, входящая а последнюю формулу, очевидно, отличается от й формулы (1) множителем 2п. 19 являющаяся частным случаем формулы теории относительности е = ~/риаз для частицы с массой покоя т = О.

Заметим, что исторически первые квантовые гипотезы относились к законам излучения и поглощения световых волн, т, е. к электродинамике, а не к механике. Однако вскоре стало ясно, что не только для электромагнитного излучения, но и для атомных систем характерна дискретность значений ряда физических величин. Опыты Франка и Герца 11913 г.) показали, что при столкновениях электронов с атомами энергия электронов изменяется дискретными порциями.

Результаты этих опытов можно объяснить тем, что энергия атомов может иметь только определенные дискретные значения. Позднее, в 1922 г. опыты Штерна и Герлаха показали, что аналогичным свойством обладает проекция момента количества движения атомных систем на некоторое направление. В настоящее время хорошо известно, что дискретность значений ряда наблюдаемых хотя и характерная, ио не обязательная черта систем микромира. Так, например, энергии электрона в атоме водорода имеет дискретные значения, а энергия свободно движущегося электрона может принимать любые положительные значения, Математический аппарат квантовой механики должен быть приспособлен к описанию наблюдаемых, принимающих как дискретные, так и непрерывные значения.

В 1911 г. Резерфордом было открыто атомное ядро и предложена планетарная модель атома (опыты Резерфорда по рас. сеянию и-частиц на образцах из различных элементов пока. вали, что атом имеет положительно заряженное ядро, заряд которого равен Ее, где Š— номер элемента в таблице Менделеева, а — е — заряд электрона, размеры ядра не превышают 10-мсм; сами атомы имеют линейные размеры порядка 10-з см). Планетарная модель атома противоречит основным положениям классической электродинамики. Действительно, двигаясь вокруг ядра по классическим орбитам, электроны, как всякие ускоренно движущиеся заряды, должны излучать электромагнитные волны.

При этом электроны должны терять свою энергию и в конце концов упасть на ядро. Поэтому такой атом не может быть устойчивым, что, конечно, не соответствует действительности. Одна нз основных задач квантовой механики— объяснить устойчивость и описать структуру атомов н молекул как систем, состоящих из положительно заряженных ядер и электронов. Совершенно удивительным с точки зрения классической механики представляется явление днфракции микрочастнц. Это явление было предсказано де Бройлем в 1924 г., который предположил, что свободно движущейся частице с импульсом р зо н энергией Е в каком-то смысле соответствует волна с волновым вектором )с и частотой ш, причем р=йс, Е=йш, т.

е. соотношения (1) и (2) справедливы не только для световых квантов, но и для частиц. Физическое истолкование волн де Бройля было дано позднее Борном, и мы его пока обсуждать не будем. Если движущейся частице соответствует волна, то независимо от того, какой точный смысл вкладывается в этн слова, естественно ожидать, что это проявится в существовании дифракционных явлений для частиц. Впервые дифракция алек. тронов наблюдалась в опытах Девнссона и Джермера в 1927 г. Впоследствии явления дифракцни наблюдались и для других частиц.

Рис, 1. Покажем, что дифракционные явления несовместимы с классическими представлениями о движении частиц по траекториям. Рассуждение удобнее всего провести на примере мысленного эксперимента по днфракции пучка электронов на двух щелях е, схема которого изображена на рис. 1. Пусть электроны от источника А двигаются к экрану Б и, проходя через щели 1 и П в нем, попадают на экран В. Нас интересует распределение электронов по координате у, попадающих на экран В. Явления дифракции на одной и двух щелях хорошо изучены, и мы можем утверждать, что распределение электронов р(д) имеет вид а, изображенный на рис, 2, если открыта только первая щель, вид б (рис. 2),— если открыта вторая н вид в,— если открыты обе щели.

Если предположить, что каждый электрон двигался по определенной классической траектории, то все электроны, попавшие на экран В, можно разбить па две группы в зависимости от того, через какую щель они прошли. Для электронов первой группы совершенно безразлично, открыта ли вторая щель, и поэтому нх * Такой экспернмент является мысленным, так длина волны электронов при энергиях, удобных для днфракционных опытов, не превышает 1О-т см, а расстояние между щелями должно иметь тат же порядок. В реальных экспериментах наблгодается дифракция на нристаллах, которые как бы явлг~штся природными днфракционными решетками.