Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков, страница 10

Множество допустимых значений наблюдаемой А совпадает с множеством точек роста функций ьы(Х) для всевозможных состояний гэ. Поэтому можно утверждать, что множество возможных результаТов измерения наблюдаемой А совпадает с ее спектром. Мы видим, что теория позволяет описывать наблюдаемые как с дискретным, так и непрерывным множеством значений. Теперь наша задача — описать правила выбора пространств состояний н научиться строить основные наблюдаемые для реальных физических систем.

Здесь мы будем описывать квантовые системы, имеюшие классический аналог. Задача ставится следующим образом, Пусть мы имеем классическую систему, т. е. заданы ее фазовое пространство и функция Гамильтона. Нужно найти квантовую систему, т. е. построить пространство состояний и оператор Шредингера так, чтобы между классическими наблюдаемыми (функциями на фазовом пространстве) и квантовыми наблюдаемыми (операторамн в пространстве состояний) было установлено взаимно-однозначное соответствие Аь При этом функции Гамильтона должен соответствовать оператор Шредингера. Это взаимно-однозначное соответствие ни в коем случае не может быть изоморфизмом/д~-/- Аг оАю (/, д)~-/-~(Аь Ах)ь (именно поэтому квантовая механика отли.

чается от классической), но должно становиться изоморфизмом при Ь-+ О (что обеспечит предельный переход квантовой меха. ники в классическую). Обычно квантовые наблюдаемые А~ имеют те же названия, что и классические /. Заметим, что мы не должны исключать возможности существования квантовых систем, не имеющих простого классического аналога.

У таких систем могут быть наблюдаемые, которым не соответствует никакая функция обобшеиных координат и импульсов. В полном объеме правила соответствия и предельный переход в классическую механику будут описаны в 5 14. Пока мы установим такое соответствие только между наиболее важными наблюдаемыми и покажем, как строится пространство состояний для простейших систем. Рассмотрим сначала материальную точку. Ее фазовое пространство шестнмерно и точка в нем определяется заданием трех декзртовых координат оь оь оа и трех проекций импульса рь Рь ра.

Нетрудно сосчитать классические скобки Пуассона для любой пары из этих наблюдаемых (дт с1т)=0 (Рт Рт)=0 (Рмдд=бт,т т 1=1 2 3 Для частицы в квантовой механике мы введем шесть наблюдаемых Яь Ят, Яа, Рь Рь Ра, у которых квантовые скобки Пуассона имеют те же значения где 7 — единичный оператор. Эти наблюдаемые будем называть координатами и проекциями импульса. В дальнейшем мы сумеем оправдать такое сопоставление операторов координатзм и импульсам следующими обстоятельствами. Изучив наблюдаемые, определенные соотношениями (6), мы увидим, что они обладают многими свойствами классических координат и импульсов.

Например, для свободной час. тицы проекции импульса являются интегралами движения, а средние значения координат линейно зависят от времени (равномерное прямолинейное движение). Далее, соответствие д~ + (~ь р~е Рь т = 1, 2, 3, явится для нас основой для построения общего соответствия 1(д, р) + + Аь Определенные таким образом квантовые наблюдаемые, в том числе координаты и импульсы, прн предельном переходе превращаются в соответствуюшие классические наблюдаемые е, Наконец, правила соответствия ( ~ А~ делают теорию вполне конкретной, н ее результаты могут проверяться в экспериментах. Именно согласие теории с экспериментом следует считать окончательным оправданием предположения (6) и всей квантовой механики, Условия (6) называются условиями квантования Гейзенберга. Из этих условий и формулы (7.1) сразу следуют соотношения неопределенности Гейзенберга для координат и импульсов.

Эти соотношения мы уже обсуждали. Часто формулы (6) записываются для коммутаторов Эти соотношения называются перестановочными соотношениями Гейзенберга. ' Точный смысл ото~о утвержденна обсуждается в $14. Имеет место замечательная теорема Неймана — Стоуна. Мы сформулируем ее без доказательства *. У системы соотношений (7) существует единственное неприводимое представление операторами в гильбертовом пространстве (с точностью до унитарного преобразования). Напомним, что означает неприводимость представления..

Обычно используют два эквивалентных определения: !) представление соотношений (7) называется неприводис мым, если не существует оператора, отличного от кратного единичному С1 и коммутирующего со всеми операторами О; и Рн 2) представление называется неприводнмым, если не сушествует в рй подпространства яэо, инвариантного относительно всех операторов Я; и Рь Проверим эквивалентность этих определений.

Если существует инвариантное относительно Яг и Рл подпространство Яе, то проектор на это подпространство Рта, коммутирует с Я; и Р; и, очевидно, Рая,МС1. Если есть оператор А Ф С1, коммутирующий со всеми Я; и Рь то А', а значит„и А+ А' коммутируют с ® и Рь Поэтому с самого начала можно считать А самосопряженным. Самосопряженный оператор А имеет спектральную функцию Р,()), которая при некотором Х отлична от нуля н С1.

Оператор Р,(Х) коммутирует с Я; и Рь и, следовательно, подпространство Мо, на которое он проектирует, инвариантно относительно Я; и Р;. Из теоремы Неймана — Стоуна следует, что если мы найдем какое-либо представление перестановочных соотношений Гейзенберга и докажем его неприводимость, то все остальные не- приводимые представления будут отличаться от него унитарным преобразованием. Мы знаем, что физическое толкование теории основано иа формуле для среднего значения (А ~ар = ТгАМ, Правая часть этой формулы не меняется при унитарном преобразовании всех операторов.

Поэтому физические результаты теории не зависят от того, какое из унитарно эквивалентных представлений мы выбираем. 5 )!. Координатное и импульсное представления Опишем наиболее часто используемое в квантовой механике так называемое координатное представление. Иногда его называют представлением Шредингера. В этом представлении в качестве пространства состояний для материальной точки выби- * Приведенная формулировка не является точной, так как имеются тон.

кости, связанные с неограниченностью операторов Р и Я, которые мы не обсуждаем. Подобные трудности не возникнут, если вместо самих операторов Р и !2 рассматривать ограниченные функции от этих операторов, Точную формулировку теоремы Неймана — Стоуна мы приведем в $ !3. рается пространство у(мх) квадратнчно интегрируемых комплекснозначных функций ~р(х) = ~р(хо ха,хх). Скалярное произведение определяется равенством (уь фх) = ~ В (х) ~~~ (х) дх.

аВ Операторы )",)) н Рь 1 = 1, 2, 3 вводятся формулами Г))ф(х) =хор(х), Рйр(х) =т д„т(х). Ь д (2) Это неограниченные операторы, что соответствует физическому смыслу наблюдаемых, так как численные значения координат и импульсов неограничены. На области О, образованной бесконечно дифференцируемыми функциями, убывающими быстрее любой степени, определены сами операторы СГ) н Р; и любые их целые положительные степени.

Очевидно, область Г) плотна в дй. Можно показать, что операторы 1;)) и Р) имеют единственные самосопряженные расширения по замыканию. Симметрия этих операторов проверяется просто. Например, для Р1 и любых функций ф еи0, феи(), интегрируя по частям, имеем (Р1гр, ф) = ~ пх —.

— ф (х) = ) дхз ) Ихз — ф(х) ф (х) Ь д~р(х) — Г Г Ь м и-- — ~ дх~р(х) —.— — 1 дхф (х) —.— — (ф, Р, ф). Ь д~) (х) Г Ь дф (х) Проверим перестаиовочные соотношения (10.7). Первые два из ннх очевидны, а третье следует из равенств Ь д Ь а д РД)% (х) — —, (х -~р (х)) = —. бы р (х) + х) —. — ~р (х), Ь д )~)Рх~р (х) = х) —. д ф (х). ) Р(Р) д д РЛ(р) =Ю(р).

(3) 51 Таким образом, мы действительно построили представление соотношений (10.7) линейными операторами. Неприводнмость этого представления мы докажем позже. Приведем еще один пример представления (импульсное представление). В этом представлении пространство состояний дй тоже является комплексным пространством (.х(й') с элементами гр(р), а операторы (;)) и Рь 1 = 1, 2, 3 определяются следующим образом: Перестановочные соотношения (10.7) проверяются так же, как для координатного представления, и так же доказывается неприводимость. По теореме Неймана — Стоуна этн представления унитарно эквивалентны, т.

е. должно существовать унигарное преобразование в ф (х) ь <р (р), при котором операторы, определенные формулами (3), превра- щаются в операторы (и). Нетрудно видеть, что таким преобра- зованием является преобразование Фурье з ф(х)=( — „,) ~ э" ф(р) (Р, иь (4) — ! з ф(р)=( — „„) $е " ф(х)!зх. Унитарность преобразования Фурье следует из равенства Парсеваля ~! !р(х) гс(х = ~ ~ <р(р) ~а!(р.

Ь д Применяя оператор —.— к выражению (4), получим ! дк! з 3 2 — ! —, дл (,—,„„) ~э" ф(Р)(Р=( — „,„) ~ е" Р!%(Р)(Р Мы видим, что при унитарном преобразовании йУ оператор Ь д — — превращается в оператор умножения на переменную рп дя! Аналогично проверяется, что д х!!р (х) — ь Й вЂ” <р (р). дл! * Мы созиателыю используем один и тот же символ иля обозначения разных функций !р(к] и !р(р), так как обе зти функции представлякзт один и тот же вектор состояния ф.

Таким образом, мы проверили унитарную эквивалентность координатного и импульсного представлений. Выпишем формулы преобразования интегральных операторов при переходе от координатного к импульсному представ- лению: А~р (х) = ~ А (х, у) ф (у) Ыу, А~р (р) = ( — „„) ' ~ а " А~у(х) Ых = =( — „,) ~ е ' А(х,у)е" ~р(й)Ыхйуй~= = $ А (р, а) р (й)(ц, а1 8 А(р, й)=( — „„) ~ е ' А(х,у)е" Ихду. (6) где Если оператор в координатном представлении является оператором умножения на функцию ((х), то его можно рассматривать как интегральный с ядром А(х, у) =)(х)б(х — у).