Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков

Печатается ло постановлению Редикционно-издательского совета Ленинградского университета УЛК 530.145 Ф а ддее в Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Учеб. пособие. Ле Изд-во Лениагр. ун-та, 1980, 200 с. Ил. — 15. В основу книги положены лекции, которые в течение ряда лет читаютсн студентам математических специальностей математико-механического факультета Ле. нннградского университета. От имеюшихся учебников квантовой механики книга отличается тем, что она орнентиронана в основном па математическую ауднто. рию.

В связи с этим большее внимание уделяется общим вопросам квантовой механики н ее математическому аппарату. По-пиону, чем зто припято в физической литературе, изчагаются основы квантовой механики, подробно описана взаимосвязь квантовой н классической механик, включены параграфы, посвященные применению теории представлений групп н математиче. ским вопросам квантовой теории рассеяния. Кроме студентов. математиков книга может быть полезной также студентам, специализирующимся по теоретической физике, которым она позволит взглянуть нз квантовую механику с новой для ннх точки зрении.

20203,20402 — 024 80 8 1704020000 © Изд 070(02)-80 ' Ленинградского университета, 1980 г. ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие является подробным конспектом лекций, которые читаются на математико-механическом факультете Ленинградского государственного университета для студентов математических специальностей.

Программа курса квантовой механики была разработана первым из авторов, который и читал этот курс в 1968 — 1973 гг. В последующие годы курс квантовой механики читался вторым автором. Разумеется, за эти годы курс несколько изменился, однако цель его осталась прежней — дать изложение квантовой механики с точки зрения более близкой студенту-математику, чем это принято в физической литературе.

Мы учитываем, что студенты не изучают общей физики. Естественно, что в курсе, предназначенном математикам, мы стремились к более аккуратному, чем это принято, изложению математических вопросов квантовой механики, но мы не стремились к полной математической строгости, так как строгое изложение ряда вопросов потребовало бы существенного увеличения объема курса. В литературе на русском языке существует только одна книга, преследующая те же задачи. Это книга известного американского математика Дж, Макки еЛекции по математическим основам квантовой механики». От книги Макки настоящие лек. ции существенно отличаются как по способу изложения основ квантовой механики, так и по подбору материала.

Кроме того, настоящие лекции предъявляют несколько меньшие требования к математической подготовке студентов. Тем не менее мы многое заимствовали как из книги Макки, так и из классической книги фон Неймана «Математические основы квантовой механики». В основе подхода к построению квантовой механики, принятого в лекциях, лежит утверждение, что квантовая и классическая механики являются различными реализациями одной и той же абстрактной математической структуры.

Особенности этой структуры выясняются в первых параграфах, посвященных классической механике. Эти параграфы являются неотъемлемой частью курса и пропускать их при чтении нельзя, тем более, что материал этих параграфов ярактическн не пересекзется с материалом курса теоретической механики.

Логическим завершением такого подхода к построению квантовой механики является параграф, посвященный взаимосвязи квантовой и классической механик и предельному переходу от квантовой механики к классической. При отборе материала параграфов, посвященных приложениям квантовой механики, мы старались выделить те вопросы, которые связаны с постановкой интересных математических задач.

В связи с этим большое внимание уделяется задачам, связанным с теорией представлений групп, и математическим вопросам теории рассеяния. В остальном подбор материала со. ответствует традиционным учебникам, посвященным общим вопросам квантовой механики, например, книгам В. А, Фока илн П. Дирака. Авторы благодарны В. М. Бабичу, который прочел рукопись и сделал ряд ценных замечаний. 5 1.

Алгебра наблюдаемых классической механики Рассмотрим простейшую задачу классической механики— задачу о движении материальной точки (частицы) с массой т в силовом поле р(х), где х(хьхвхз) — раднус-вектор частицы. Сила, действующая на частицу, г = — йтаб Р= — —. ду дх ' Основными физическими характеристиками частицы являются ее координаты хь хь хх и проекции вектора скорости ч(оь ом оз). Все остальные характеристики есть функции от х и т, например, импульс р = тч, момент импульса 1 = х Х р = = тх и ч, энергия частицы Е = тч'/2 + У(х).

Уравнения движения материальной точки в форме Ньютона имеют вид дт дк дх го — = — — „ л дх' дГ (1) В дальнейшем удобно вместо скорости т в качестве основной переменной использовать импульс р. В новых переменных уравнения движения записываются таким образом: др дк ~й дх ' р дН дг дН рх Замечая, что — =, — = —, где Π— + )г(х) — функт др ' дх дх ' 2т ция Гамильтона для частицы в потенциальном поле, мы прихо. дим к уравнениям в форме.

Гамильтона дх дН др дН дг др ' дГ дх' (3) Из курса теоретической механики известно, что широкий класс механических систем и, в частности, консервативные системы описываются уравнениями Гамильтона дН . дН г)! = — р! = - —, ! = 1, 2, ..., и. (4) дрг' дЧ! ' Здесь д! и р! — обобщенные координаты и импульсы, Н = = Н(дз,..., д„; рь..., р,) — функция Гамильтона, число п на- зывается числом степеней свободы системы. Напомним, что для консервативной системы функция Гамильтона Н совпадает с выражением для полной энергии системы в переменных д! и р!. Выпишем функцию Гамильтона для системы Ж материаль- ных точек, попарно взаимодействующих между собой а! е а! и Н=~~'„— + ~', )гг!(х! х!) + ~а~ кг(х!) (6) г-! ' !<! ! 1 Здесь в качестве обобщенных координат д взяты декартовы координаты частиц, число степеней свободы такой системы и = ЗН, Рп(х! — х!) есть потенциал взаимодействия г-й и )нй частиц.

Зависимость !г!! только от разности х! х! обеспечи- вает выполнение третьего закона Ньютона. (Действительно, сила, действующая на !'-ю частицу со стороны )ьй частицы, г г! — — — — ' = — и = — Р!!.) Потенциалы Ъ'! (х!) описывают Ц г! дх дх взаимодействие г-й частицы с внешним полем. Первое слагае- мое в формуле (5) — кинетическая энергия системы частиц. Для произвольной механической системы все физические характеристики есть функции от обобщенных координат и им. пульсов. Мы введем в рассмотрение множество л всех веще- ственных, бесконечно днфференцируемых функций ' ((д!,..., и„; рь..., р„), которые будем называть наблюдаемыми. Множество наблюдаемых ы, очевидно, является линейным пространством и образует вещественную алгебру с обычными для функций операциями сложения н умножения. Вещественное 2п-мерное пространство с элементами (д!.....

де; рь..., р,) называется фазовым пространством и обозначается через я'. Таким обра- зом, алгебра наблюдаемых классической механики есть алгебра вегцественных гладких функций, задаваемых на фазовом про. странстве зг, Мы введем ниже в алгебре наблюдаемых еще одну опера- цию, которая связана с эволюцией механической системы. Для простоты все дальнейшее изложение ведется на примере си- стемы с одной степенью свободы. Уравнения Гамильтона в этом случае имеют вид Р= Н=Н(!1 р).

дН . дН др * до (6) * Мы не обсужлаеы вопрос а введении топологии в алгебре наблюлае- ыык. К счастью, большинство физических вопросов от этой топологии не зависит. Таким образом, функция Й(д, р) удовлетворяет дифференциаль. ному уравнению д), дн д) дН д) (13) д~ др дд дд др и начальному условию (с(4 Р) а-о=1(с7 Р).

(! 4) Уравнение (13) с начальным условием (14) имеет единствен- ное решение, которое может быть получено по формуле (12), т. е. для построения решений уравнения (13) достаточно знать решения уравнений Гамильтона. Уравнение (13) может быть переписано в виде — =(Н, Ц, ")с где (Н,Ц вЂ” скобка Пуассона функций Н и (ь Для произвольных наблюдаемых 1" и а скобка Пуассона определяется формулой У а)= — — — —— д) дд д) д0 др д« дч др ' а в случае системы с и степенями свободы 1 ! Перечислим основные свойства скобок Пуассона; 1) Ц, а+ ЛЬ) = (1, а) + Л(1, Ь) (линейность); 2) Ц, а) = — (а,1) (кососимметричность); 3) (~ (а Ь))+(а,(Ь,1))+(Ь,Ка)) =0 (тождество Якоби); 4) Каь) =аИ ь)+ ((.а)ь Свойства 1), 2) и 4) прямо следуют из определения скобок Пуассона.' Свойство 4) показывает, что операция «скобка Пуассонар есть дифференцирование алгебры наблюдаемых, Действительно, скобка Пуассона может быть переписана в форме (1, а)=х1а где Х1 = — — — — — — линейный дифференциальный операд) д д) д др дд дд др тор первого порядка, и свойство 4) принимает вид х аь = (х ~а) ь + ахль.