Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков, страница 9

Конечномерная модель удобна для нас еще тем, что мы не сталкиваемся с чисто математическими трудностями спектральной теории неограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом прост- ранстве. Заметим, что основные положения этой теории были разработаны фон Нейманом именно в связи с потребностями квантовой механики. й 9. Две картины движения в квантовой механике. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния В этом параграфе мы обсудим вопросы динамики квантовых систем.

Основное предположение уже по существу было сделано в $ 4, когда мы говорили о необходимости введения лиевской операции в алгебре наблюдаемых квантовой механики и о ее связи с динамикой. Поэтому мы прямо начнем с того, что постулируем так называемую картину Гейзенберга. Эта картина является аналогом классической картины Гамильтона. Так же как и в классической механике, в этой картине наблюдаемые А зависят, а состояния ы М не зависят от времени лм — =О, лг — =(Н, А(!))„, Здесь Н вЂ” оператор полной энергии системы, являющийся аналогом функции Гамильтона классической механики. Оператор Н иногда называют оператором Шредингера.

Форма записи картины Гейзенберга точно такая же, как картины Гамильтона, только в правой части стоит квантовая скобка Пуассона вместо классической. Как и в классической механике, уравнение ~~(~) =(Н, А(1)) вместе с начальным условием А(1) ~, э= А (3) задает однопараметрическое семейство автоморфизмов алгебры наблюдаемых 6. Зависимость среднего значения от времени определяется формулой (А (~) 1а) = Тг А (~) М.

Уравнение (2) с начальным условием (3) имеет единственное решение, которое может быть записано в виде -'о — — 'л~ . А(г) = — е" Ае (4) Действительно, — "",," = —,' (Н, А(г))=(Н, А(е))д. Выполнение начального условия очевидно. Оператор 0(~)=е ", который появился в записи решення (4), называется оператором эволюции. Оператор эволюции является унитарным оператором вследствие самосопряжениости оператора Н вЂ” 'н~ 0*(()=е" =(7 (1).

Множество операторов У(г) образует одиопараметрическую группу (' (г2)(7 (г1) (7 (~! + гз) ~ (г) ~ ( г) Если наблюдаемые Н и А коммутируют, то (Н, А ) ь = О и среднее значение наблюдаемой А не зависит от времени. Такие наблюдаемые называются квантовыми интегралами движения. В квантовой механике существует вторая эквивалентная картина движения, являющаяся аналогом классической картины Лиувилля.

Для того чтобы сформулировать эту картину, преобразуем формулу для среднего значении (А(0) ~в)=ТгУ" (г) АУ(г) М ТгАУ(г) МУ*(~) =Тг АМ (~) = =(А ~е(1)), где мр) — М(г) =ир) Ми'(г) (б) и М(г) является единственным решением уравнения — = — (Н, М(г))„ (б) с начальным условием МР) ~,,=М. (7) Мы пришли к так называемой картине Шредингера. В этой кар. тине зависящими от времени оказываются состояния — = -(и, м(г))ь лм ОΠ— =О. ФА Н (8) По самому способу введения картина Шредингера эквивалентна картине Гейзенберга, так как зависимость средних значений наблюдаемых в этих картинах является одинаковой.

Теперь рассмотрим зависимость от времени чистых состояний в картине Шредингера. Согласно общей формуле (5) 7;()=(7(г)Р, *В 43 Подберем зависимость вектора состояний зр(1) от времени так, чтобы выполнялось равенство 1е(1) =" еи1 Проверим, что этому условию удовлетворяет чз(1) = Н(1) Ф. (9) Пусть й — произвольный вектор, тогда Реюд~ = а, ф(1)) ф(1) =(В, Н(1) ф) и(1) ф= =и(1)(и'т, ф) ф=и(1) Р,и'т= Р„т.

Таким образом, зависимость от времени вектора зр(1) по формуле (9) гарантирует правильную зависимость от времени чистого состояния. Заметим, что (9) не следует и не может следовать с необходимостью из (5), так как вектор состояния определяется состоянием с точностью до множителя по модулю, равного единице. Несмотря на это, в квантовой механике всегда считается, что зависимость векторов состояния от времени определяется формулой (9).

Отметим, что эволюция не меняет нормировки вектора состояния, 'й' р(1)!1=И!~, так как Н(1) — унитарный оператор, Вектор зр(1) удовлетворяет уравнению 1Ь вЂ” „= Нзр (1) (1О) и начальному условию тР(1) |,,=зР Рассмотрим чистые стационарные состояния. Из (11) имеем ' НРеи~ = РеюН. * Заметим, что из независимости РОН~ от времени отнюдь не следует, что вектор зр(1), удовлетворяющий уравнению Шредингера, не заинсит от времени. ЯЯ Уравнение (10) называется уравнением Шредингера и является основным уравнением квантовой механики, Рассмотрим теперь состояния, которые в картине Шредингера не зависят от времени.

Такие состояния называются стационарными. Очевидно, среднее значение любой наблюдаемой и вероятности ее определенных значений в стационарных состояниях от времени не зависят. Условие стационарности сразу следует из (6) и имеет вид (Н, М)„=0. Подействуем левой и правой частями этого равенства иа век. тор ф(1) Нф())=(Нф()) фй))ф(г). Число Е =(Нф (1), ф (г)) = ТгРолвН от времени не зависит, и мы видим, что при любом г вектор ф ()) является собственным вектором оператора Н с собственным значением Е. Поэтому уравнение Шредингера для вектора ф(Г) принимает вид (Ь вЂ” = Еф ()).

ечо 0) ш Решение этого уравнения: ф ()) = ф (0) е (! 2) Таким образом, чистые стационарные состояния — это состояния с определенной энергией, и вектор, определяющий такое состояние, зависит от времени по формуле (12). Уравнение Нчч = Е В иногда называют стационарным уравнением Шредингера. Основные задачи квантовой механики сводятся к решению этого уравнения.

Числа Е» согласно общему физическому толкованию, есть возможные значения энергии (энергетические уровни) системы. Состояние, соответствующее наименьшему значению энергии Е» называется основным состоянием системы, остальные состояния — возбужденными. Если известны собственные векторы ~р; оператора Н, то легко может быть построено решение задачи Коши для уравнения Шредингера (Ь вЂ” = Нф (1), еФ 0) е') ф(4'ч-о=ф Для этого достаточно разложить вектор ф по собственному базису оператора Н ф= ~ ссэь с~ — — (ф ~р,) с-ь и использовать формулу (9). Тогда мы получим решение задачи Коши в виде л ф())= ~,еде " (13) ! 1 Эту формулу называют обычно формулой разложения решения уравнения Шредингера по стационарным состояниям.

В заключение этого параграфа получим соотношение неопределенности время — энергия. Полагая в (7.1) В = Н, имеем ЛмАЛ„Н.- — !((А, Н)„~а) 1. (14) р'А Вспоминая, что в картине Гейзенберга — =(Н, А)„и испольЛАср /НА зуя очевидное равенство „= ( „~ а(, соотношение (14) перепишем в виде ЛаАЛс,Н » )з ~ / плср Введем промежуток времени Л„гл — — Л„А(~ За время Л гл среднее значение наблюдаемой А,р смещается на «ширину» распределения Л А. Поэтому Л„(д есть характерное для состояния гэ и наблюдаемой А время, за которое функция распределения зрс(Х) успевает заметно измениться. Из неравенства Л„гАЛ„Н - (с(2 следует, что множество значений Л„1„для всевозможных наблюдаемых А в состоянии в ограничено снизу. Полагая Лг'=1п1Л 1А и обозначая Л Н через ЛЕ, получим, что для любого состояния в справедливо неравенство ЛЕ Лг » )Ь(2.

(15) Это и есть соотношение неопределенности время — энергия, Физический смысл этого соотношения существенно отличается от смысла соотношений неопределенности (7.1). В формуле (7.1) Л„А и Л В вЂ” неопределенности з значениях наблюдаемых А и В в состоянии в в один и тот же момент времени. В соотношении (15) ЛŠ— неопределенность энергии, и она от времени не зависит, а Л( характеризует время, за которое успевает заметно измениться распределение хотя бы одной из наблюдаемых. Чем меньше величина Лй тем больше состояние м отличается от стационарного.

Для сильно нестационарных состояний Л1 мало н неопределенность энергии ЛЕ должна быть достаточно велика. Наоборот, если ЛЕ = О, то Л(= со. В этом случае состояние является стационарным. й 1О. Квантовая механика реальных систем. Перестановочные соотношения Гейзенберга Мы уже упоминали о том, что построенная конечномерная модель слишком бедна, чтобы соответствовать реальности, и что ее можно усовершенствовать, взяв в качестве пространства состояний комплексное гильбертово пространство Я, а в каче- стае наблюдаемых — самосопряженные операторы в этом прост- ранстве. Можно показать, что основная формула для среднего зна- чения наблюдаемой А в состоянии ы сохраняет свой впд (А)в) =Тг АМ, (1) где М вЂ” положительный самосопряженный оператор в Я со следом, равным единице.

Для любого самосопряженного оператора может быть по- строена спектральная функция Рх(Л), т. е. семейство проекто- ров со следующими свойствами: 1) Рх(Л)(Р„(р) при Л < р, т. е. Рл(Л) Рл(р) =Рх(Л), 2) Рх(Л) непрерывен справа, т. е. !пп Рл(р) =Р„(Л), э -+ ь+о З) Р„( — )= Вт Р (Л)=О, Р ( )=К, Л .+— 4) Рд(Л)В = ВРх(Л), если  — любой ограниченный опера- тор, коммутирующий с А.

Вектор ~р принадлежит области определения оператора А (~р ен 0 (А) ), если ~ ЛЧ(Р,(Л) р, р) <- и тогда АФ ~ Л~(~ А(Л)Ф (2) Функция от оператора 1(А) определяется формулой 1(А)Ч= ~ )(Л)йРл(Л)ф. Область определения этого оператора Р (1(А)) есть множество элементов ~, для которых ~ !У(Л)$'д(Рл(Л)В ~) < Спектр самосопряженного оператора представляет собой замкнутое множество точек вещественной оси, состоящее из всех точек роста спектральной функции Рл(Л). Скачки этой функции соответствуют собственным числам оператора А„ а Рл(Л+ О) — Рл(Л вЂ” О) есть проектор на собственное подпространство, отвечающее собственному числу Л.

Собственные числа образуют точечный спектр. Если собственные векторы образуют полную систему, то оператор имеет чисто точечный спектр, В общем случае пространство может быть разбито 47 в прямую сумму ортогональиых и инвариантиых относительноА подпространсгв Уй, н М, таких, чго в первом оператор А имеет чисто точечный спектр, а во втором не имеет собственных векторов.

Спектр оператора в подпростраистве Ж~ называют непрерывным. Из основной формулы (1) следует, что функция распределения наблюдаемой А в состоянии ы М в общем случае имеет вид ы„(Д) =Т.Р,(ЦМ, а для чистых состояний М=Рч, 11ф11=1 мл Я = (Р „Я ф, ф). (4) (б) В отличие от конечномерной модели функция гвх(Х) не обязательно является функцией скачков.