Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков, страница 5

распределение иа экране должно изображаться кривой а; аналогично электроны второй группы должны иметь распределение б. Поэтому в случае, когда открыты обе щели, иа экране должно получиться распределение, являющееся суммой распределений а и б. Такая сумма распределений не имеет ничего общего с интерференционной картиной в. Это противоречие показывает, что разделение электронов на группы по тому признаку, через какую щель они прошли, в условиях описанного эксперимента невозможно, а значит, мы вынуждены отказаться от понятия траектории.

Сразу же возникает вопрос, а можно ли так поставить эксперимент, чтобы выяснить, через какую щель проходил электрон. Разумеется, такая постановка эксперимента возможна, для этого достаточно поместить источник света между экранами Б и В и наблюдать рассеяние световых квантов на электронах. Для того чтобы добиться достаточного разрешения, мы должны использовать кванты с длиной волны, по порядку не превосходящей расстояния между щелями, т. е. с достаточно большой энергией и импульсом. Наблюдая кванты, рассеянные на электронах, мы действительно сможем определить, через какую щель прошел электрон.

Однако взаимодействие квантов с электронами вызовет неконтролируемое изменение их импульсов, а следовательно, распределение электронов, попавших на экран, должно измениться. Таким образом, мы приходим к вы. воду, что ответить на вопрос, через какую щель прошел электрон, можно только за счет изменения как условий, так и окончательного результата эксперимента. На этом примере мы сталкиваемся со следующей общей особенностью поведения квантовых систем. Экспериментатор не имеет возможности следить за ходом эксперимента, так как зто приводит к изменению его окончательного результата. Эта особенность квантового поведения тесно связана с особенностями измерений в микромире. Всякое измерение возможно только при взаимодействии системы с измерительным прибором.

Это взаимодействие приводит к возмущению движения системы. В классической физике всегда предполагается, что это возмущение может быть сделано сколь угодно малым, так же как и длительность процесса измерения. Поэтому всегда возможно одновременное измерение любого числа наблюдаемых.

Детальный анализ процесса измерения некоторых наблюдаемых для микросистем, который можно найти во многих учебниках по квантовой механике, показывает, что с увеличением точности измерения наблюдаемых воздействие на систему увеличивается и измерение вносит неконтролируемые изменения в численные значения некоторых других наблюдаемых. Это приводит к тому, что одновременное точное измерение некоторых наблюдаемых становится принципиально невозможным. Например, если для измерения координаты частицы использовать рассеяние световых квантов, то погрешность такого измерения имеет порядок длины волны света Лх Х. Повысить точность измерения можно, выбирая кванты с меньшей длиной волны, а следовательно, с большим импульсом р = 2пй/Х.

При этом в численные значения импульса частицы вносится неконтролируемое изменение Лр порядка импульса кванта. Поэтому погрешности измерения координаты н импульса Лх и Ар связаны соотношением Лх Лр 2пй. Более точное рассуждение показывает, что это соотношение связывает только одноименные координату и проекцию импульса. Соотношения, связывающие принципиально возможную точность одновременного измерения двух наблюдаемых, называются соотношениями неопределенности Гейзенберга. В точной формулировке они будут получены в следующих параграфах. Наблюдаемые, на которые соотношения неопределенности не накладывают никаких ограничений, являются одновременно измеримыми.

Мы увидим в дальнейшем, что одновременно измеримыми являются декартовы координаты частицы или проекции импульса, а неизмеримыми одновременно — одноименные координаты и проекция импульса нли две декартовы проекции момента количества движения. При построении квантовой механики мы должны помнить о вазможности существования неизмеримых одновременно величин. Теперь после небольшого физического вступления попытаемся ответить на уже поставленный вопрос: какие особенности классической механики следует сохранить и от чего естественно отказаться при построении механики микромира. Основными понятиями классической механики были понятия наблюдаемой и состояния.

Задача физической теории — предсказание результатов экспериментов, а эксперимент всегда есть измерение некоторой характеристики системы илн наблюдаемой при определенных условиях, которые определяют состояние системы. Поэтому понятия наблюдаемой и состояния должны появиться в любой физической теории. С точки зрения экспериментатора определить наблюдаемую — значит задать способ ее измерения. Наблюдаемые мы будем обозначать символами а, Ь, с, ... и пока не будем делать никаких предположений об их математической природе (напомним, что в классической механике наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве).

Множество наблюдаемых, как и прежде, мы будем обозначать через л. Разумно предположить, что условия эксперимента определяют по крайней мере вероятностные распределения результатов измерения всех наблюдаемых, поэтому определение состояния, данное в 5 2, разумно сохранить. Состояния по-прежнему мы будем обозначать через ег, соответствующую наблюдаемой а вероятностную меру на действительной оси через ог,(Е), функцию распределения наблюдаемой а в состоянии а через в,(Х) н, наконец, среднее значение наблюдаемой а в состоянии в через (ьг) а~.

Теория должна содержать определение функции от наблюдаемой. Для экспериментатора утверждение, что наблюдаемая Ь есть функция от наблюдаемой а (Ь=((а)) означает, что для измерения Ь достаточно измерить а, и, если в результате измерения наблюдаемой а получится число ан то численное значение наблюдаемой Ь есть Ь, = ((аг). Для соответствующих а и )'(а) вероятностных мер справедливо равенство агыа) Ю = а~а (1 Ю) (4) для любых состояний а. Заметим, что всевозможные функции от одной наблюдаемой а измеримы одновременно, так как для измерения этих наблюдаемых достаточно измерить наблюдаемую а. В дальнейшем мы увидим, что в квантовой механике этим прпмером исчерпываются случаи одновременной измеримости наблюдаемых, т.

е. если наблюдаемые Ьь Ьь ... измеримы одновременно, то найдется такая наблюдаемая а и такие функции )ь )г, ..., что Ь1 = (1 (а), Ьг = )г(а),,... Среди множества функций ~(а)' наблюдаемой а, очевидно, определены ((а) = Ха и ((а) = сопз(, где Х вЂ” вещественное число.

Существование первой из этих функций показывает, что наблюдаемые можно умножать на вещественные числа. Утверждение, что наблюдаемая есть константа подразумевает, что ее численное значение в любом состоянии совпадает с этой константой. Попытаемся теперь выяснить, какой смысл можно придать сумме а+ Ь и произведению аЬ наблюдаемых.

Эти операции были бы определены, если бы у нас было определение функции от двух наблюдаемых ~(а, Ь). Здесь, однако, возникают принципиальные трудности, связанные с возможностью существования неизмеримых одновременно наблюдаемых. Если а и Ь измеримы одновременно, то определение )(а, Ь) совершенно аналогично определению ((а). Для измерения наблюдаемой ((а,Ь) достаточно измерить наблюдаемые а н Ь, и такое измерение приведет к численному значению )(ао,Ьо), где ао и Ьо— численные значения наблюдаемых а и Ь соответственно. Для случая неизмеримых одновременно наблюдаемых а и Ь не существует никакого разумного определения функции ~(а, Ь). Это обстоятельство заставляет нас отказаться от предположения, что наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве )'(и, р), так как у нас есть физические основания считать д и р неизмеримыми одновременно и искать наблюдаемые среди математических объектов иной природы. Мы видим, что определить сумму а + Ь и произведение аЬ, используя понятие функции от двух наблюдаемых, можно только в том случае, если они одновременно измеримы.

Однако возможен другой подход, позволяющий ввести сумму в общем случае. Мы знаем, что вся информация о состояниях и наблюдаемых получается в результате измерений, поэтому разумно предположить, что состояний достаточно много, чтобы по ним можно было различать наблюдаемые, и аналогично наблюдаемых достаточно много, чтобы по ним можно было различать состояния. Более точно мы предполагаем, что из равенства (а1ю) = (Ь!а), справедливого для любого состояния оу, следует, что наблюдаемые а и Ь совпадают', а из равенства (а ~ ю,) = (а ~ юз), справедливого для любой наблюдаемой а, следует, что совпадают состояния ю1 и юя. Первое из сделанных предположений дает возможность определить сумму наблюдаемых а+Ь как такую наблюдаемую, для которой справедливо равенство (а + Ь! ю) = (а ~ в) + (Ь! ю) (5) при любом состоянии ю.

Сразу заметим, что это равенство является выражением известной теоремы теории вероятностей о среднем значении суммы только в случае, когда наблюдаемые а и Ь имеют общую функцию распределения. Такая общая функция распределения может существовать (и в квантовой механике действительно существует) только для одновременно измеримых величин. В этом случае определение суммы по формуле (5) совпадает со сделанным прежде. Аналогичное определение произведения невозможно, так как среднее от произ" Это предположение позволяет считвть, что наблюдаемая задана, если каждому состоянию сопоставлено вепьественное число, ведения не равно произведению средних даже для одновре- менно измеримых наблюдаемых.

Определение суммы (Б) не содержит никакого указания на способ измерения наблюдаемой а + Ь по известным способам измерения наблюдаемых а и Ь и в этом смысле является не- явным. Чтобы дать представление о том, насколько понятие суммы наблюдаемых может отличаться от обычного понятия суммы случайных величин, мы приведем пример наблюдаемой, которая будет подробно изучена в дальнейшем.

Пусть Ра зОз Н = — + —. 2 2 Наблюдаемая Н (энергия одномерного гармонического осцил- лятора) есть сумма двух наблюдаемых, пропорциональных квад- ратам импульса и координаты, Мы увидим, что эти последние наблюдаемые могут принимать любые неотрицательные чис- ленные значения, в то время как значения наблюдаемой Н должны совпадать с числами Е„= (а+1/2)о, где а = О, 1,2,..., т.