Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков, страница 3

Рассмотрим смесь состояний в1 и вз в=аа~+(! — а)вв 0<а<1. Для средних значений, очевидно, справедлива формула () ! в) = а () 1в~) + (1 — а) (1 ! в,). (14) Формулы (14) и (3) допускают следующее толкование. Утверждение о том, что система находится в состоянии в, эквивалентно утверждению, что система с вероятностью и находится в состоянии в~ и с вероятностью (1 — а) в состоянии вв Заметим, что такое толкование возможно, но не является необходимым. Простейшее смешанное состояние является выпуклой комбинацией двух чистых р(д„р) = ай(д — д~) Ь(Р— р~) + (1 — а) Ь(д — дз) б(Р— рз).

Возможны смеси п чистых состояний я п р(д, р) = ~„а~б(д — д~)б(р — р,), аг > О, ~, а~ — — 1. пп 1 ! Зресь а~ может быть истолковано как вероятность реализации чистого состояния, задаваемого точкой фазового пространства дь рь Наконец, в общем случае для функции распределения !з можно написать р Ы* р) = ~ р И, Р ) б (0 — гй) б (Р— ря) г(Ь 4р' Такая запись приводит к обычному и статистической физике толкованию ф)ппспип распрсделсшГЯ: ~ р (ц, р) гХд сУр есть иго роятность обнаружить систему в чистом состоянии, изображаемом точкой нз области О. фазового пространства.

Еще раз подчеркнем, что в таком толковании нет необходимости, так как чистые и смешанные состояния могут быть описаны в рамках единого формализма. Одной пз важнейших характеристик вероятностного распределения является дисперсия Л„'~= Я вЂ” <1 !ы>)а!»= <Р ~го> — <! !м>в (16) Покажем, что смешивание состояний приводит к увеличению дисперсии. Более точная формулировка этого утверждения содержится в неравенствах Л'-"„Г= аЛ„'-' (+ (1 — а) Л'-' (, Ьч~ Л~я ~ аЛ~,.(Ь„,и+ (1 — а) Л,/Ль,д, (16) (17) причем нивки равенства имеют место только при условии, что средние значения наблюдаемых в состояниях ы1 н е, совпа. дают <У ! м > = <( 1т>, <а ! м > = <д ! > В ослабленной форме (16) и (17) можно записать в виде Л1)~ш!п~Л 7, Л.-,!), (18) Л97Лаи В пп!п (Ьч~,ГЛ д Л (Ль~д) (19) При доказательстве используется элементарное неравенство ~р(х)=а+(1 — а)хз — (а+(1 — а)х)т»»0, — оо < х < о, (20) 'причем ~р(1)=О, ф(х) > 0 при я~1, (21) ' Используя (14) н (20), имеем Л„'1= <Р !м> — <) !ы>'= — а<~'!~>+(! — а) У ! .>-(а<~!.,>+(1 — а) <!!,>)я~ » ~а (Р ! н1> + (1 — а) (~~ ~ ая> — а Д ! ич>'- — (1 — а) (Г ! аа>е = = — аЛт ! + (1 — а) Лт 1, Неравенство (16) доказано.

Неравенство (17) является следствием (16). Действительно, ЬЗ~А2д ~(паз ~+ (1 — а) Лз ))(ада д -(-(1 — а) дз й) > ~) (абе,~б,,й + (1 — а) д„,гА в)з Для чистых состояний Р(Ч Р)=б(Ч Че)б(Р Рз) 0|ге) =Р(Чо, Рз), о'„Г = 1 (Чо Ро) 1 (Чо Ро) = 6 т. е. для чистых состояний классической механики дисперсия равна нулю.

Это значит, что для системы в чистом состоянии результат измерения любой наблюдаемой определен однозначно. Состояние классической системы будет чистым, если условия эксперимента фиксируют к моменту измерения значения всех обобщенных координат и импульсов. Ясно, что если макроскопическое тело рассматривать как механическую систему нз Ф молекул, где У имеет обычно порядок 10эз, то никакие условия реального физического эксперимента не фиксируют значений де и р0 для всех молекул и описание такой системы прн помощи чистых состояний является бесполезным. Поэтому в статистической физике изучаются смешанные состояния.

Подведем некоторые итоги. В классической механике существует бесконечное множество состояний системы (чистые состояния), в которых все наблюдаемые имеют вполне определенные значения. В реальных экспериментах с системами из огромного числа частиц возникают смешанные состояния. Разумеется, такие состояния возможны и в экспериментах с простыми механическими системами. В этом случае теория дает только вероятностные предсказания. й 3. Теорема Лиувилля и две картины движения в классической механике Этот раздел мы начнем с доказательства важной теоремы Лнувилля. Пусть 11 — некоторая область фазового пространства .Х.

Обозначим через 11(г) образ этой области под действием фазового потока, т. е. множество точек бнг, р~ 1з. Пусть У(г) — объем области 11(г). Теорема Лиувилля утверждает, что ар (1) — = О. лг Доказательство: Здесь через ху(сггр)/0(р) обозначен определитель Якоби преобразования сть Для доказательства теоремы достаточно показать, что и (сер) и (М (1) при всех б При Е = О равенство (1) очевидно. Покажем теперь, что — = О. гг (агр) пг О (р) (2) При г= О формула (2) проверяется непосредственно При г чь О, дифференцируя тождество О (0г ,р) Гт Я+,и) ~Ц(пгр) в 1р1 = в (а,р) В <~1 по з и полагая з = О, получим В(авп) Г т В(а,аты) 1 И(а,Р) ( 1 1 ° (,) 3,, Таким образом, равенство (2) справедливо при всех б Теорема доказана. Рассмотрим теперь эволюцию механической системы.

Нас интересует зависимость от времени средних значений наблюдаемых (1(го). Возможны два способа описания этой зависимости или две картины движения. Мы начнем с формулировки так называемой картины Гамильтона. В этой картине зависимость от времени наблюдаемых определяется уравнением (1.15)*, а состояния от времени не зависят лт =(Н. Ц, — „, =О. Среднее значеяие наблюдаемой 1 в состоянии ю зависит от времени по формуле (1г)го) = ~ Йт(И) Р(Н) с(р = ~ 1(бгр) Р(И) г(р илн подробнее ()г1го) = ~РЙ(Чо Ро 1), Р(Чо Рщ 1))р(Чо Ро)Мойре (4) ' При ссылке иа формулу из предыдущих параграфов помер соответ. ствующего параграфа вводится перед номером формулы, 16 Напомним, что д((го,Р,,1) и Р(чо, Ро,1) — решения уравнений Гамильтона с начальными условиями з)1э=в= до, Р~р-о=ро Для чистого состояния р (д, р) = 6 (з) — с)о> б (Р— ро), и из формулы (4) следует, что ()т 1 <~) = 1(Ч (Чз, Рм Г), Р (Чо, Ро, Г)) Это обычная формула классической механики для зависимости от времени наблюдаемой в чистом состоянии *.

Из формулы (4) ясно, что состояние в картине Гамильтона определяет вероятностное распределение начальных значений д и Р. Альтернативный способ описания движения получится, если в (3) сделать замену переменных Оз1ь -ь 1ь Тогда ~У(О~р)р(р)с( ~)(р>р(О Ф~ 7з(„1 )Ф 7з (й,р) = ~ 1(рь>рт(р>Ф= У !гвз> Здесь использовано равенство (1) и введено обозначение рг(1ь) = р(О з1з). Нетрудно понять, что рз(м) удовлетворяет уравнению лр, — '=-(О рт) дн (5) которое отличается от (1.15) знаком перед скобкой Пуассона, Вывод уравнения (5) буквально повторяет вывод уравнения (1.15), а разница в знаке возникает за счет того, что О,гь удовлетворяет уравнениям Гамильтона с обращенным временем.

Картина движения, в которой зависимость от времени состояний определяется уравнением (5), а наблюдаемые от времени не зависят, называется картиной Лиувилля: орт — =б. — '=-(Н, рз). дг ' и Уравнение (5) называется.уравнением Лиувилля. Из самого способа введения картины Лиувилля очевидно, что ()з !го> = (У! гвг>. Эта формула выражает эквивалентность двух картин движения. Средние значения наблюдаемых зависят от времени одинаково, а разница между картинами только в способе описания этой зависимости. Заметим, что в статистической физике обычно используется картина Лиувилля.

ь В курсах механики обычно рассматрнзаиэтся только чистые состояния. При этом ие делается различия между зависимостью от времени абстрактной наблюдаемой в картине Гамильтона и изменением ее среднего значения, 17 й 4. Физические основы квантовой механики Квантовая механика — это механика микромира. Явления, которые она изучает, в основном лежат за пределами нашего чувственного восприятия, поэтому не следует удивляться кажущейся парадоксальности законов, управляющих этими явлениями. Основные законы квантовой механики не удается сформулировать как логическое следствие результатов некоторой совокупности фундаментальных физических экспериментов, Иными словами, до сих пор неизвестна формулировка квантовой механики, основанная на системе проверенных на опыте аксиом. Более того, некоторые из основных положений квантовой механики принципиально не допускают опытной проверки, Наша уверенность в справедливости квантовой механики основана на том, что все физические результаты теории согласуются с экспериментом.