Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков, страница 2

Свойство 3) может быть проверено дифференцированием, однако его можно доказать следуюшим рассуждением. Каждое слагаемое двойной скобки Пуассона содержит множителем вторую производную от одной из функций по одной из переменных, т. е. левая часть 3) есть линейная однородная функция от вто- рых производных. С другой стороны, вторые производные от й могут входить только в сумму У, (п,л)) + (и, (л,))) =(Х1Хя— — ХяХ1)Ь, а коммутатор линейных дифференциальных операторов первого порядка является дифференциальным оператором первого порядка, поэтому вторые производные от й в левую часть 3) не войдут. В силу симметрии левая часть 3) вообще пе содержит вторых производных, т. е.

равна нулю. Скобка Пуассона У, д) вводит в алгебру наблюдаемых структуру вещественной алгебры Ли *. Итак, множество наблюдаемых обладает следующей алгебраической структурой. Множество л является: 1) вещественным линейным пространством; 2) коммутативной алгеброй с операцией (й; 3) алгеброй Ли с операцией У, и). Дае последние операции связаны соотношением В алгебре наблюдаемых 6 есть выделенный элемент — функция Гамильтона Н, роль которой — описание изменения наблюдаемых со временем — „, =(и, ц. л1 Покажем, что отображение (гн л'-м6 сохраняет все операции в л: 6=(+И йт=(+Ь, "=(й" +Ьг =(гйь 6=У.

3)- й~=Уг И т. е. является автоморфизмом алгебры наблюдаемых. Проверим для примера последнее утверждение. Для этого достаточно убедиться в том, что уравнение и начальное условие для лг есть следствие уравнений и начальных условий для функций (~ и дг = ИВ Ч йт)+ Уз(О йа)) =(О Уь йгт)) =()л "1) Здесь были использованы свойства 2) и 4) скобок Пуассона. Далее, йе!= =У, аг)1- =У Ю.

Теперь наше утверждение следует из единственности решения уравнения (13) с начальным условием (14). ' Напомним, ято линейное пространство с бинарной операцией, удовлетаоряюгцей условиям 11 — 31, называется алгеброй Ли. в 2. Состояния Понятие состояния системы можно связать непосредственно с условиями эксперимента. Всякий физический эксперимент сводится к измерению численного значения наблюдаемой для системы, поставленной в определенные условия, которые можно назвать условиями эксперимента.

Считается, что эти условия могут воспроизводиться многократно, однако мы не предполагаем заранее, что при повторном проведении эксперимента измерение даст то же самое значение наблюдаемой, На вопрос, с чем связана неопределенность в результатах эксперимента, возможны два ответа. 1) Числа условий, которые фиксируются при проведении экспериментов недостаточно для того„чтобы однозначно определить результаты измерения наблюдаемых.

Если неоднозначность возникает только по этой причине, то по крайней мере в принципе эти условия можно дополнить новыми, т. е. поставить эксперимент более «чисто» и тогда результаты всех измерений будут определены однозначно. 2) Свойства системы таковы, что при повторных экспериментах наблюдаемые могут принимать различные значения, независимо от числа и выбора условий эксперимента.

Разумеется, если имеет место 2), то недостаточность условий может лишь усугублять неоднозначность результатов экспериментов. Подробно 1) и 2) мы обсудим после того, как научимся описывать состояния в классической и квантовой механике. Мы будем считать, что условия эксперимента определяют состояние системы, если при многократном повторении опыта при этих условиях возникают вероятностные распределения для всех наблюдаемых. В этом случае мы будем говорить об измерении наблюдаемой 1 для системы, находящейся в состоянии ы.

Более точно: состояние ы на алгебре наблюдаемых 6 сопоставляет каждой наблюдаемой 1 вероятностное распределение ее возможных значений, т. е. меру на вещественной оси К. Пусть 1 — наблюдаемая, Š— борелевское множество на вещественной оси и. Тогда определение состояния ы может быть записано У Е ые (Е). Напомним свойства вероятностей меры О ( ы1 (Е) «( 1, ы1 (Я) = О, ы1 (Й) = 1, если Е~ () Ез — — О, то еЛ (Е~ () Ег) = еп (Е~) + е~(Ед).

Среди наблюдаемых могут встретиться функционально зависимые, поэтому необходимо наложить условие на вероятностные распределения таких наблюдаемых. Если наблюдаемая ~р есть функция от наблюдаемой 1, д = р(1), то это утверждение 10 подразумевает, что измерение численного значения наблюдае. мой (', котоРое пРиводит к значению 1о, одновРеменно ЯвлЯетсЯ измерением наблюдаемой гр и дает для нее численное значение ~рс = гр(1о). Поэтому аг(Е) и веол(Е) связаны соотношением в ш(Е) =а Ор '(Е)), (2) где гр-'(Е) — прообраз множества Е при отображении гр.

Выпуклая комбинация вероятностных мер вг (Е) = авп (Е) + (1 — а) азг (Е), О < а < 1 (3) удовлетворяет свойствам (1) для любой наблюдаемой 1 и соответствует состоянию, которое мы будем обозначать а = ааг + (1 — а) аа. (4) Таким образом, состояния образуют выпуклое множество. Иногда выпуклую комбинацию (4) состояний аг и вз называют смесью этих состояний. Если для некоторого состояния а из (4) следует, что вг = вв = в, будем говорить, что состояние в не раскладывается в выпуклую комбинацию других состояний.

Такие состояния называются чистыми, все остальные — смешанными. В качестве множества Е удобно выбирать интервал вещественной оси ( — оо,)ь]. По определению а~(й)=вг(( — оо,Ц) и является функцией распределения наблюдаемой 1 в состоянии а. Численно вг(1,) равна вероятности получить значение, не превосходящее ) при измерении наблюдаемой 1 в состоянии в.

Из (1) следует, что функция распределения а~().) — неубывающая функция Х, в~( — со) = О, вг(+ос) = 1. Математическое ожидание (сред~ее значение) наблюдаемой 1 в состоянии в определяется формулой* (1|а) = ~ Айо~(л). Ю Заметим, что знание математических ожиданий для всех наблюдаемых эквивалентно знанию вероятностных распределений. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть функцию от наблюдаемой О().— 1), где О(х) — функция Хевисайда: 1, х)О, О(х) = Нетрудно понять, что а1 (й,) = (О (А — 1) ~ в).

(б) ' Обозначение (1(а) для среднего значения наблюдаемой не следует путать с часто используемым в квантовой механике обозначением Дирака для скалярного произведення векторов (у)$). где др„(р, д) — дифференциал меры на фазовом пространстве, а интеграл берется по всему фазовому пространству. Из условия 1) следует, что ~ ОР (Р ч) = Р (М) = 1. (8) Мы видим, что состояние в классической механике описывается заданием вероятностного распределения иа фазовом пространстве. Формулу (7) можно переписать в виде У~е>= ~ 1(р О)Р.(р ФФ~Ь (й) т. е. мы приходим к обычному в статистической физике описанию состояния системы при помощи функции распределения Р„(р, д), которая в общем случае является обобщенной положительной функцией.

Условие нормировки функции распределения имеет вид ) Р(р й)4 й)=! (1О) В частности, легко видеть, что чистому состоянию соответствует функция распределения Р(Ч Р) =б(Ч вЂ” йз) б(Р— Ро) (! 1) где б(х)' — б-функция Дирака. Соответствующая мера на фазовом пространстве сосредоточена в точке де ре и чистое состояние определяется заданием этой точки фазового пространства. По этой причине фазовое пространство М иногда называют пространством состояний, Среднее значение наблюдаемой ! В ЧИСТОМ СОСТОЯНИИ Е (12) (йе>=)(Ч, Ро) Потребуем выполнения следующих, естественных с физиче.

ской точки зрения условий для средних значений наблюдаемых: 1) (С1е> = С, 2) (~ + Лд ) е> = (~ ( е> + Л(д ~ е>, (6) 3) ()т1е1> ~ О. Если такие требования введены, то реализация алгебры наблюдаемых уже сама определяет способ описания состояний. Действительно, среднее значение есть линейный положительный функционал, определенный на алгебре наблюдаемых Е. Общая форма такого функционала: <йе>= ~1(р Мг(Р (Р Ч), (7) Эта формула непосредственно следует нз определения 6-функции У(Чо Ро) = $ )(~У Р) б(Ч Чз)б(Р— Ро)сй)Ф. (13) Обычно в курсах механики ограничиваются изучением чистых состояний, а смешанные состояния с функцией распределения отличной от (11) рассматриваются в статистической физике. Введение с самого начала в теорию смешанных состояний оправдывается следующими обстоятельствами.

Формулировка классической механики на языке состояний и наблюдаемых наиболее близка к формулировке квантовой механики и позволяет единообразно описывать состояния механики и статистической физики. Такая формулировка позволит нам в дальнейшем детально проследить за предельным переходом от квантовой механики к классической. Мы увидим, что в квантовой механике тоже существуют чистые и смешанные состояния, причем при предельном переходе чистое квантовое состояние может превращаться в смешанное классическое, поэтому предельный переход проще всего описывается при единообразном рассмотрении чистых и смешанных состояний. Выясним теперь физический смысл смешанных и чистых состояний классической механики и найдем причину, по которой результаты опытов необязательно определяются однозначно условиями эксперимента.