popovEP2 (Попов Е.П. - Теория линейных систем автоматического регулирования и управления), страница 10

Поэтому для отыскания этого решения подставим в него Х = )ге. Получим Я!ю)+ В(угэ) (д(а)+ )д'(аД = О. Поскольку в искомом решении (4.37) а = сопзФ и ю = сопзФ, то гармонически линеаривованное уравнение замкнутой системы (4.38) можно рассматривать как обыкновенное линейное уравнение с постоннными коэффициентами. Специфика его состоит лишь в том, что имеются неизвестные постоянные коэффициенты, зависящие от искомого решения, что и позволит нам получить решение со специфическими свойствами, присущими нелинейной системе.

Запишем характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы: Выделим в атом вырви~енин вещественную. и мнимуго части в виде Х(а, а)+!У(а, а) = О. В результате получим два алгебраических уравнения Х(а, а) = О, У(а, а) = О, (4.40) нз которых и определяются искомые амплитуда а и частота а периодического решения (4.37). Заметим, что решение задачи упрощается в случае однозначной нелинейности !г(х): вместо (4.39) здесь имеем ~,)(Х) + й(х) д(а) = О. При подстановке 1 =!а выделим вещественные и мнимые части многочленов ~',! в Гг в виде Д()а) = Х„(а)+ )Уе(а), й(!а) = Хв(а)+ (Ув(а) Тогда вместо (4.40) получим Хе(а)+ Хв(а) д(а) =О, Уа(а)+ Ув(а)й(а) =О.

Эти два уравнения можно преобразовать к виду Уо( ! д(а) = — —, Хв(а! * (4.40а) Хс (а) Уп (а) — Уо (а) Хя (а) = — О. Сначала ив второго уравнения определяется частота а периодического решениа, а аатем иа первого уравненея определяется амплитуда а. Видно, что частота зависят от параметров линейной части и вв зависит от формы однозначной нелинейности. В случае же петлевой нелинейности зто свойство нарушаетси и будет иметь место общий случай уравнений (4.40). Определив таким образом периодическое решение, надо исследовать его устойчивость.

Если оно устойчиво, то вто оапачает автоколебатольный процесс. Неустойчивое периодическое реп1сние имеет другой физический смысл (см. в $ 1.4 о неустойчивом предельном цикле). Классический подход к исслелованию устойчивости периодического решеовя сосюит а следующем. 1'ассмот- рим отклонение Лх от исследуемого пориодического ре- шения: х= ха+ Лх, хэ-аашгэг. С учетом этого уравнение динамики системы (4.36) примет вид 9(р) (хэ + Лх)+ В(р)г" (ха + Лх) = О, или 0 (Р) (х~ + Лх) + и (Р) (г (х )'+ ( ~„/ Лх + ° ИИ' Но согласно (4.36)' Яр)хэ + Я(р)г'(х*) = О, поэтому, отбросив слагаемые с производными высшего порядка, получаем уравнение в малых отклонениях 0(р)Лх+ Л(р)(„— ) Лх = О устойчивость которого надо исследовать. Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами.

В самом деле, если, например, Е(х) = Йх', то коэффициент Однако исследовать точными методами устойчивость уравнения высокого порядка с периодическими коэффициентами весьма сложно. Поэтому обратимся к приближенному способу. Дадим малые пачальные отклонения Ла амплитуды и Лв частоты от их значепий а и ы в периодическом решении. Тогда х=(а+Ла)е-"в(п(ы+Ла)й (4.41) Этим выражением описывается колебательный переходный процесс вблизи периодического (4.37).

Для устойчивости найденного периодического процесса необходимо, очевидно, чтобы в выражении (4.41) величины Ли и с имели одинаковые знаки. В этом случае при положительном Ла амплитуда уменьшается, а при отрицательном Ла — увеличивается, стремясь к значению а, Чтобы на этом основании вывести критерий устойчивости, нспольауем символическую аапись выражений (4.37) и (4.41); соответственно имеем х= ее' ', х=(а+Ьа)ед + +'й". Первое решение определялось уравнением Х(а, го)+(г(а, ю) = О. По аналогии с этим для нахождения второго решения запишем уравнение Х(а+ Ла, ю + Лю -Нй) + 1'У(а + Ла, ге + Ьы + у$) = О.

Разложив это выражение в ряд Тейлора и использовав предыдущее выражение, получим ~з ~) Ла+ ~~— ) (Ью+1ь) + 7~~ ) Ла+ , /ау)' + 1 ~д / (Ьо + )с) О где звездочка оаначает подставку значений а и ю, соответствующих исследуемому периодическому решению, Если в атом аыран~енни выделить вещественную и мнимую части, а иа полученных а результате двух уравнений исключить величину Лю, то найдем Для устойчивости периодического решения, как уже говорилось, требуется одинаковость знаков $ и Ьа. Следовательно, требуется, чтооы (4.42) В дополнение к этому нужно потребовать, чтобы в характеристическом ураансппи гармонически линеаризованной системы (4.39) все остальные корни (кроме использованной нами пары чисто мнимых) имели отрицатель- ные вещественные части, т. е.

чтобы многочлен (4.43) удовлетворял критерию Гурвипа (илп Михайлова). В случае систем третьего и четвертого порядка для этого достаточно потребовать лишь положительности коэффнциеитов уравнения (4.39). и г Гсогропвр,апппахнв Е ппппажм а) Рас. 4.13. Итак, критерием устойчивости периодического решения является неравенство (4.42) с добавлением (4.43), если исследуется система выше четвертого порядка. Приведем примеры определения автоколебаний изложенным методом.

П ример 1. Следящая система (рис. 413) описывается уравнениями е = сс — (), и г" (е), (Т~р+ 1)1=)с,и, (Т,р+1)р(1 й,1, где г"(е) — нелинейнан характеристика усилителя с насыщением. Уравнение линейной части при а О будет (Т~р+ 1)(Ттр+ 1)рв -й и, Й„=й,йа.

Гармоническая линеаризация нелинейности, согласно (4.28), дает й при а~Ь, Д= 2ь(, Ь Б Г 6~1 — ~асса(п — — — ~г 1 — — ( при а)Ь. а а р' а( Гармонически линеарнзованное уравнение замкнутой сп:темы имеет вид ((Т,р+1) (Тгр+1) р+й„д(а)) е = О, (4.44) г характеристическое уравнение — , ТьТаР+(Ть'+ Та)Р,+1+ й„д(а)'= О. т+ Я;4 Р с. 4.14 После подстановки а=(а получаем два уравнения Х (а, ге) = О, Л„с (а) — (Тг+ Та) ша = О, У (о~ ы) = Оа ге Тгрргв = О (4.48) Здесь подтверждается свойство (4.40а). Иа второго ураваения определяем частоту периодического решения г У г а 'т т (4.46) а из первого при етом получаем (т + т)' Используя готовый график д(а) (рис.

4.8, о), находим гмплнтуду периодического решения а, как показано на рис. 4Л4, Для определения устойчивости решения, согласно критерию (4.42), дадо найти производные выражений (4.45): ~',,')=й„~Д <О, Я = — 2(Т,+Т.)ы <О; ~ж)', Ы)'= — =О, ) — ) =(1 — ЗТ,Т,ю"-)*= — 2(О.

Критерий (4.42) удовлетворяется. Следовательно, имеют место автоколебапия. Рос. 4.15. Если учесть, что д(а)-- =й (рис. 4.14), из уравнения '(4.47) вытекают условия существования автоколебаний ~) й или (4.48) 11 = й,й — общий коаффициент усплешгя рааомкнутой цепи данной системы в линейном плане. Легко видеть, что (4.48) представляет. собой условие неустойчивости этой системы как линейной согласно критерию Гурвица.

Граница устойчивости 4 $ К = — +— 'т т, та явлнется в то же время границей области автоколебаний. Эта граница нанесена на плоскости параметров (К, Т~) (рис. 4.15). Левее этой граннцы имеет место область устойчивости равновесно- Д го состоянии системы, а 6 правее — область автоко- 17 лебаний, где изображены, согласно (4.46) и (4.47), линии равных аначений Ъ а и гз. ! 1 Зависимость амплиту- 1 ды автоколебаний от ко- Ю Я;. эф4ициента К пзображе- Ги на на рис. 4.16. Если веРнс.

4ЛЕ. личину а трактовать ши- ре — как амплитуду колебаний в переходном процессе, то стрелками (рнс. 4.16) можно покааать направление изменения амплитуды в разных областях значений К. В линейной системе (без насыщения) при К с. К,э было бы аатуьание,анри К) :> К„, — неограш~ченно расходящиеся колебания. В нелинейной системе (с насыщением) колебания при К ) « К„, расходятсн не до бесконечности, а до определенной амплитуды.

При больших же начальных отклонениях они даже затухают (рнс. 4.16),таккакимеется устойчивый автоколебательный режим. Пример 2, Пусть теперь в той же следящей системе (рнс. 4.13, а) усилитель имеет релейную характеристику (рпс. 4,17, а). Уравнение аамкнутой системы имеет вид (4.44), где, в отличие ог прежнего случая, 4с / ЬЯ д = — ~,~ 1 — — а)Ъ. †.~/ азг Решения (4.46) и (4.47) сохраняют свой вид. Меняется только тра)ик д(а). Подобно рис. 4.6, з он покааан здесь на рнс. 417, б. Уравнение (4.47) имеет два решения а~ н аз (рпс. 4.17, б), причем в точках а~ и аз имеем соответственно ИдЯа)0 и дд/оа(0. С учетом этого знаки проиаводных в критерии устойчивости периодического решения (4.42) оказываются такими, что в точке а~ критерий не выполняется (решение неустойчиво), а в точке аэ — выполняется. В соответствии с этим решением (рис.