popovEP2 (Попов Е.П. - Теория линейных систем автоматического регулирования и управления), страница 12

е. Р (х) = Ро (ха а) + ~~ (и хо) .+ ч ' р~ х*„(4.63) где ха — постоянная составляющая (4 16), и и д' — коэффициенты гармонической линеаривацли (4.17). Их вычпсление показано в примерах 6 — 10 $ 4.2. Подставим искомое решение (4.61) и реаультат гармонической ливеарнзации нелинейности (4.63) в заданное уравнение системы (4.60): О(р)(ха ( х*)+я(л)~ра ( (д+ ч р)хе~ Выделим отсюда уравнение для постоянных составляюизих: ч 0 хе+ Н(0 .Р(хз а) = С~ (4.64) () ) и уравнение для периодических составляющих: ~~)(р) + т) (р) [д(а, зз) + ' * р1)х* = О.

(4.65) Видно, что постоянная составляющая (хз) и колебательная (а, сз) определяются пе в отдельности, а только путем совместного решения атих уравнений. Сначала из алгебраического уравнения (4.64) можно определить зависимость хз — хз(а) (4.66) Затем подставить вту вависнмость в выражения д(а, х") и д'(а, хз), имеющиеся для заданной нелинейности. 'Хогда получатся новые выражения и графики для д(а) и д'(а), включающие зависимость (4.66). В результате уравнение (4.65) приводится к виду (4.38). Методика решения задачи по определениюа и ы остается прежней (з 4.3 или з 4.4), но с новыми выражениями и графи- камо длн д(а) и д'(а).

Заметим, что определение функции (4.66) упрощается в двух случаях, а именно: а) при несимметричной нелинейности и беа внешнего воздействия вместо (4.64) имеем ~(0)хе+В(0)рз(хз а) = О; б) при наличии нулевого полюса в передаточной функции линейной части, когда ~)(р) = р~)1(р), вместо (4.64) в общем случае получим й(0)рч(хз, а) = С„ а беа внешнего воздействия, при несимметричной нелинейности Ре(ае, а) = О. Например, при несимметричной нелинейности вида рис.

4.12, а в системе со свойством е(р) = р01(р), согласно примеру 10 1 4.2, получим Этим определяется зависимость между величиной смещения хс и амплитудой а, после чего используется уравнение (4.65). Определение иа уравнснвя (4.65) периодической составляющей х*, т. е. величин а и ы, упрощается в случае однозначной нечетно-симметричной нелипейности Р(х). В атом случае, согласно (4.65), характеристическое уравнение получает вид 0(Л) +В(Л)Ио, х') = О, (4.67) а после подстановки Л= )а аналогично (4.40а) придем к уравнениям Хо (м) д (о хе)— Хч(ы) У„(в) — Уч(ы)Х,(в) = О. Сравнив зтя уравнения с (4.40а), получаем о(а, хс) = д,.(а,), (4.68) где о,(а,) относится к симметричным автоколебаниям в той же системе, определяемым согласно т 4.3.

Сделав подстановку (4.66), будем иметь уравнение д(а) = о,.(а„.), (4.69) где д(а) — новое выражение илн графин, учитывающий аависммость (4.66) . Рис. 4.36 Таким образом, при однозначной нелинейности частота ы несимметричных автоколебанпй остается такой я~е, как и при симметричных, независимо от величины смещения хе. Амплитуда же несимметричных колебаний а, определяемая уравнением (4.68), зависит от смешения хо и выраокается через амплитуду симметричных автоколебаний и,.

Здесь не требуется решать уравление (4.65). Пример. Б слелонпей системе (рис. 4.31, а) ааданы Р(х) в виде рис. 4.31, б и передаточные функции а 2 рр (е) = —.' И'о(е) =- —.'— Т +Р (тот+ 1) Гармоническая лилсарпзапия нелинейности (см. 2 4.2) при симметричных колебаниях дает р(х) = Чс(лс)х~ дс = (4.70) а при несимметричлых— р(х) = ро(хо, а) + о(а, хо) х*, где, согласно (4.33), о 2с „т еа . ° / Гас|о Го = — агсз1п —, д = — 'и 1 — ~ — ~ . я " а' яа Ла/' (4.71) Уравнение замкнутой системы относительно переменной х (рис.

4.31) имеет вид (Т1 р+ 1) (Тор + 1) рх + ЛФор(х) =- 7с, (Т р + 1) р4 (г) (4.72) При симметричных автоколебаниях (я = 0) имеем характеристическое уравнение Т,роЛ'+ (Т, + То) Ло + Л + )о„асс — = О. Подставив Л = ув, получим Х =-)с,(со — — (Т, + То)сао = О, л с У=ос — Т,Таз=О, откуда 4сЛ Ь т,т (4.73) Рассмотрим нееиоьиетритные автоколебання при задающем воадействни я =- я й В соответствии с (4.64), (4.71) и (4.72) получаем уравнение для постоянных составляющих 2с . хо 1сг(со — агсзш — = 1г йс, откуда находим о '% х =азш 2сь (4.74) Подстановка (4.74) в выражение для д (4.71) дает 4с ЯЯ! д =- — соз —. на 2сзо ' Теперь для определения амплитуды а несимметричных автоколебаний используем уравнение (4.60), а именно 4с ЯЗ~ 4с — соз — =- —,.

на 2аез ясс откуда яа( а = а,соз —,. 2сз с (4.75) где ас определяется соотношением (4.73). Тогда, согласно (4.74), постоянная составляющая (смещение) определяется в виде с,, яр (4.76) (Т,Р+ 1) (ТгР+ 1)Рх+ 1с~(сзр(х) = 1сяуь я(х) ло(хо а) + (а о) э причем Частота же ю несимметричных автоколебаний будет прежней — (4.73) . Результаты (4.75) и (4.76) представлены графически на ряс.

4.32. В качестве второго примера исследуем ту же систему (рис. 4.31, а), но с несимметричной нелинейпостью Г(х) вида рис. 4.33, а при задающем воздействии р = дА Уравнение системы (4.72): Характеристическое уравнение для периодических со- ставляющих в соответствии с (4.65) еапипгется в виде Т~ТаУ+ (Т1 + Та) Р+ ). + И,7гтц (а, х ) = О. После подстановки 7, = уа получаем Х = И Атд (а, хо) — (Т~ + Те) ые = О, У = Π— Тчтъиь О, откуда 1 О Т1+те =к т(охх) ла ~ГТ Т,,Т,т, Последнее уравнение с подстановкой (4.78)' и '(4.79) приобретает вид Ь(Л„+Л с) 7 е ~а 2Ь(Т +ТД Отсюда определяется величина смещения же, после чего вычисляется амплитуда а по формуле (4.79). Реаультаты представлены на рис.

4.33, б. ГЛАВА 5 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ з 5.1. Устойчивость. Функция Ляпунова В учебном пособии по линейной теории автоматического управления и регулирования (23] уже давачось общее понятие устойчивости динамической системы по Ляпунову. Напомним вкратце ход наших рассуждений. Запишем уравнения динамики системы и-го порядка при отсутствии возмущающих воздействий в общем нелинейном виде в нормальной форме Коши: ,ц =рс(ум Ую ° ° ° 1ую) 1=1, 2,..., и.

(5.1) Устойчивость рассматривается как свойство свободного движения системы после начального отклонения ее, вызванного любымипричиназпь Пусть у; (1) обозначает не-. который усгановивишйся процесс работы системы, илп, как говорят, невовмущенное движение. Отклонение возмущенного движения у;(г), определяемого уравнениями (51) при определенных начальных условиях у;(1с), обозначим через х П), т. е. ха (1) = Уз (1) — Уа (1), Х =* 1, 2,..., и.

(5.2) Тогда можно написать уравнения возмущенного движения в отклонениях в виде — ' = Ф;(х„т„..., х„), 1= 1, 2,..., и; (5.3) при этом певозмущенным движением будет х = О. Переменные хь (1= 1, 2, ..., п) являются координатами состояния системы. В общем случае конкретный вид уравнений (5.3) зависит от вида установившегося процесса у; (г), так как зти уравнения получаются иа (5.1) подстановкой (5.2). Поэтому, исследуя эти уравнения необходимо, вообще эоворя, оговаривать, об устойчивости какого установившегося режима или певоэмущенного движения р; (~) идет речь.

Геометрически невоэмущенное (установившееся) движение у; (Ц системы п-го порядка можно представить Рис. 5Л. условно в виде некоторой интегральной кривой в н-мерном пространстве с .добавленной осью времени г (рис. 5Л). Воэмущенное движение р,(Ц, вызванное начальным отклонением при 1 = еь иэобраэнтся другой интегральной кривой (рис. 5Л). В отклонениях э,(~), т. е. в пространстве координат :остояння системы, эта картина воамущенного движения будет выглядеть, как показано на рнс.

5.2. При этом не- возмущенное движение х; = О изобразится прямой линией, совпадающей с осью й Невозмущенное движение системы х1 = О называется устойчивым, если, задав «трубку» сколь угодно малого и-мерного сечения е (ряс, 5.2), можно подобрать в начальный момент Ь такую область начальных условий 6, зависящую от е, что с увеличением 8 возмущенное движение х,(Г) не выйдет из заданной трубки е.

Аналитическое определение понятия устойчивости по Ляпунову формулируется следующим образом. Невозмуи»енное движение системы х« = О называется устойчивым„если при заданном е ) О сколь бы оно мало ни было, существует такое 6 ) О, зависли«ее от е, что при начальных условиях ~хю(~о) ! (б, «= 1, 2, ..., и, (5.4) в дальнейшем движении (1« ~ «к со) выполняется ус- ловие ~х~(~) ~ ( з, 1= 1, 2, ..., п.