popovEP2 (Попов Е.П. - Теория линейных систем автоматического регулирования и управления), страница 11

4.17, б) на рис. 4.18 изображена зависимость амплитуды автоколебаний (ат) и амплитуды неустойчивого периодического решения (а~) в зависимости от ко- Рнс. 4.17. эффициента усиления линейной части системы й,. Стрелками обоаначены направления изменения амплитуды колебанийв переходных процессах. Величина й„ (рис. 4.18) соответствует точке максимума на рис. 4.17, б, т. е, При й, ~ й,, равновесное состояние устойчиво при любых начальных условиях. Если А„ ) й„, то равновесное состояние устойчиво лишь при малыхначальных отклонениях (ниже линии а~), а при больших начальных отклонениях (вьппе линии а~) устанавливаются автоколебання с амплитудой аэ. Здесь имеет место пример присущей нелинейным системам существенной зависимости характера поведения системы от порядка величин начальных условий.

Линни а, и аэ (рис. 4.18) разделяют области притяжения различных установившихся режимов по начальным ус- ловиям Нэ рис. 4Л9 показан результат ре1пения тай же задачи при идеальном реле, а на рис. 4.20 — прв петлевой характерпстпке реле. Последний случай отличается тем, а Рас. 4.И Рпс. 4Л8. (4„49) Исключпв й, иэ этих уравнений, с подстановкой выражения д'(а) получим (Т,+т,)м 1 — Т Т м~ 1 э откуда определяется а(а) при заданных Т, и Тэ.

После этого иа второго уравнения (4.49) имеем 4сЪ что характеристическое уравнение вместо прежнего по- лучает вид Т,Т,).э + (Т, -)- Тэ) Х'+ Х + й, ~д (а) + Ч ') Х~ =- О, где, согласно (4.23), 4с Г Ьа, 4сЬ После подстановки Х = 1а получаем Х = й„р (а) — (Т, + Т,) оР = О, У = й„д'(а) + в — Т,Т,аеа = О. Это поаволяет с учетом полученной выше а (а) построить зависимости а(й,) и ю(й,), изображенные на рвс. 4.20. Это решение характеризуется наличием завясимости в(я„) (рис. 4.20, б) в отличие от всех предыдущих примеров, где частота ге (4.46) не зависела от К н я,. Заметим, что в отличие от случаев, показанных на рпс. 4.19 и 4.20, с мягкии возбужденнем автоколебанпй "л ф Ряс.

4.20. при любых параметрах системы, на рис. 4.18 для релейной системы с зоной нечувствительности имеем область устойчивости равновесного состояния (О ~ й < й„,) я жесткое возбуждение автоколебанвй при й ) й,р (требующее заброса начального состояния системы за линию аь т. е. ас ) а~). й 4.4. Частотный способ определения симметричных автоколебаний Базируясь на свойстве фильтра линейной части си".темы (т 4.1), ищем периодическое решение нелинейной системы (рис. 4.21) на входе нелинейного элемента приближенно в виде х =аз1па$ (4.50) с неизвестными а и го.

Задана форма нелинейности у = Г(з) и передаточная функция линейной части 'гг', (г) = —. В (г) ОИ' Проиаводится гармоническая линеаризация нелинейности Е (х) = ~д(а) + — р~ ха д' (а) что приводит к передаточной функции И'н(а, а) = д(а)+ — а. д' (а) угмплитудво-фазовая частотная характеристика рааомкнутой цепи системы получает вид И'(у ) = Иуа(ую)И'а( ) = ~ ~~ )((у(а)+ ур'(а)1. Периодичесвое решение лпнеаризованвой системы (4.50) получается прв наличии в характеристическом уравнении замкнутой системы вары чисто мнимых корней. А это по критерию Найквиста соответствует прохождепию .еееейеае И'(уа) через точку — 1.

Следовательно, периодическое решение (4.50) определяется равенством Иелонейеее И'„(ую) И',(и) = — 1, мже или И', (ую) = — —, (4.51) 1 ууа (а)' Рис. 4.21 где И'„(а) = д(а)' + уд'(а). (4.52)' Уравнение (4.51) определяет искомые амплитуду а в частоту в периодического решения. Это уравнение решается графически следующим образом. На комплексной плоскости ((У, И) вычерчивается ' амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части ИУ,(Уга) (рвс. 4.22), а также обратная амплитудно-фааозая характеристика неливейпости с обратным знаком — 1/ИУ„(а) . Точка УУ их пересечения (рас.

4.22) в определяет величивы а и ю, причем значение а отсчитывается по кривая — 1уИ"„(а), а значевие ге — по кривой И'„(ую), Вместо этого моксно польвоваться двумя скалярными уравнениями, вытекающими нз (4.51) н (4,52): с ~ И'о (усе) ) =- у'а' 1.) + (ч 1.)1" агя И'„(усе) = — 180' — агс1л ~ ' ', (4.54) асс) ' которые также определяют две искомые велпчппы а и оь Последними двумя уравнеппямп удобное пользоваться в логарифмпческом масштабе, привлекая лога рпфмпческие частотные характерастпкп лпнейпои частя.

Тогда вместо (4.53) и (4.54) будем иметь следующие два урав- 1а (сов пения: су 1 пс (со) = = — 2016 ф' да(а) + (д' (а))с (4,55) У яМа срл (со) = — 180 — агссп— о 00 чрп' Рпс. 422 (4.56) На рис. 4.23 слева иаображены графнкилевых частей уравнений (4.55) и (4.56), а справа — правых час1ей этих уравнений. Прп асом по осп абсцисс слева часс,- та со откладывается, как обычно, в логарифмнческ мс масштабе, а справа — амплитуда а в натуральном масштабе. Решением втвх уравнений будут такие значения а и ы, чтобы прв них одновременно соблюдались оба равенства: (4.55) и (4.56). Такое решение показано иа рас. 4.23 тонкими линиями в виде прямоугольввка.

Очевидно, что сразу угадать зто решенве не удасгса. Поэтому делаются попытки, показанные штрнховыми линиями, Последние точки зтнх пробных прямоугольников М в Мс не попадают на фазовую характеристику нелинейности. Но если они расположены по обе стороны характеристики, как на рис. 4.23, то решение находнтся интерполяцией — путем проведения прямой ММс. Нахождение периодического решения упрощается в случае однозначной нелинейности г'(х). Тогда д' = 0 и уравнения (4.55) и (4.56) прин~гиагот еид 1лп,(го) = — 20)н д(а), гр (в) = — 180'.

(4.57) Решение понааано на рис. 4.24. Раа. 4.23. Рас. 4.24. После определения периодического решения надо исследовать его устойтивость, Как уже говорилось, перио- тическое решение имеет место в случае, когда амплитудно-фавовая характеристика разомкнутой цепи И'Цв, а) = И'„Цв) И',(а) ~ И'„(у в) И'„(а + + гъа)! ( 1 при Ьа ) О, или 1 1)у.0~)! <~ „,„„„, 1. Рнс. 4. 25 Отсюда следует, что на рнс. 4,22 положительный отсчет аьшлнтуды а вдоль кривой — 1/И'„(а) доюкен быль направлен изнутри вовне через кривую И'„()в), как тви и показано стрелкой, Б противном случае перподическое решение неустойчиво. Рассмотрим примеры. Пусть в следящей системе (рпс.

4 13, а) усилитель имеет релейную характеристику (рис. 4.17, а). На рис. 4.17, б для нее покаван график коэффициента гармонической лннеаризации д(а), причем и'(а) =О. Для определения периодического решения частотным способом, согласно рпс. 4.22, надо исследовать выранзенне проходит через точку — 1. Далям амплитуде отклонение ба. Система будет возвращаться к периодическому решению, если прп Ьа > О колебания затухают, а прн йо с. Π— расходятся. Следовательно, прп Ьа ) О характеристика И'()в,а) должяа деформироваться и (рис. 4.25) так, чтобы нри Ьа ) О критерий устойчивости Нвйквпста соблюдался, а при Ьа ( Π— нарушался. Дл« Итак требуется, что- бы на данной частоте в было Из формулы (4.24) получаем для данной нелинейности 1 ла н(а) 4с)' а — 6 График этой функции иэображен на рис.

4.26. Передаточная функция линейной части, согласно примеру 1 т 4.3, имеет эид ь„ с(т;+ 1)(тнн+ 1) ' Амплитудно-фазовая характеристика для нее приведена на рис. 4.27. Функция же — 1ГИ',(а), являясь в данном слу- чае вещественной (рис. 4.26), г укладывается вся на отрица- ЬГнГЯЬ тельной части вещественной оси (рис.

4.27). При этом на а" д участке изменении амплитуды 1 1 Ь(а Ь$' 2 амплитуда отсчитывается слева извне внутрь йс кривой И',()са), а на участке а > Ь)' 2 — в обратную сторону. Следовательно, первая точка пересечения (а~) дает неустойчивое периодическое решение, Ряс. 4.М. а вторая (ан) — устойчивое (ав- токолебания).

Это согласуется с прежним решением (пример 2 5 4.3). Рассмотрим также случай леглевоб характеристики реле (ряс. 4.28, а) в той же следящей системе (рнс. 4.13, а). Амплитудно-фааовая частотная характеристика линейной части та же (рис. 4.28, б). Выражение же для кривой — т/И' (а), согласно (4.52) и (4.23), принимает вид 4с 1— 1 к „, с „.лЬ И'н (а) 4с Г 4 )то — прямая, параллельная оси абсцисс (рнс.

4.28, б), отсчетом амплитуды а справа налево. Пересечение тает устойчивое периодическое решение (автоколебаяил). Чтобы получить графики вависимости амплитуды и час- Ряс. 4.27. готы от к„, представленные ва рвс. 4.20, нужно на рис. 4.28 построить серою крввьгх )Р„()св) для каждов величавы й„и найти в вх точках перссечояия с прямой — т/)р„(а) соответствующие аначсияя а и ц, й 4.5. Несимметричные автоколебания, Постоянные ошибки Обратимся к нелинейной системе с внешним воздействием Д~) (рнс. 4.29).

Тогда уравнение динамики замкнутой системы будет иметь внд ~(р) в+ й(р)Р(х) = Я(р)~(1), (4.58) где операторный многочлен о(р) зависит от места прнлоягения внешнего воздействия. Полон<им правую часть уравнения (4.58) постоянной: 5(р)У) = Се (4.59) Это может быть в двух случаях: а) Щ = сопзг = тс, Ср =. = Я(Оф, б) ((й) = Уо -3- сЮ прк 8(р) = =рБ,(р), С,=сБ,(0), т.

е. Рис. 4.29. соответственно для систем беа астатизма и с астатизмом. Итак, рассмотрим уравнение системы в виде ч'(р) + Л(р) г (л) = Сь (4.60) В атом случае аа счет постоянной правой части уравнснпя появится постоянная составляющая в периодическом решении (несимметричные автоколебания). Поатому решение ищется в виде х = во+ х", иа = а вш юй (4.61) Величина хс характеризует постоянную статическую или скоростную ошибну системы. Однако несимметричные колебания могут иметь место н прн отсутствии внешнего воздействии, т.

е. в системе Яр) л+ В(р) г'(х) = О, (4.62) если г'(х) — несимметричная нелинейность. Это проиллюстрировано на рис. 4,30, где постоянная составляющая г' на выходе нелинойностн возникает даже при симметричном входе л = пещам. Затем постоянная составляю- щая, воооще говоря, пройдет и на вход х через линейную часть системы и приведет к решению вида (4.61). Следовательно, статическая ошибка в нелинейной системе может иметь место и беа внешнего воздействия — ва счет несимметрии нелинейности. аа1п(г Рис. 4„30. Гармоническая лпнеарнзацпя в случае несимметричных колебаний имеет впд (4.15), г.