popovEP2 (Попов Е.П. - Теория линейных систем автоматического регулирования и управления), страница 13

(5.5) Заметим, что в этом аналитическом определении области з и б, в отличие от рис. 5.2, выглядят «прямоугольными» (в и-мерном пространстве), что не имеет принципиального значения. Невозмущенное движение х« = О будет неустойчивылб если указанное условие не выполняется хотя бы дляодного из хь Если условия указанного выше определения выполнены н имеем х,(г) -«-О прн ~-«-оо, то невозмущенное двп* я«ение х« = О называется аеимптотически устойчивым. Если же х,(~) — «О прн ~-«оо после любых начальных отклонений, то система называется устойчивой в целом.

Существует еще понятие абсолютной устойчивости, означающее асимптотическую устойчивость системы з целом прп любом характере нелинейности внутри определенного класса неликейностей. Б общем случае в нелинейных системах, в отличие от линейных, устойчивость состояния равновесия не означает, что будут устойчивы и все процессы в системе, так как свойства нелинейной системы меняются с изменением величин отклонений координат состояния. На- глядным примером может слунгить наличие в системе второго порядка неустогйчивого предельного цикла (э 1.4). В этом случае прп устойчивом состоянии равновесия система оказывается неустойчивой при больших начальных отклонениях (выходящнх эа границу предельного цикла), т. е.

система устойчива «в малом» и неустойчива «в большом». При определенна понятия устойчивости рассматриваэпсь интегральные кривые (рис. 5Л и 5.2). Если же пред:тавить себе не интегэальную кривую, афа- хч-'1 х» ювую траекторию в п«ерпом пространстве гля системы уравнений (5.3), то в устойчивой гистеме, согласно опре- Ф® телению, она будет гу« зметь вид, изображен- д эый на рис. 5.3.

х« В последующих пагаграфах нам придется «меть делос непрерывэыми функциями каор-;т, гниат состояния системы г' (хп х», "° -~ х*) Ряс. 5.3. гбладающи»ггг свойстюм г'= О при х~ — — хг =...— — х„= О. Такая функ- П«я Е называется энапоопредеаеяной фрнлцией, если во гсей рассматриваемой области, содержащей начало когрдпнат, оиа сохраняет один и тот же знак и обрагцает:я в нуль только в начале координат. Например, при г= 3 $' = а«х', + Ь'х, + с х». Знакоопределенная функция может быть положигель«о определенной нлп отрицательно определенной. Если ке функция Е сохраняет один и тот же знак, но обрацается в нуль ие только в начале координат, то такая (гункция называется знлпопоеголипой (положительной гли отрнцатглыгой).

Напрш«ор, прп и = 3 функпня г' = (х, + т,)'+ сх,, обращается в нуль на прямой хг — — — хг и хз = О. Наконец, функция У называется знакопереленисй, если она в рассматриваемой области не сохраннет одного и того же знака. Например„ И = х~ + ха + хз.

Согласно известному критерию Сильвестра любая квадратичная форма п координат будет знакоопределенной (положительной) тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры матрицы ее козффнцнентов будут положительными. Например, квадратичная форма И = бхай + 2х~з + 5хз + бх,хз — 4х,хз — 4х,хз будет положительно определенной, так ко для матрицы ее коэффициентов А — "- 3 2 — 2 имеем и, наконец, 5 3 — 2( Л =-~ 3 2 — 2~=1>0. ~ — 2 — 2 5 Описанные функции р от координат состояния системы, обрашающнеся в нуль, в начале координат, играют важную роль в теоремах Ляпунова об устойчивости и неустойчивости нелинейных систем и называются фунхиияльи Ляпунова.

Пусть имеется нелинепная система, описываемая уравнениями динамики Йж~ —,.=-Ф~(х„хз,..., х„), 1= — 1, 2,..., и. (5.6) Составим производную функции Ляпунова по времени: ди ди дх~ ди дхз ди дхп дю дх Ге д.з ж ''' дз„ж' Используя (5.6), в силу уравнений системы, можно записать — = — бтг+ — 'Рз т . т- — Ф~ (5.7) ди дР дт' дà — д з' ° ° д и. Очевидно, что в результате получается тоже некоторая функция координат состояния системы (5.8) Известно далее, что градиент функции г' есть вектор, определяемый проекциями д$'/дх, на оси координат, т.

е. Можно ввести вектор Ф(х) с проекциями, отвечающими уравнениям (5.6), а именно: 6ж зх Ых„ Ф,= — ' Ф,= — ... Ф„= — ". 2 ц 1 ' э д Вектор Ф(х) будет вектором скорости изображающей гочки И в фазовом пространстве (рис. 5.4). Рис. 5.4. (5.9) Согласно (5.7) получаем з'Р у- = И' (х) = ягад Р Ф (х), где х — вентор координат состояния системы = (хы хз, ..., х„). Итак, производная функции вова по времени, составленная в силу уравнений мы, представляет собой скалярное произведение ента втой функции на вектор фазовой скорости, х= Ляпу- систе- гради- Вектор асад Ы(х) перпендикулярен к поверхности Ы = сопэь и направлен в сторону возрастания значения (рнс.

5.4). Если производная дЫ/сМ ) О, то, согласно (5.9), вектор фазовой скорости Ф (х) составляет с вектором йтад Ы(х) острый угол, т. е. фазоэая траектория пересекает поверхность Ы = сопз1 в сторону увеличения значений Ы(х). Если же с(Ы/дГ(0, угол между дгад Ы и Ф(х) тупой, и фазовая траектория идет в сторону уменыпения значений Ы (х). й 5.2.

Теоремы Ляпунова Различают теоремы первого н второго методов Ляпунова. Теоремы первого метода Ляпунова попользовались пря исследовании устойчивости лияоаризояаяных систем Щ. Здесь пойдет речь о теоремах второго, или, как еногда называют, прямого Метода Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойя-.

% чивости. Если для системы уравнений (5.6) сугцествует внакоопределенная функция Ы (х), производная которой ЙЫ~дй -.--. РЫ (х) является знакопостоянной противоположного анака, то решение систелгы х = = 0 устойчиво. ог На рис. 5.5 представлена хг геометрическая иллгострация этой теоремы, базируюгцаяся Рис. 5.5. ка свойстве (5 О) прн условии Ы (х) > 0 и И' (х)(0. При ЫЫ (х) ( 0 фазозая траектория тересекает поверхности Ы= С извне внутрь, а в случае )Ы = 0 — может остаться на такой поверхности.

Поэтому г теореме говорится просто об устойчивости, но не об асимптотической устойчивости. Доказательство теоремы. Зададим некоторое 1начеппе е ) Он область зпачеипй вектора х = (х,, т„... ..., х„), огракпченпую величиной его нормы ) х(! =. е. Тусть пмеется поэожитсльно определенная функция 'г' (х) ) О. Обозначим точную нижнюю грань значений функции т' (х) при 1х( = е череа а ) О, т. е. 1п1 т'(х) = а) О. (5.10) 1ы е Поскольку т'(0) = О, то из непрерывности определенно положительной функции р(х) следует, что можно взять такое значение 6) О, чтобы т" (х) < я прн~х1< 6. Пусть начальные условия лежат внутри области 6, т.

е. 1х(1в)(<6 и, следовательно, У(х(гв)) <и. Тогда для решения х(1) при 1) тв функция у(х(1)) будет невозрастающей, так как по условию теоремы — = И'(х) ~0. (5.11) Итак, получаем т'(х(1)) <$'(х(1в)) < а. (5.12) При атом неизбежно 1(х (1) $ < е, (5.13) так как, если бы было Цх(1) П ) е, то получилось бы )т(х) ) (пХ У (х) = а, 1лЦ в что противоречит (5Л2). Теорема доказана. Из формулировки и ив доказательства теоремы видно, что теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости решения х = 0 нелинейной системы. Значит, если условия теоремы удовлетворяются, то система устойчива.

Но ато не означает, что система не может быть устойчивой и за пределами зтих условий. Насколько полно условия теоремы охватят действительную область устойчивости системы, аависит от выбора функции Ляпунова К Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы уравнений (5.6) сушествует внакоопределенная 4ункция И(а), производная которой ду!д1 = И' (х) является тоже внакоопределенной, но противоположного анака, то решение системы х =0 будет устойчив м асимптотически. Геометрическая иллюстрация теоремы может быть представлена тем же рис. 5.5, нотолько с той разницей, что при И (х) ) 0 имеем здесь Ит (х) < О. При атом по свойству (5.9) фазовая траектория, пересекая поверхно- сти р= совзФ извне внутрь, не может остаться на яих, а пойдет внутрь вплоть до начала координат, где х = О и Г(х) = О.

Ход аналитического доказательства тоже остается прежним, но с изменением (5.11) на ыс =И'(х) <О. лр вследствие чего )'(х(1)) будет монотонпо убывающеп функцией с нижним пределом Р(О) = О. Поэтому вместо (5.13) получаем ~(х(1)) — э.О при С-» со. Эта теорема, как и первая, тоже дает достаточные условия устойчивости, а полнота охвата действительной области устойчивости систелг мы зависит от выбора функ. з ции Ляпунова У(х). Поскольку обе предыдуч щне теоремы Ляпунова дают достаточные условия устойчивости, вообще говоря, не А охватывающие всю область ф~>Ю Из)»у устойчпвости системы, то может представить интерес определение условий, где система становится наверняка неустойчивой. 4У) 'ч, Теорема Ляпунова о не- устойчивости.