popovEP2 (Попов Е.П. - Теория линейных систем автоматического регулирования и управления), страница 14

Если для сиРвс. 5.6. стемы уравнений (5.6) су- и~есгвует какая-нибудь функция И(х), производ ая которой с5'/дг = И'(х) является знакоопределенной функцией, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала координат, имеется область, в которой знак У(х) совладает со знаком И'(х), го решение системы х = О неустойчиво. Приведем геометрическую иллюстрацию теоремы для случая п = 2 на фазовой плоскости. Пусть функция К(х) знакопеременная с линиями г' = сопеФ, показанными на рис. 5.6, а ее производная йр/дг = И'(х) положительно определенная. Видно, что прн произвольных Поэтому в некоторый момент времени 7~ значение функции Г (л (7,)) перейдет величину р'((а( == е) и за- Рис.

5.7. Рис. 5уь тем станет больше этой величины, а вместе с атим будет и (л(8)(> е при 7» г1 и при любом заданном е ' » ) О, что и говорит о неустойчивости системы. Перейдем теперь к иэлолгению методики применения теорем Ляпунова для исследования устойчивости нелинейных систем автоматического управления. Сделаем это для одного (достаточно широкого) класса систем с одной однозначной нелинейностью. Пусть система описывается следующими уравнениями в матричной форме: Ая+Ьу (5Л4) у~ = Г (а), а =- с'х — гу, (5Л5) начальных условиях фазовая траектория, направляясь в соответствии со свойством (5.9), попадает в область, где У (ж) > О, и будет удаляться от начала координат, Если же И~(я) является отрицательно определенной, то фазовая траектория удаляется от начала координат в области, где У (т) < О.

Аналитически это описывается следующим образом. Пусть производная Л'7ПГ = И'(и) знакоопределенная положительная. Зададим некоторое значение е ) О. По условиям теоремы, как бы мала ни была область начальных условий б ) О, всегда найдется часть этой области, где г'(я) > О. Тогда функпия Г Ь) с течением времени будет возрастать, т. е. Т'(в(Г)) > У(л(Ее)) при Ю) Юм где А — невырожденная матрипа в Х л коэффициентов, (беСА Ф 0), л — вектор координат л = (лп ха, ...,х„), р, с — скалярные координаты, Ь вЂ” матрица-столбец коэффициентов Ьв Ьм ..., Ь, г — коэффициент обратной связи, с' — транспонированная матрица-столбец (своп... ..., с„), т.

е. матрица-строка, в соответствии с которой т сл=сгт,+сх,+...+с л„. Нелинейная функция Р(о) может иметь произвольную нечетно-симметричную форму (рис. 5.7), удовлетворяющую условиям Р(0) = О, оР(с) ~ 0 нрв а Ф О. (5.16) Применительно к реальным системам написанные уравнения можно расшифровать, например, следуюгдим образом: уравпепнс (5Лб) представляет собой уравнения динамики управляемого объекта (рис. 5.8), а выражения (5.15) относятся к регулятору — уравнение ве; линейного исполнительного устройства (привода) и уравнение измерптельно-уснлительного устройства н обратной связи привода. Общий порядок системы и+1. В реальных системах памершотся не все координаты хь хп ..., х„состояния объекта.

Поэтому некоторые отдельные коэффициенты с; во втором уравнении (5.15) будут нулями. В реальных системах нулями будет являться и часть элементов матрицы А и столбца Ь. Приведем заданную систему (5.14). (5Л5) к каноническому виду путем замены переменных: а = Ал+ Ьу, и = с х — гу. Проделав это, получим систему уравпенвй — = Аа+ ЬР (а), — „=- с'л — гР (и), (5.17) и д~ причем будем полагать, что матрица А приведена к диагональной форме.

Должно соблюдаться условие невы- рожденной общей матрицы системы !"-~ А ь! „~ФО, т. е. г+с'А 'Ь~ьО. (5Л8) Функцию Ляпунова в атом случае рекомендуется 1151 брать в виде а г" (г, о) = х'Вх + ~ Р (о) г)о, е (5.19) где  — некоторая положительно определенная квадратичная форма п координат х. Интеграл в этом выражении тоже является, как легко проверить, положительно определенной функцией (я+ 1)-й координаты о.

Составим производную функции Ляпунова (5А9) в силу уравнений системы (5А7): — = — — Вх + х' — -)- гг (о) — = ~хт т Их до ~и и и ~М хт(АтВ ) ВА) х + д(о) (ЬтВх + ЯВЬ) +Ь(п)стх уг'з(о) Матргща квадратичной формы В является симметричной, т. е. В' = В. Поэтому можно сделать следующее преобразование: Ь~Вх + гтВЬ = (ЬВ)~х + (ВЬ)~х = 2 (ВЬ)~х. Далее обозначим С= — (А'В+ВА) н покажем, что матрица С симметричная. В самом деле, С' = — (А'В + ВА) ' = — (В А + А'В') = — (ВА+А'В) = С. Итак, получаем —, = — х Сх — гГ (а) + 2г" (и)( ВЬ + —, с~ х. аг т з / 1 тт ю Это выражение представляет собой квадратичную форму. Согласно теоремам Ляпунова об устойчивости производная АИIА должна быть либо знакоопределенной, либо знакопостоянной отрицательной функцией.

Обратимся к критерию Сильвестра для установления пологкительной определенности функции — И)г/й. Поскольку С является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то первые п неравенств кри- терни Сильвестра выполняются.

Остается потребовать, чтобы о — ~НЬ+ с с) — ~ВЬ+ с с) г > О. Отсюда г> ~ВЬ+ — с) 6 '~ВЬ+ —,с). (5.20) Следовательно, при выполнении условия (5.20) совместно с условием (5Л8) система будет устойчива асимптотически. Это является достаточным условием асимптотической устойчивости решения г = О, а = О. Видно, что в условия устойчивости (5.20) в (538) не вошли никакие параметры нелинейной характеристики Р(о). Следовательно, зтн условия справедливы при любой форме нелинейности, удовлетворяющей общим требованиям (5Л8). Такие условна устойчивости, которые не зависят от конкретной формы нелинейности, называются условиями абсолютной устойчивости системы. й 5.3.

Пример исследования устойчивости методом Ляпунова где $ — угол отклонения осн самолета по курсу, 6— угол отклонения руля, г" (и) — нелинейная характеристи- ка привода руля (рис. 5ЛО, а), причем >О при и>Ь, — > О, Р(и) < 0 при и ( — Ь, (5.22) = 0 при ) и)(Ь. Измерительно-усилительное устройство с обратной связью привода описывается выражением и = й,ф + й зри — й,„б.

(5.23)' В качестве примера исследуем систему управления курсом самолета (рис. 5.9). Уравнение движения самолета в упрощенном виде имеет ввд (Т~ р+ 1) р$ = — й~б, р6 =. Р(и), (5 2!) и обозначим 1 1 1 х,= — рр+ — б т,а, т, ' ° т, ' 1 хз = —, и = — (й„ф+ й„ерф — йссб). ута1авэ 71в1К е (5,24) В связи с последним обозначением нелинейная характезистика с (и) заменится на /(х,) (рис. 5ЛО, б), где Рис. 5.9, Рис.

5.10. тзменится лишь масштаб по оси абспнсс. Поэтому зона течувствительности вместо Ь (рис. 5ЛО,а) будет иметь зазмер 6/(Т~ФФум) * Для перехода к каноническим уравнениям представим уравнение самолета (5.21) в виде Введем безразмерное время т= г/7'о Тогда система уравнений (5.21), (5.23) преобразуется к каноническому виду дх д х +Г(э) дх — т = — 7 (хт) Нт (5.25) Нх. — з = (7 — 1) хт + 7хх — г/ (х,), где т,д 7= — '~, г (5.26) Ьгдхв Как видно из уравнений (5.21) — (5.24), установив- и шийся режим полета, устойчивость которого надо исследовать, определяется значениями 6=0, рф=О, [ф! <Ыйч или х~ = 0 ха О» !хч[ < Ы7 17с~йрм , что иллюстрируется отрезком ЛВ на рис.

511. Рассмотрим отдельно дза случая 7 ) 1 и 0<7<1. 1, Случай 7 ) 1. Функция Ляпунова борется в виде хз )г(х) — ~ — х', + 2~ х'., + ~1(хт) г(хз. (5.27) о Рвс. 5л1 Производная от нее ду д~~ дн дхт ди Нх ру(х) ~+ а+ з дт дх Нт дх дт дхз дт ' нли в силу уравнений системы (5.25) после простых преобразований имеем Иг(х) -(7 — 1)[У(хх) — х,)х-(г — 7+ 1)[~(х.))'.

Функция г'(х) (5.27) является положительно опреаеленной. Проиаводная же И'(х) от нее будет отрицательной зпакопостоянпой при условии г) 7 — 1, если 7) 1. (5.28) Это и является, следовательно, условием устойчивости системы согласно теореме Ляпунова. Заметим, что ~Л'Ит= И'(х) обращается в нуль, когда х~ = О и Дхз) = О при любом значении хм т. е. на всей полосе, изображенной на рис, 512. Поэтому интересно проверить, не застрянет ли изображающая точка на этой полосе, еслл фазовая траектория попадет туда.

Из уравнений (5.25) на этой полосе имеем И*1 дж Нх — '=О, — '=О, — а=эх. — з Следовательно, фазовэя траектория будет проходить через полосу в направлении, параллельном оси хм как показано на рис. 5.12, и не аастрянет на ней. Ряс.

5.12. 2. Случай О = т <1. гРункция Ляпунова берется э виде у (х) — эх, + — х, + ~ (х,) Нхз. о Производная от нее в салу уравнений системы '(5,25): И' (х) = — = — (1 — у) х ~ — г (~ (ха)) '. Отсюда условие устойчивости системы, как условие отрицательного анакопостоянства функции И'(х), принимает вид г ) О, если О < ( < 1. '(5.29) В соответствии с обозначениями (5.26) через исходные параметры системы условия устойчивости (5.28) и (5.29) запишутся в виде соответственно Й<„> (7',ЙŠ— Йр,,) Йм если Йрв ( 7,Й,р, Йчв> Ог если Йгэ> Тгйе, (5.30) ЙгзТ, р, Й а) Рвс.

5.13. Й„ б/ Согласно (5.30) имеем (при положительных коэффи- циентах) ь в+ ь„еь ть 11 г. е. основной коэффициент уснленпя автопилота Йч вюжво увеличить за счет усиления обоих стабилизирующих зредств: Й„и Йгч, что показано графически на рис. 5.13, б. Поскольку в условия устойчивости нелинейной снстекы (5.30) не вошли параметры самой нелинейности, оки валяются условиями абсолютной устойчивости системы прн любой форме однозначной нелинейности, удовлетворяющей лишь условию (5.22). что графически изображено на рнс. 5.13, а. Этот результат физически понятен: коэффициент дополнительной обратной свяаи Й„должен быть достаточно большим, если коэффициент интенсивности введения производной от ошибки Йвт ввят сравнительно малым.