popovEP2 (Попов Е.П. - Теория линейных систем автоматического регулирования и управления), страница 6

з системе предусмотрены две разные структуры, разлизающиеся звеньями 1 и 2 (рис. 2.15). Имеется логическое тереключающее устройство, которое в зависимости от зазмеров и знака входной величины л (или пары входгых величин) подключает либо звено 1, либо звено 2. Рассмотрим переходный процесс (без внешнего воздей:твия). Пусть измерительное и исполнительное устрой:тва идеальные и вместе с регулируемым объектом опя:ываются передаточной функцией И'(г) = — —. а — + 1с 1сх = О„ ссах лсз (2.21) а при включении звена ус — + )сз)сх = О.

лсз (2.22) Кансдое из этих уравнений является уравнением неустойчивой системы. Картины фазовых траекторий в соответ:твии с з 1.3 показаны на рис. 2 16, а и б соответственно. Ряс. 2.16. Обозначим дх1с)1 = у. Введем следующий закон перетлючений. Пусть звено 1 включается при ху ) О, а звено 3 — при ху ( О, т. е. имеем уравнения сс х — + 1ст1сх = О при ху > О сс "х — + йз1сх = О при ху ч, О.

ссс В этом случае э 1 квадранте фазовой плоскости (х, у)' беретси дуга эллипса из рпс. 2.Ы, сй в 1Ъ' квадранте— яз рис. 2 16, б; в П1 — снова из рис. 2.16, а и т. д. Как Звенья же 1 и Я характеризуются коэффициентами усиления 1сс и 1сз соответственно. Тогда уравнение динамики замкнутой системы при включении звена 1 запипсется в виде видно по рис. 2.17, получается затухающий колебательяый процесс, т. е. за счет переменности структуры система становится устойчивой. Такой колебательный процесс не всегда приемлем. Поэтому чаще всего в системах с переменной структурой стремятся огранизовать скользящий апериодический процесс.

Рассмотрим это па конкретном примере. Пусть в тай же системе (рпс. 215) звено 1 имеет коэффициент усиления 1сд, а зветр с1 ио 2 — коэффпциент усиления — 1сд (усилепие с переменной знака сигнала). Пусть при этом в передслнчающем устройстве формируется величина хд = у+ сх. (2.23) Переключения в системе установим так, чтобы Я' д —, +1сд1сх= О при хдх) О, (2. 24) сС ж — — 1сд1сх — О при хдх ( О.

ряс. 237. лс (2.25) Тогда линиями переключения будут: ось у и прямая (2.26)' р = — сх, обозначенная на рис. 2.18 волнистой линией. Согласно (2.24) в областях, где хх, ) О (т. е. в правой полуплоскости — над линией переключения, в левой — под ней), фазовые траектории будут эллипсами. В остальных областях, где ххд (Π— гиперболами (см. з 1.3). Овп и показаны на рис.

2.18. На рисунке видно, что все фазовые сраектории встречадотся яа линии переключения р = — сх. Это и означает наличие скользящего процесса (аяалогичпо примеру в з 2.2). Но, в отличие от случая, описанного в з 2.2, здесь линия скользящего процесса не ограничена. Поэтому при любьдх начальных условиях система входит з реясим скользящего процесса без предварительных колебаний. Этот процесс, согласно (2.26), описывается уРавнением ~Ь вЂ” — и +еж=О, л=хое и где значения г = О и х = хз определяготся моментом попадания изображающей точки на линию скользящего процесса. Заметим, что форма скользящего процесса зависит от параметра с управляющего устройства и не зависит от Рис.

2.18 тараметров й и й~ основной части системы. Зто весьма ~ажное свойство скользящего рея<яма обусловило то, что гри построении систем с переменной структурой стремят:я сформировать управление таким образом, чтобы обестечивался ямеппо скольаящий процесс. Ниже, в главе 7, будут рассмотрены системы с переменной структурой высокого порядка. Данная глава была посвящена изображению переход|ых процессов в нелинейных системах на фазовой пло,кости. Вместе с том на примерах были научены различ~ые типы нелинейных систем и характерные особенности 1х поведения в переходных щюцессах, которые коренным )бравом отличают их от поведения линейных систем. ГЛАВА 3 МЕТОДЫ ПРИПАСОВЫВАНИЯ И ТОЧЕЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ и ЗЛ.

Метод припасовывания Часто нелинейные системы представляются как кусочно-линейные, т. е. их динамические свойства описываются линейными дифференциальными уравнениями, разными для разных участков процесса управления. Таковыми, например, были все нелинейные системы, рассмотренные в предыдущей главе. Метод припасовывания состоит в том, что линейные дифференциальные уравнения решаются в общем виде отдельно для каждого участка процесса, на котором они справедливы. Затем на каждом участке в полученных решениях произвольные постоянные определяются таким образом, чтобы все соседние участки правильно состьпювывались друг с другом. Зто делается следующим обрааом: по заданным начальным условиям процесса определяются произвольные постоянные в общем решении для первого участка.

Значения фазовых координат в конце первого участка служат начальными условиями для второго участка и т. д. Вообще говоря, описанная схема метода лрипасовывания мок'ет быть применена и тогда, когда какой-либо участок описывается нелииейньиь дифференциальным уравнением при условии, что известно его общее решение. Проиллюстрируем на простом примере использование метода припасовывания для определения переходного процесса и для определения периодического решения (автоколебаний). Дана система, схема которой изображена на рис. 3.1, а, нелинейная характеристика Р(х) регулятора представлена на рис. ЗЛ, б.

Уравнение объекта: (Г,р+1)х = — й хи уравнение регулятора: рх1 = Р(х). общее уравнение замкнутои системы имеет вид СЗА) Определение переходного процесса. Представим себе три мерно возможный качественный вид процесса (рис. 3.2)'. Он раабивается на участки АВ, ВВ и т.

д., внутри которых в соотвотствии с нелинейной характери- Рис. 3.2. :тикой функция В(х) принимает постоянные аначения +с или — с. Изобраанм отдельно участки АВ и ВВ (рис. З.З), отсчитывая время Г на каждом иа них от нуля. (Ха участке АВ, согласно (3.1), уравнение системы Зтх Их Тт — + — = — йю ' ьча и имеет первый интеграл в виде Их -Мт, — = С~с ' — йс и т второй— х = — Т, С,е ~' — йод + С . (3.2) (3.3) Рие. З.З. Начальные условия: 1= О, х= Ь, Их/й=х„,.

По ннм аэ (3.2) и (3.3) находим Ст = хи+ йс, Ст = Ь+ ТтС . (3.4) На участке ВВ, согласно (3.1), имеем д'ж Т,— + — = йе. т дст ай Первый интеграл этого уравнения а второй— и = — Т С е Мт' + Асс + См (3.5) (3.6) Начальные условии для участка ВВ (в точке В) определшотся на основании решении относительно точки В уравнения для предыдущего участка АВ. Иэ (3.2) находим хв = С,е '+ йс, (3.7) где С1 известно из (3.4), а велллчина лз определяется из уравнения (3.3) при условии хз = — Ь, т.

е. -лв)т, — Ь = — 7,Сле — йс~ + С„ где Сз известно иэ (3.4)'. Отсюда определяем г и полученное значение подставляем в формулу (3.7). Таким образом, начальные условия для участка ВР имеют внд Нх с=О х= — Ьз — = хв сл и, согласно (3.5), (3.6), получаем Сз = хз — )лс, Сл = — Ь + УлСз На следующем аа точкой Р участке снова, как н на АВ, будет решаться уравнение н~х се Т вЂ” + — = — йр ' слз при этом произвольные постоянные определятся с учетом координат конца предыдущего участка ВР и т. д.

Определение периодического решения (автоколебаний). В атом случае расстояние АР по осн времени (рис, 3.2) является периодном автоколебаний. Вся кривая АВР после точки Р должна повторяться в точности в том же впде. Вследствие нечетной симметрии характеристики (рис. ЗА, б) долвлна иметь место нечетная симметрия н полупериодов АВ и ВР Поэтому для определения периодического решения (автоколебаннй) достаточно рассмотреть один полупериод — участок АВ.

Обозначим через л полупериод искомых автоколебаний. В силу периодичности решения начало и конец участка АВ должны удовлетворять равенствам хн = — х*л э'в = — хз = — Ь при г ~ 7 (3.8) Первое условие, согласно (3.2)', принимает вид С,е ~л~' — йс = — (Сз — йс), (3.9) откуда 2Ьс л + с-т/т ' Второе условие (3.8), согласно (3.3)', запллшется в виде — Ь= — Т,С,е ~~т' — ЬсТ+Сд, Сд=ь+ Тдс, нли Т,С, (1 — е ~~~') — ЬсТ = — 2Ь. Подставил сюда выралкение для Сл из (3.9), придем к уравнению т т ь а — = — —— 2Т 2Тд ЬсТд с одной неизвестной величиной — полупериодом Т. Трансцендентное уравнение (3.10) легко решается графически. Обозначим т ь — =у — =Ь, гд=ь)лу з,=у — Ь.

2Т д ИсТ 1 1 Кривые г1 и зи согласно этим равенствам, изображены на рис. 3.4. Решением уравнения (ЗЛО) будет точка з, = зд, т. е. точка пересечения кривых з~ и зд (рис. 3.4). Отсюда находим полупериод Т автоколебаний. Частота азтоколебаний 2я я ел = — = —. 2Т Т Амплитуда автоколебаний определится как х , на участке АВ (рис. 3.2), т. е. из условия йх!лй = О. При этом из (3.2) Сде = Ьс, (3.11) где Сл определяется формулой (3.9), а Ԅ— время д в точке максимума пока неизвестно.

Из (ЗА1) с учетом (3.9) находам л;т, л т,д;~ откуда ~„, = — Тд1п~ — '(1+с т'т')~. Далее по формуле (3.3) определим амплитуду автоколебаний; а =ххах= — Т,Сде "" ' — йс~ +5+ ТдСд, где Сд иавестно ив (3.9). В результате формула а = йсТд~ Са — + 1п~ —, ($ + е-тдтд)Д+ Ь Т Г Ф Ыд позволяет вычислить и амплитуду автоколебаиий. й 3.2.