popovEP2 (Попов Е.П. - Теория линейных систем автоматического регулирования и управления), страница 3

1.17). Для уточнения такой качественной картины фазовых траекторий можно применить метод иаоллия. Иаоялиной Рис. 1Ла. нааывается линия, соединяющая точки фазовых траекторий с одинаковым наклоном касательной, т. е. для каждой изоклины пхзЫх1 = с. Поэтому уравнение иаокливы, согласно (1.6), имеет вид а 2+а 211 2 с (1.10) ;;;+;.;= Следовательно, любая прямая х2 = йах1 будет изоклиной : соответствующим аначением постоянной с. Задаваясь определенной величиной )2„(рис.

1ЛЗ), согласно (1ЛО) находим а, +а„„аа с— 11 + 12 И Нанеся несколько иаоклин и зная для каждой нэ них крутизну наклона е пересекающих ее фазовых траекторий, можно уточнить всю картину фааовых траекторий. Случай равных вещественных корней: 7.1=Хр. В этом случае получается вырожденный увел, устойчивый при ~, т ~ О и неустойчивый при Х1 в ) О (фазовые траектории показаны в координатах у|, ув на рис.

1.19,а, 6), Рис. 1.И. Случай комплексных корней Хьв. Переходный процесс — колебательный. Пусть : ь Хк в = а ~ 1(7. (1А1) Решения (1.7) принимают комплексный вид у1 — — С~в"' (сов р1 + 7 в1л р1), ув — — Сте '(сов(М вЂ” 7 в1л(и). Введя новые переменные с помощью подстановки у~ = в~+ 7вм ув = в! — 7вев преобразуем решение к вещественной форме в1 —— Ае"' сов ф1+ ~), вв = Ае"' в1п(~1+ у), где А и "1 — проиэвольные постоянные.

Перейдем к по- лярным координатам (г, «р). Тогда »„»» а« г = 'г а, + е» = Ае (1.12) 1й р = — ' = 1й 9~ + у), ! «у = р«+ у + йп, й = О, ~ 1, ~ 2,... Эти выра»кения описывают логарифмическую сянраль, изображенную на рис. 1.20,а для случая с«(0 и на рис. 1.20, б для а ) О. Ркс. 1.20.

В случае комплексных корней с отрицательной вещественной частью (рис, 1.20,и) особая точка 0 называется точкой типа «устойчиеый фокус». В случае комплексных корней с положительной вещественной частью (рис. 1.20.б) особая точка 0 называется точкой типа «неустойчивый фокус». Для преобразования полученных фазовых портретов а исходную систему координат (ли х») воспольауемся методом изоклин.

Пусть, например„задана система к + 2к + бх = О. (1 13) Корни характеристического уравнения Хь» = — 1 ~ «2, Обозначив х = хь х = хз, приведем систему к виду Из гЬ вЂ” =- ха, — = — 2х,— 5х. (1.14) а а~ а дифференциальное уравнение фазовых траекторий 3.Ьз а~ — = — 2 — 5-. Ыт (1.15) Цлн изоклины хз = й„х, отсюда находим 5 с= — 2 — —. ~~и Воаьмем четыре значения. в„= О, 1, <ю, — 1; тогда ; = — оо, — 7, — 2, 3. Соответствуюгчие направления ка- Рлс. 1.21.

за тельных к фа во вым траекториям показаны на рис. 1.21 стрелками. Ориентируясь по ннм, вычерчиваем фазовые траектории. Одна из пик изображена на рис. 1,21. Как частный случай (1Л1), при и= О, т. е. длн чисто мнимых корней Х~ г = ~у~, из (1Л2) в полярных координатах на плоскости (ги гг) получаем г = А = =соне«„Фазовые траектории имеют вид окружностей (рис. 1.22). Прн переходе к исходным координатам Рас.

Г.23. Рис. $.22. (хи хг) получатся эллипсовидные замкнутые кривые '(рис, 1.23). Это соответствует периодическим во времени процессам. В случае чисто мнимых корней особая точка О (рнс. 1,22 и 1.23) нааывается точкой типа «центр». 5 1.4. Особые точки и фазовые портреты нелинейных систем Рассмотрим фазовые траектории нелинейной системы второго порядка — =Ф,(х, у), — '= Ф«(х, у). (1.16) Особые точки, отвечающие равновесным состояниям системы, определяютсн из условия Ф1(х, у) =О, Фг(х, у) =О. (1ЛУ) Для выявлении типа каждой особой точки уравнения (1.16) лннеаризуются прн малых отклонениях координат и окрестности особой точки.

Затем определяются корни характеристического уравнения линеарязованной системы, по которым, согласно 1 1.3, н устанавливается тип особой точки, Проведем рассмотрение етого вопроса на примере. Пусть ааданы уравнения нелинейной системы — „, = — х(1+ х') — 2у, ~Я = х+ у. (1.18) Ив ««у Уравнение фазовых траекторий имеет вид Фу вру — х($+хж) 2у (1.19) Найдем особые точки согласно условиям (1 17) х(1+ хт)+ 2у = О, х+ у = О, откуда получаем три решения: 1) х=О, у=О, 2) х=1, р= — 1, 3) х=-1, у=1.

Следовательно, система имеет трн возможных равновесныл состояния. Исследуем характер особых точек. 1. В окрестности точки х = О, у = О линеаризованные уравнения имеют вид лх Иц — = — х — 2р — = х+ р. ~й и« Характерпстическое уравнение: Характеристическое уравнение имеет вид Корни ),н т = -е( — чисто мнимые. Следовательно, ато особая точка типа «центры 2. В окрестности точки х = 1, р = — 1 вводим малые отклонения в коордипатак $ = х — 1, и = у+ 1. Подставляя в уравнения (1.18) х = а+ 1, у = и — 1 и отбрасывая нелинейные члены, получим линеаризованную систему Корни характеристического уравнении З /17 Х,«= — — ~ 2 г 4 получим й=— 1+4 — 4 — 2й' нли 2й«+ 5й+ 1 = О, откуда находим — 5 — Р'Г7 йт 4 — 5.1 'г'Г7 «= 4 Рлс.

1.24. На рнс. 1.24 эти асямптоты показаны в окрестностях юответствующвх особых точок. Точка же (О, О) типа «контр«должна быть окружена замкнутыми кривымк. Исходя из этого, па ркс. 1.25 изображен примерный ход разовых траекторий ва всей плоскости. Для определения направлении движения изображаюэ«ей точки по фазовым траекториям достаточно исследовать какую-либо одну точку.

Возьмем, например, точку с= О, у = 1. Согласно уравнениям (118) в атой точке змеем дх/Ш = — 2, г(уlй = 1, т. е. х изменяется в стороэу уменьшения, а у — в сторону увеличения. В соответэтвин с этим и поставлена стрелка на фазовой траекто- вещественны и имеют разные знаки. Следовательно, это особая точка типа «седло«. 3. Рассматривая линеаризованную систему в окрестности точки х = — 1, у = 1, подстановкой в уравнение (1 18) л = $ — 1, у = и + 1 приходим к тому же уравнению, что и в предыдущем случае. Следовательно, вдесь тоже особая точка типа «седлом Найдем асимптоты фазовых траекторий э седловых точках. Положив «7 = = (гэ, кз уравнения фазовых траекторий ~1т~ йч ч «й — — 42 — 2ч рли, проходящей через точку (О, 1), а так как система непрерывна„в ту же сторону будут направлены и все соседние фазовые траектории.

Таким образом выясняется качественная карпша фазовых траекторий. Отметим, что в данном примере ни одно из трех возможных равновесных состояний системы не является устойчивым. Рве. 1.25. Методом иаоклин можно уточнить очертании фааовых траекторий.

Уравнение паоклины, согласно (1Л9), имеет вид сз (1.20) — а(1+ а~) — 2Н где с — крутизна наклона (ЙУЫх) пересекающих нзокли ну фааовых траекторий. Например, значению с = 1, т. е. углу наклона траекторий, равному 45', соответствует, согласно (1.20), изоклина, описываемая уравнением у =- — — (2+ х'). 3 Она проходит через все три особые точки (штриховая линия на рис. 1.25). В отличие от линейных систем, здесь изоклина криволинейная, Отметим теперь некоторые общие особенности процессов в нелинейных системах.

Прежде всего, это возмож- Рис. $.26. ность наличия двух или нескольких равновесных состояний (особых точек), как уже было видно на приведенном примере. В соответствии с этим на фазовой плоскости получаются области с различными типами фазовых траекторий. На рис. 1.25, например, ати области разделены жирно обозначенными кривыми.

Такие особые кривые, рааделяющие области с равными типами фазовых траекторий, называются селаратрисали. Существуют и другого типа особые кривые. Важным типом особых кривых являются предельные циклы— замкнутые кривые, соответствующие периодическим процессам, в окрестности которых имеют место нолебательные переходные процессы. Если зти фазовые траектории Рис. 1,27. изнутри и снаружи сходятся к данному предельному циклу (рис.

1.26, а), то мы имеем устойчивый предельный цикл. Если же они удаляются в обе стороны (рис. 1,26,б),— неустойчивый предельный цикл. Возможен н случай двух предельных циклов (рис. 1.26,в), иа которых один устойчивый (в данном случае внешний), а второй неустойчивый. Особая точна О на рис. 1.26 представляет собой в первом случае неустойчивое равновесное состояние, а во втором и третьем — устойчивое. Картина процессов во времени, соответствующая рис.