popovEP2 (950647), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для динамических нелинейностей, где имеется явная зависимость от скорости, т. е. для нелинейностей вида р(х, рх), коэффициенты д, д', а значит, и характеристика Ит,(гю) будут зависеть от амплитуды а и от частоты ы. Существуют н такие нелинейности, для которых д, д' и Представление (4ЛО) называется гармонической линеаризацией нелинейности, а величины д(а) и д (а)— коэффициентами гармонической линеариэации. Правая часть выраяеяня (4ЛО) линейка прн и = = сонет, т. е. только для данного конкретного периодического решения.
Но в целом она сохраняет нелинейные свойства, так как козффнциенты данного периодического решения зависят от искомого решения (от величины аьшлптуды колебаний переменной х). Зта особенность гармонической линеарнзацнн и позволит нам в дальнейшем исследовать с ее помощью основные свойства и особенности процессов в нелинейных автоматпческнх системах. Гармонически линеагированная передаточная функиия нелинейного звена имеет внд И'„(а, г) = Х д(а)+ г г. (4Л2) гг', не завнсят от амплитуды, а зависят только от частогы го. Однако характер атой зависимости принципиально оной, чем для линейных звеньев.
Такие нелинейные звенья называются псевдо.оинейнььни (см. т 7.3). В данной книге мы ограничимся только системами с нелинейностями типа Е(х). Об последовании систем с более сложнымн нелннейностямп см. [22]. Несимметричные колебания. Прн атом, согласно (4.7), будем иметь х = хо+ хо, хо = а з)п юй (4 14) Позтоиу в результате гармонической линеарязации вместо (4.10) — (4.11), согласно (4,8), (4.3) в (4.4), получим Г(х) Ро(хо а) ~ [а(а хо) ~ ч ' р~хо (4 15) '(о,х ) где (4.13) ол 1 д= — ) г" (хо+ав|п$)з(пффф, 1 о д' = — ~ Р (х' + а з(п ф) сов ф дф о (4.17) Как видно из (415), выходная величина нелинейности д содержит постояннуго составляющую гч н периодическую составляющую, выраженную через хо = а зщ юй Однако каждан из них зависит не только от соответствующей составляющей входа (т. е.
Е'о зависит не только от хо и периодическая — не только от а), но от обеих сразу. Зто является существенным отличием нелинейного звена от линейного н обусловливает неприменимость здесь принципа суперпозиция, который составлял важное свойство линейных систем, в 4.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации д — ) Р' (а е1п ф) сйп 4х( ф 4 Г о (4.1О) Для петлезой нелинейности г'(х) (нечетно-симметричной) будет иметь место полное выражение (4.10) Р(х) = ~Д(а)+ — '"фо (4,2О) причем можно польвоваться формулами д =- — ) Е(ав1по)) в(п 4г)ф„ г Г о д'=- — ) К(ав1п4) сов фаор, о (421) т.
с. удвоением результата нигегрирования на полупериоде. П р и м е р 1. Исследуем кубическую нелинейность (рнс. 4.4, а): Р(х) = йох + йохо я/о д = й, + — ' ~ Лоаое1пофв1пфдф=- й,+ — жоао. ла (4.22) Проиллюстрируем вычисление коэффициентов гармонической лннеарнзации на нескольких примерах: сначала для симметричных колебаний, а ватем для несимметричных. Предварительно заметим, что если нечетно-симметричная нелинейность г'(х) однозначна, то, согласно (4.11) и (4.10), получаем о = О, Р(х) = д(а) х, (4.18) причем при вычислении д (411) можно ограничиться кнтегрированием на четверги периода, учетверив результат, а именно Зависимость д(а) показана иа рис, 4.4, б.
Из рис. 4,4, а видно, что при заданной амплитуде а прямая о(а)х осредняет криволинейную зависимость Е(х) на данном Рис. 44. участке — а ~ х (а. Естественно, что крутизна о(а) наклона атой осредняющей прямой д(а) х увеличивается с увеличением амплитуды а (для кубической характеристики ато увеличение происходит по квадратичному закону). в) Рис. 4.5. Пример 2. Исследуем яетлевую релейную характеристику (рис. 4.5, а). На рпс. 4.5,б представлена подынтегральная функция т"'(а з1п ~р) для формул (4.21), Переключение реле имеет место при ~х~ = Ь. Поатому з момент переключения величина ф определяется выражением в1п~р1 = Ь(а. По формулам (4.21) получим (дли а~ Ь) гэ| Л д — —. — ~ ) ( — с) з1п г) Ыф + ) с гйп ~р гйр ~ =- — 1, $ — — „ о Фю Г '"' Л д = — ) ( — с)созфНЗр+ ) ссозфо1р 2 ( 1 4Ь о Ф (4.23) На рнс.
4.5, в изображены графики д(а) и д'(а), Первый нз них показывает ивменение крутизны наклона осредниющей примой д(а) х с изменением а (см. рис. 4.5, а). Естественно, что д(а)-э-0 при а-~.со, так как сигнал на выходе остается постоянным (г(х)=с) при любом неограниченном увеличении входного сигнала х. Из физических соображений ясно также, почему о' ( О.
Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сигнала на выходе, в то времикакгнстерезиснан петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что д' < О. Абсолютное значение д' уменьшается с увеличением амплитуды а, так как ясно, что петли будет занимать тем меньшую часть зрабочего участказ характеристики Р(х), чем больше амплитуда колебаний переменной х.
Амплитудно-фазовая характеристика такой нелинейности '(рис. 4.5, а), согласно (4ЛЗ), представлнется в виде И'„(а) = д(а)+уд'(а), причем амплитуда н фааа первой гармоники на выходе нелинейности имеют соответственно ввд .4 = ~ ГР„(а) ( = )Гдз (а) -)- (д' (о))з ср .= — агсгй ~ п ( П ~де д и о' определены выше (рис. 4.5, в).
Следовательно, "армоппческая липеаризация переводит нелинейное козрдннатное запаздывание (гистерезисную петлю) в эквивалентное запаздывание по фазе, характерное для литейных систем, но с существенным отличием — эависи- мрстьго фазового сдвига от амплитуды входных колебапйй, чего нет в линейных спстемаХ. П р и и е р 3. Исследуем однозначные релейные характеристики (рис. 4.6, а, в).
Аналогично предыдущему получаем соответственно что иаобраькено на рис. 4.6, б, е. гг ф~ Рнс. 4.6. Пример 4. Исследуем характеристику с аоной нечувствительности, линейным участком и насыщением (рис. 4.7, а). Здесь р'= О, а ссозффицнент о(а) имеет ива варианта значений в соответствии с рнс. 4.7, б, где зля них построена Р(ляпы): 1) при Ь| < а ~ Ьм согласно (4.19], имеем я72 д = — ) Й(аып$ — Ь„)ып фйу, Г Ф* что с учетом соотношения а ып ф = Ь| дает д Ь вЂ” — ~агсып — + — 'р 1 — — р ~4.25) за . ат я~аааГ "/' Ь 74 а) Рис. 4.7. 2) приа~Ьз ~и ам Ь= —,.
[~~( ' Š— ~) ' ЭФ+ ~ ' Ф~Ф~; 4 с = 1с(Ьз — Ь,), что с учетом соотношепкя па(пфа = Ьа дает 2й ~ ° аа ° ад д = — ~асса(п — ' — агсвгп — ' + я а а , рг 1 ЬФ/1 3) ~2е Графически реаультат пречставлен ка рис. 4.7, в. Рис. 48. П р и м е р 5. Как частные случаи, соответствующие коэффициенты д(а) для двух характеристик (рис.
4,8, а, в) равны 2й/ . Ь Ь аа '( р = й — — ~агса1п — + — 1 — —,), а) Ьх . (4.27) а ) 2Ь( . Ь Ь / Ьо д =- — ~агсвгп — — — 1, 1 — — о(, а ~~Ь, (4.28) ео = — ') й(хо+ ав)пзр)ос)ф = Ь~(хо)о+ — хоао|, (4.29) о а по формулам (4Л7) р з. оо 9 = — ) сс(хо+ авгп1т) аш т'сс'Р= Зн((х~) + о д' = О. . (4.30) П р и и е р 7. Для петлевой релейной характеристики (рис.
4.5, а) по тем же формулам имеем го с ( . Ь.+хо Ь вЂ” о1 и ~ Е = — ~~агсвш — — агсвш:( а о 4сЬ 9 на о ' (4.32) Пример 8. Для характеристики с воной нечувствительности (рпс. 4.9) будут иметь место те же вырансения го и д. Графики вх представлены на рис. 4.9, а, б. При атом д'= О. Для идеальной же релейной характеристики (рис. 4ЛО) получаем ' 2с . оо 4с Г с"о = — агав(п —, д =- — Ь' 1 — ~ — ~, д' = О, (4.33) 3 что ивображено на рис.
4ЛО, а и б. что паображено графически на рис. 4.8, б, г. При етом для характеристики с насыщением (рис. 4.8, а) имеем д = (о при О < а < Ь. Покажем теперь примеры вычисления коэффициентов гармонической линеарпвацпп длн несимметричных колебаний при тех ясе нелпнейностях. П р и м е р 6. Для случая кубаческой нелинейности Р(х) = )схо по формуле (4Л6) имеем Пример 9. Для характеристики с линейным участком и насыщением (рис. 4 11, а) прп а > Ь+ )хо( имеем Ь+х о Ь вЂ” х о1 + (Ь (- хо) агсз1п — — (Ь вЂ” хо) агсе)п — ~, (4.34) Ь вЂ” х' ь+ о д = — ~агсз(п —" + агсип — + — п1 и о (4.35) Ю' с г -д т Е 7 л ф Рас.
430. Эти аависимости представлены в виде графиков на рпс. 4.11, б, в. П р и м е р 10. Для несимметричной характеристики Е(х) = с ~( — *+ 1) — 1~ (рис. 4. 12, а) по формуле (4.16) находим уо,((х' + 1) ~~' +1)' ( '",1 а по формулам (4.17) дО ид "За[о+(ь+ 1)1 Результаты изображены графически на рис.
4.12, б и в. Полученные в этих примерах выражения и графики коэффициентов гармонической линеарпзация будут использованы ниже прп решении задач по исследованию Рве. 4.12. автоколебаний, вынужденных колебаний и процессов управления. $ 4.3. Алгебраический способ определения симметричных автоколебанийи устойчивости Рассмотрим определеппе симметричных автоколебаяий алгебраическим способом на основе гармонической зинеарнзации нелинейности, Пусть снстема (рис. 4.2) с одной нелинсйностью У~я) имеет передаточную функцию линейной части И"л (в) = —, к(у> 0 (е) обладающую свойством фильтра (см, $ 4Л).
Уравнения линейной части системы и нелинейного авена: 0(р) = — 77(р)у, у=Р(), р= — „,. д Уравнение замкнутой системы примет вид ~(р) х + В(р) Р(х) = О. Решение ищется приближенно в форме х = а зш гег (4.36) (4.37) с двумя неизвестными а и г». После гармонической ли- неаризации Г (х) = ~д (а) + д— р1 х уравнение (4.36) приобретает вид ~~ (р) + В (р) [д (а) + ~ ~ р~~ х = О. (4.38) ч'(Х) + В (Х) ~д (а) + д — ~-) Х~ = О. (4.39) Периодическое решение (4.37) уравнения (4.38) соответствует паре чисто мнимых корней Хьг= ~ую характеристического уравнения (4.39).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
