popovEP2 (950647), страница 8
Текст из файла (страница 8)
На рнс. 3.13 показаны точки образующей переходных толебаний, взятые из диаграммы точечных преобраэова. ний (рис. 3.12). Дзльшезтиточки соединяются зкспонентами (рис. 3.14) согласно уравнению (ЗЛИ). Таким образом, в виде единого простого геометрического построения здесь решается вся задача прппасовыванпя решений по Ряс.
334. Рзс. 3.15. зчасткам для переменной у. Затем, имея длины участков зн тн тз, . и зная, что на границах участков х = н-о, зегко по уравнению (3.19) построить также я кривую ереходкого процесса для переменной х (рвс. ЗЛ5, где с* — амплитуда азтоколебанпй). Аналогично получается н затухающий процесс (вьппе ~очки у*, рис. ЗЛ2), В качества второго примера возьмем ту >ке систему ,'ЗЛ7), но с релейной характеристпкой общего вида „'рис. ЗЛО). Здесь на фазовой плоскости получаем четыре тинии переключения (рис. ЗЛ7). Ввиду нечетной симиетрии характеристики г'(х) достаточно рассмотреть Рас.
3.17. Рвс. 3.16. участок фавозой траектории 9;7Щ, идущий от линии Пс через П> до линии Пк При этом часть 0>171 фааовой граекторив будет прямолинейная, так как там К(х) = О и в силу (ЗЛ7) Иу 1 х — — — р= — — +С. ее тф = т, (3.23) Итак, будем рассматривать точечное преобразование полупрямои Пс в полупрямую П> прп условии, что последующая точка (>з находится на линии Пз. Но существуют фазовые траектории ч> 9>ч>с> у которых последующая точка ч>, находится не на линии Пз, а па отрезке — Ьз ( х ( Ьь Следовательно, надо будет так>ко рассмотреть точечное преобразование части полупрямой Пс и в этот отрезок.
Начнем с первого случая (Я>>(>г). На участке Щ, где Р(х) = с, имеем решения уравнений (ЗЛ7) в виде у, С е Пг — й е, х = — Т С,е-иг — л,е1+С. (3.24) В силу начальных условий с = О, х = Ьи у = уо находим Сс Уо+ сс~сг Сз = Ьз+ Тч (Уо+ Й!с), В точке ~~ имеем: Ь = тн х = Ьи у = уь Поэтому из (3.24) получаем У, = (У -(- йс) е-т ~т — 7с с, Ь„= — Тг (уо + Ь,с) е-'с Ьт* — 7с,ст, + Ьо + Т, (уо + й,с), откуда находим +ь — ь ' — 1с с, — тлт~) Ь,ст, Уо = /задет Т,Ь (3,25) + Ь вЂ” Ь . ее-т *'т~ — 7с с.
с-тпт,) т ° (3.26) Используем далее уравнение (3.23) для участка траектории (С1ум С учетом начальных условий (3.27)' х=Ьн у=у1 Ь= ти найдем произвольную постоянную ь1 Со ус+ т ° 1 (3.28) В точке (,со имеем 1 = т, х = — Ьо, у =- ух Поэтому из (3.23) получаем ь1+ ьо Уо У1+ (3.29) или, согласно (3.26), ь,ст, + ь, — ь, ь,-~ ь, Т (т — е тнтс) Т 1 (3.3О) Мы получили параметрические выражения (через параметр т~) ординат исходной уо (3.25) н последующей у, (3.30) точек. Это позволяет построить диаграмму точечного преобразования в параметрической форме (рнс.
3.18) . Параметр т1 в данном случае обозначает не все время движения от ~, до (,си а лишь время движения для траектории (Я~~). Чтобы определить время для всей траектории ~',фили евшим первое уравнение (317) на участке ~1фи где у(х) = О. Получим у=С,е уг' Из начальных условий (3.27) Уе :ле ет . ~уг ду - ут, 4 уг Х а в точке (1т у = у е-М-и)/т~ откуда Уе и=т~+ Тт)п э~ или, согласно (3.29), ь,+ь,~ Р .=.,+Т,1. 1+, 1.
1! ве! / (3.31) Рис. 8.18„ хэ = Т~у~ + Ьь (3.32)' Следовательно, для каждой точки кривой уо(т~), лежащей на диаграмме (рис. 3.18) ниже точки уе берем на оси абсцисс значение ть Для него по формуле (3.26) вычисляем уп а затем хт (3.32). Если при этом окажется ~хт~ С Ьь то процесс заканчивается равновесным состоянием системы внутри зоны нечувствнтельности релейной характеристики, Зная иэ диаграммы (рис. 318) эначения ут и т~ дал каждого шага точечного преобрааования, можем по формуле (3.31) подсчитать и время т для этого шага.
Так определяется переходный процесс, когда точка ~)т находится на линии Пь Предельное (нижнее) положение исходной точки Чо, прп котором 'это справедливо, найдется из диаграммы (рис. 3.18) при ~уе~ = О, как покаэано штриховой линией. Это будет аначение уе. Следовательно, крп ордпнате уе ( уе исходной точки ~) выражение (З.ЗО) надо ааменить другям. Здесь последующая точка Ь'т (рис. 3,17) определяется абсцпссой хь Поскольку в точке К имеем у = О, то из (3.23) и (3.28) находим ГЛАВА 4 АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА в 4Л. Исходные положения метода гармонической линеаризации где Ао = — ~ Р (а з!и го!) дг~ г (4.3) В предыдущих главах исследовались переходные процессы и автоколебання в нелинейных системах второго порядка.
Этот материал весьма ванген для получения наглядного представления о некоторых особенностях поведения нелинейных систем по сравнению с линейнымп. Однако большинство реальных систем автоматического управления и регулпрованпя описывается уравнениями более высокого порядка. В связи с этим в данной н в следующих главах будут рассмотреныметоды исследования нелинейных систем выше второго порядка.
Наиболее распространенным на практике для этих целей является метод гармонической линеаригаг!ии (метод гармонического баланса). Основу этого приближенного метода составляют следующие положения. Пусть имеется нелинейное звено с характеристикой у = Р(х) (4.1) любого иэ видов, указанных в $1.1 (например, на ряс. 1Л вЂ” 1.5). Подадим на вход этого звена гармонический сигнал х = агшад На выходе получим у = = У (а з!и гг1). На рис. 4.1 дан пример графического представления функции Р(аг!пюг) (рис. 4.1, б) для аацанной нелинейной характеристики г" (х) (рис. 4Л, а). Этот периодический выходной сигнал нелинейного звена можно разложить в ряд Фурье Аг у = Р(аэ!пго!) = — г+ Д, (А„соз иго!+ В„з!ппы!), (4 2) А„= — ~ Е ~а е1п со~) сое пас дс, о зс/е В„=- — ~ Р(аяпел) а1пла~й.
а (4.4) Рлс. 4.й в отдельное авено, можно всю остальную часть системы, какую бы сложную структуру оиа ни имела, объединить в единый блок — линейную часть (рис. 4.2). Передаточную функцию линейной части обозначим И ай'= яи С'И Будем рассматривать нелинейную автоматическую систему любой сложности по структуре, но с одной ненинейностью р = Р(х). Тогда, выделив ету нелинейность и будем считать, что степень мпогочлена Й(з) в числителе меньше, чем степень многочлепа ~(з) в знаменателе. Тогда амплитудная частотная характеристика линейной части И'„(1зз) (рис.
4.3) будет стремиться к нулю прн зз -э. оо. Начало этой частотной характеристики может Рис. 4.2. Рис. 43. иметь два варианта (1, 2, рис. 4.3) в зависимости от того, имеется или нет нулевой полюс в передаточной функции (4.5). Допустим, что в данной замкнутой системе возможны собственные периодические колебания (автоколебання) . Отметим на оси абсцисс (рпс. 4.3) частоту первой гармоники этих колебаний гз и высшие гармоники 2гз, Зю, ...
Предположим, что наша система обладает тем свойством, что величина амплитудной характеристики на частотах высших гармоник значительно меньше, чем для первой: ~Ь7Япа) ~ ~ ) И~,((ю) ~, п = 2, 3, Это свойство называется свойствен фильтра линейной частл системы. При наличии свойства фильтра линейная часть системы (рпс. 4.2) будет хорошо пропускать первую гармонику нелинейных колебаний р и ослаблять все высшие гармоники. Поэтому переменная х на входе нелинейного звена окажется близкой к синусоиде: з ж ззшюй (4.6) Это обстоятельство усиливается еще тем фактом, что, как правило, амплитуды высших гармоник (4.4) переменной у хотя и не малы, но все же меньше, чем первой.
Прп несимметричных колебанинх появптся еще постоянная составляющая ха: х ж ха+ аюп сод (4.7) Итак, базируясь па свойстве фильтра линейной части системы, будем считать, что собственные периодические колебания замкнутой нелинейной системы на входе нелинейного звена х в первом прпбльпкении поясно полагать сппусоидальнымп (4.6) или (4.7). Выходнусо же величину у нелинейного звена, содоржасцую в себе заметные высшие гармоники, надо определять при этом либо графически, как на рпс.
4Л, лабо аналитически — по формуле (4.2). В итоге вся вадача сводится к определению двух неизвестных: частоты ы и амплитуды а первой гармоники колебаний переменной х в случае еимметрссчных колебаний (4.6). В случае ясе несимметричных колебаний (4.7) речь будет идти о трех неизвестных: а, ы и постоянной составлясощей хэ. Для решения атой задачи необходимо исследовать только прохождение первой гармоники по всей замкнутой цепи, не учитывая пока высших гармоннк переменной у, ибо в первом приближении считается, что они не проходят на выход х линейкой части системы.
Запссшем выражение первой гармоники переменной у согласно (4.2): Аа у =- ~" + А,созсэ~+Всзспсз8с (4.8) отбросив высшие гармоники не потому, что онн малы, а потому что онк не нужны для определения первого приближения х в виде (4.7). (При необходимости можно будет учесть н влияние высших гармоник (22].) Симметрссчные колебания. При этом в (4.8) Ае — — 6. Обозначим — = у (а)„— = ус (а). В А (4.с)) Тогда (4.8) запишется в виде у = д(а) а всп сэ~ + у'(а) а соз сей Но, заметив, что рх с сС '1 азшсе~ = х асозсэс = — ~р = — ) с сз ' с ссс )с получим у = Р (х) = 1д (а) + г р 1 х, г'(в) (4ЛО) где, обозначив ф= ыг, согласно (4.9) и (4.4), имеем (4Л1) д' = — ~ с (аз(п$)созфдф о Амплитудно-фагоеая характеристика нелинейного звена в результате подстановки г = )ю выражается в форме И',(а) = д(а) +)у'(а), (4ЛЗ) Следовательно, амплитудно-фазовая характеристика нелинейности Е(х) зависит только от амплитуды и не зависит от частоты, в противоположность характеристикам линейных звеньев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
