popovEP2 (950647), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

1.26,а,б, изображена на рис. 1.27,а,б. Физический смысл устойчивого периодического процесса, отвечающего предельному циклу,— автоколебанил системы. Это собственные периодические колебания, происходящие прв отсутствии внешнего периодического воадействия, причем амплитуда и частота автоколебаний не зависит от начальных условий, а определяется внутренними свойствами системы. Лвтоколебания могут возникать только в нелинейных системах, Что жс касается линейных систем, то в пих собственные периодические колебания возмоя»ны только на гран»ще устойчивости (Х~,»=~1»»), причем амплитуда их определяется начальными условиями (см. рис. 1.23) „ Физический смысл неустойчивого предельного цикла совсем иной. Как видно из рис.

1.26, б, неустойчивый предельный цикл — »то граница областей начальных условий. При начальных условиях х(1»), у(1»), лежащих внутри неустойчивого предельного ппкла, получается аатухающий переходный процесс, если же опи лежат снаружи — расходящийся. Следовательно, равновесное состояние О в данном случае устойчиво при небольших начальных отклонениях, а при больших — система неустойчива.

Говорят: система устойчива «в малом» н ноустойчива «в большом». Здесь важно отметить, что, в отличие от линейных систем, типы динамических процессов нелинеиных систем могут существенно зависеть от начальных условий. Интересно далее отметить, что в первом случае (рис. 1,26,а) единственным устойчивым установившимся состоннием системы является автоколебательный режим. Во втором случае (рис. 1.26,б) — равновесное состояние О. В третьем я»е случае система имеет два устойчивых установившихся состояния: равновесное О, и автоколебаник с большой амплитудой (внешний предельный цикл).

Какой из них установится, зависит от начальных условий. В первом случае говорят, что имеет место «мягкое возбуя»дение» автоколебаний (т. е. при любых начальных условиях), а в третьем случае — «я1есткое возбуждение» автоколебаний, так как, чтобы система вышла па них, необходимо начальные условия «забросить» за пределы внутреннего неустойчивого предельного цикла. Все зто будет проиллюстрировано в последующих главах на примерах систем автоматического регулировании. Кроме того, будут проиллюстрированы и многие другие особые свойства нелинейных систем, как, например, отрезки равновесия, скользящие процессы, а таьпке особенности, связанные с вынужденными колебаниями и с процессами управления, в которых, в отличие от линейных систем, не соблгодается принцип суперпозицни.

ГЛАВА 2 ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ й 2Л. Переходные процессы и автоколебания релейной системы В данной главе исследование переходных процессов на фааовой плоскости иллюстрируется на примерах общего характера, выявляющих основные отличительные особенности процессов в нелинейных автоматических системах. Рассмотрим систему с релейной характеристикой общего вида.

Уравнение динамики объекта (рис. 2Л,а) имеет вид (Т~р+ 1)х = — йдн (2Л) а уравнение регулятора рх1 — — Р(х), (2.2) где Р(х) — релейная характеристика (рис. 2Л, б). Общее Рве. 2.Ъ уравнение динамики системы найдем, если продифференцирусм уравнение (2Л) и ватем подставим в него (2.2), В ревультате получим выражение де ах Тг — + — = — й Р(х) аР <д 3 которое можно представить в виде се еу К вЂ” = у, — ' = — — — — Р(х). сг т г у у (2.3) Отсюда получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий аг л(*) (2.4 ь т, т„ д Как видно из заданной характеристики (рис.

2.1,б), нелинейную функцию Р(х) мокпго описать следующим образом: если у = дх1г)г > О, то — е при х< — Ь„ Р (х) = О при — Ь, < х < Ь „ +с при х>Ь„ зсли у= с(х/й < О, то +с при х> Ь„, Р (х) — О пРи — Ь, < х < Ьы — е при х< — Ь. В свяан с атим на фазовой плоскости (х, у) можно выделить три области: (1) Р(х)= — с; (2) Р(х) = О; (8) Р(х)=+с. Эти три области разделены прямыми (на рис.

2.2 они показаны штриховой линией), которые вазываются линиями нереключениз. Такую фазовую плоскость называют многолистной. На каждом листе (1, 2, 3) получится свой вид фазовых траекторий. Но линиям пореключепия ати листы есшиваются». Фазовые траектории непрерывно переходят с одзого листа на другой (за исключением некоторых особых случаев, где они встречаются). В области 1 (Р(х)= — с) уравпепие (2.4) принимает зкд лси с ус ле = у„т,к' Проинтегрировав его, получим уравнсшге фазовых траекторий в области 1: и =. — 1сгсТг )и ~ у — 1сгс( — Угу + Сь (2 5) гразовые траектории имеют асиьштоту р = А~с, к которой онн стремятся при неограниченном увеличении х.

Такие фазозые траектории изобра>иены в области 1 на рис. 2.2. Направление их определяется в соответствии с рассмотренным выше правилом (стр. 15, 16, рис. 1.9). Рве, 2.2. В области 2 (Р(х)=0) уравнение (2.4) примет внд су 1 1 — = — —, д= — — +С,. ь т, ' т, Фазовые траектории — прямолинейпые отрезки (см.

область Л па рис. 2.2). Наконец, в области 8 (Е(х)=+с) уравнспие (2.4) примет вид лд 4ъ У Tу~ откуда, аналогично (2.5), уравнение фазовых траекто-' рий будет х= й!сТ!1п~у+й!с) — Т!у+Се, (26) Фазовые траектории в области о стремятся к асимптотс у = — й!с при уменьшении х (на рнс. 2.2). В целом фазовые траектории принимают спиралевидную форму. Это соответствует затухающим колебательным процессам. Однако колебательный процесс загухает не до нуля, а до некоторого произвольно- 3, — — — — — — — — - го значения (рис.

2.2, а 2.3) в интервале — Ь! ( <х< Ь! и=О т. е. и у— Ф внутри зоны нечувствительности реле (рис. 2Л, Рис. 2ть б). Таким образом, вместо особой точки здесь получается особый отрезок равновесных состояний, показанный утошцснной линией на рис. 2.2. По какой из фазовых траекторий пойдет переходный процесс в системе, определяется начальными условиями х(!е), у(8р). Рас. 2.4. Рассмотрим теперь частные случаи. В случае релейной характеристики с зоной нечувствительности без петель (рис.

2.4,а) картина фазовых траекторий будет аналогична изображенной на рис. 2.2, с той разницей, что теперь Ь! — — Ьз = Ь, т. е. линии переключения будут прямыми без излома на оси х. В случае чисто пстлсоой гистсрегис~ой релейной характеристики (рис. 2.4, б) будет отсутствовать область 2 (рис. 2.2). В етом случае имеем ' — с при х(Ь„ г'(х) = ( (+с при х) Ь„ когда у = дх/сй ) О; г +с при х ~ — Ь„ Г(х) =- — с при х < — Ьг когда у = Охи ( О, Этим опрсделятотся линии переклзочеяия (штриховые линии на рис. 2.5). Слова от ннх строим фазовые траектории по уравнению (2.5), а справа — по уравнению (2.6).

Зто и покавано на рис. 2.5. Поскольку ясно видно, что снаружи фааовые траектории образуют сходящиеся спирали, а ианутри расходящиеся, то где-то среди нпх должен быть продольный цикл, к которому они все сходятся. Он выделен утолщенной замкнутой линией (рис. 2.5) . Это устойчивый предельный цикл, отвечающий автоколебаниям. Лыплитуда их определяется точной пересечения предельного цикла с осью х. Физически такое решение оправдано, ибо в соответствии с нелинейной характеристикой (рис.

2.4, б) реле не имеет равповеспого состояния. Лвтоколсбания происходят около петли реле с амплитудой, несколько превышающей половину ширины петли Ь. Установившийся режим работы такой системы автоматического регулирования является автоколебательным. Так работают, например, вибрацио|шыс регуляторы на- пряжения сети постоянного тока. Параметрь| системы должны быль выбраны так, чтобы амплитуда и частота автоколебяний находились в допустимых пределах. 5 2.2.

Система со скользящим процессом Проиллюстрируем понятие скольвящего процесса на простом примере. Рас. 2.6. Пусть задана система автоматического регулирования '(рис. 2.6), уравнения динамики которой имеют вид р х = И~хм хг = и (х~) = с В1яп хи х, = — х — х„= — (1+ ймр)х. Эти уравнения можно представить в виде дв Иа — „= р, — „- — й,сзщп(х+ Й ау).

(2.7) Дифференциальное уравнение фааовых траекторий: ,уг ас — — ~ в1яп(х+ йс,у). (2.8) Линия переключения на фааовой плоскости (х, у), следовательно, описывается уравнением р = — — х. $ (2.9) а Опа показана на рис. 2.7. Справа от втой линии х + Й„л ~ О. Поэтому уравнение фазовыл траекторий '2.8) примет вид у Иу =- — 1с, с Нх, зт куда уз = — 2й1сх + Сь Таким образом, фааовые траектории — зто парабольд затеи которых направлены в отрицательную сторону оси г.

Положение вершины параболы определяется проиазольпой постояппой Сь т. е. начальными условиямн перетодного процесса х(1о), р(1о). Эти параболы изображены р ЫГ Рве. 2.7. на рис. 2.7 справа от липни переключения Направлении движения изображающей точки М по параболам определяется прежним правилом (стр. 15, $0, рис. 1.9). Слева от линии переключения х+ й„у ( О, н уравнение фазовых траекторий (2.8) имеет влд дар= й,с х, рт= 2й~сх+Сю Этн параболы также изображепы на рчс. 2.'7 слева от линии переключения.

Эндпо, что на отрсзке линии переключения АВ фазозые траектории встречаются, упираясь в этот отрезок. Это можно расшифровать следующим обрааом. Пусть процесс идет по фазовой траектории 1 (рис, 2.8), Как только фазовая траектория пересечет линию переключения ОА„вступит в свои права фазовая траектория 2, которая вернет процесс к отрезку ОА; Но тут встретится фазовая траектория 8 и т. д. В результате изображающая точка путем вибраций около линии переключения переместится к началу координат О.

Такой ход процесса Х К=ф соответствует переключениям релейного злемепта '(рис. 2.6, б) с А большой частотой. Теоретически частота переключения бесконечна, у г а амплитуда вибраций, изображенных на рлс. 2.8, стремится к пулю. Следовательно, теоретически изображающая точка скольвит но линии переключения к началу координат— к равновесному состоянию. Процесс такого реда называется скользящик пропессом. Найдем закон двия1еяия в скользящем процессе. На линии переключения, согласно (2.9), если учесть первое из уравнений (2.7), имеет место уравнение . — + — х =- О. ее (2ЛО) Решением этого уравнения является -каос х =- хее где значения г = О и х = хе считаются в момент попадания изображающей точки па линию скользящего процесса.

Итак, скользящий процесс происходит по експонепциальному аакопу. Здесь важно отметить следующее. Нелинсйная систома второго порядка (2.7) на участке скользящего процесса вырождается в линейную систему первого порядка (2ЛО), При этом закон движенил в скользящем процессе не зависит от параметров прямой цепи системы и определяется только козффицяснтом обратной связи. Например,при начальном положении Мо (рис. 2.7) получим фазовую траекторию МоМ1МзМм переходящую в скольжение по линии МзО. Такой фазовой траектории соответствуетпроцесс во времени х(г), изобралсепвый на рис. 2.9, где, как и ранее, отмечепы характерные точки.

Характеристики

Список файлов книги