popovEP2 (950647), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Фазовое пространство и фазовая плоскость При составлении уравнений динамики нелинейной системы все звенья, поддающиеся линеаривации в пределах малых отклонений координат, описываются линейными уравнениями. Для одного или двух (реже — нескольких) существенно нелинейных авепьев атой системы составляются нелинейные уравнения (или используются нелинейные характеристики). В общем случае нелинейные дифференциальные уравнении динамики в нормальной форме имеют вид — „' = Ф, (хм хю..., х„, ц д(1); ((1)), 1 = 1, 2, ..., и, где х, (1= 1, 2, ..., п) — координаты состояния системы, я(1), Д1) — соответственно задающие н возмущающие воздействия, или в векторной ааписп — =- Ф (х, 1, я, 1).

Для рассмотрения пароходных процессов, вызванных какими-либо начальными отклонениями координат (при отсутствия внешних воздействяй) ати уравнения для систем с постоянными параметрами (т. е. для стационарных спстем) принимают взд ев 1=1, 2, ..., и, (11) а в векторной форме Рвс. 1.6. — = Ф (х). (1.2) Для исследования пелвпсйных систем широко используется метод грозового пространства, который состоит в следующем. Представим сабо и-ьюряое пространство координат состояния системы (хп хв, ..., х„) (рис.1.6)*), «) На рвс 1.6 воордввагвые сев в«, ..., х«п-мераого пространства условно совмещевы в одну ось.

называемое фаговым пространством. Тогда начальное состояние системы х(!е) изобразится определенной точкой Мо с координатами х1(ц), хг(Фо), ..., х (!о), а процесс во времени, т. е. решение уравнений (1 1) х(8) = (х~ (!), хг(!), ..., х,(!) ), получит изображение в виде некоторой крйвой (рис. 1.6), которая называется фаговой ет траекторией данной системы. Текущая точка М на ней, соот- рй! ветствующая состоянию систе4Цф! мы в произвольный момент времени 8, называется игобража>ощей точкой.

Отметим, что значения нелинейных функций вг~ й!~ = —, стоящих в уравнениях (1.1) справа, определяют в каждый момент времени правщик Рив. й7. скорости и изображающей точ- ки М ка оси координат хь Если в многомерном фазовом пространстве мы лишь мысленно можем представить себе геометрическую картину, то, например, для системы второго порядка (и = 2)' Рис. ЕВ.

можно реально изображать фазовые траектории на плоскости (рис. 1.7). При этом можно изобразить и интегральную кривую для данной системы, добавив ось времени ~ (рис. 1.8). Уравнения (1.1) при и = 2 принимают зид вх вх — ~= Ф (х„х), — „' = Ф (хг,х„). (1.3) Дифференциальное уравнение фазовой траектории получается путем исключения времени из системы уравнений (1.3): ах Ф (х,х) (1.4) ~н, Ф, (х,,х,)' Точки равновесного состояния системы определяются нулевыми аначениями скорости ах,/аг О, ах,/г)1 О; слеаовательно, в этих точках Ф,(х„х,) О, Ф,(х„х,) О, что создает неопределенность правой части уравнения (1.4), Поэтому точки равновесного состояния системы являются так называемыми особылги тачками на фазовой плоскости.

Сопоставим иаображение переходного процесса в виде фазовых траекторий на вх плоскости у(х) с обыч- Х кым его изображением в виде кривой х(1). Для удобства положим, что уравнения (1.3) имеют более простой вид: — = у, „— Ф (х, у), г.

е. координата у, откла. 1ываемая по оси ординат (~азовой плоскости, пред;тавляет собой скорость Рвс. 1.9. юменения координаты х, пгогадываемой по оси 1бсцисс. В этом случае для изображающей точки сира; ~едливо следующее Правило для направления движения по фазовым тра,ктор ням: а) в верхней полуплоскости (рис. 1.9) — слева направо, . е. в сторону увеличения х, так как там скорость у) Я; б) в нижней полутыоскости, наоборот,— справа налево; в> ось х пересекается фазовыми траекториями под прямым узлом, так как там скорость у = О, т. е.

имеет место максимум или минимум величины х. Ркс. 1ЛО. Заметим, что это правило недействительно в общем случае уравнения (1.3). Рассмотрим сначала затухающий колебательный процесс х(1) (рис. 1ЛО, а). На фазовую плоскость (рис. 1ЛО, б), где у = дхи(г, нанесем отмеченные на кривой переходного процесса точки А, В, С, ..., в которых и имеет либо максимум, либо нуль, либо минимум.

В результате получим, что затухающий колебательный процесс изображается на 4азовой плоскости в виде сходящейся спиралевидной кривой. Аналогично расходящийся колебательный процесс (рис. 1Л1, а) иэобраантся на фазовой плоскости в виде расходящейся спиралевидной кривой (рнс. 1.11, б). Очевидно, что периодический процесс (рпс. 1Л2, а) азобразится на фаэовой плоскости в виде замкнутой кривой (рис. 1,12, б).

За один период колебаний изображающая точка М пробегает весь аамкнутый контур, а аатем повторяет движение по нему. Монотонный затухающий процесс х(1) (рис. 1ЛЗ, а) иаобразнтся на фазовой плоскости в виде кривой, мо- нотонно приближающейся к положению равновесия (рис. 1.13, б), а монотонный расходящийся процесс (рис. 1.14, а) — в виде монотонно удаляющейся кривой (рис. 1.14, б). Удобство представления процесса в виде фаэовых траекторий на плоскости состоит в том, что вся совокуп- Рас. 1.14.

$ 1.3. 'Рикы особых точек и фаэовые портреты линейных систем В качестве исходного материала, испольвуемого в дальнейшем при иаучении нелинейных систем, рассмотрим особые точки линейных систем второго порядка. Уравнения линейной системы имеют вид ⻠— =амхг+ аых», —,=а»,хг+а» х„ или в векторно-матричной форме — =Ах, А=- (1.5) ность воэможных форм переходных процессов в системе при любых начальных условиях представляется в виде единого «фааового портрета».

Недостатком же является то, что мы вынуждены при этом ограничиваться рассмотрением лишь систем второго порядка. Для исследования нелинейных систем более высокого порядка будут применены другие методы. при условии, что матрица А невырожденная, т. е. бее А чь О.

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий, согласно (1.5),имеет вид "*я ааггг + "аз'ге сЬ аде +а х Единственной особой точкой (точкой равновесного состояния системы) является точка х~ = О, хт = О. Пусть корни Л~ и Лз характеристического уравнения бе1[А — ЛЕ! = О (здесь Š— единичная матрица) различны. Путем подстановки вида м= Ру, где Р— некоторая невырожденная матрица, матрицу А можно привести к диагональному виду. Уравнения (1.5) примут вид —" =- Р-'АРу =' 81ай (Лм Л,)у, ду нли ,~„, = Лиры =)зум лг 2 и Решением этих уравнений является гк ьи у, = Сге ', уз = С,е '.

(1.7) Рассмотрим фазовые траектории в етой условной системе координат (уп ут), а затем отобразим фазовые траектории на плоскость исходных координат (хц лз). Случай вещественных корней Л~ з. Переходный процесс — апериодический. Пусть )Л ! = )Л ! (1.8) Исключив 1 из решения (1.7), получим уравнение фазовых траекторий Су гмы (1.9) Если злаки корней Л~ з одинаковы, то с учетом (1.8) имеем Лг(Л~ > 1, и фазовые траектории представляются в виде парабол, как показано на рис. 1.15. При этом на- правление движения иаображающей точки М по любой фааовой траектории определяется уравнением (1.7), а именно: случаю Х~ ~ О, ла< 0 отвечает рис. 1.15,а, Рис.

1.15. что соответствует затухающим переходным процессам; случай Х~ >О, Хт) 0 (рис. 115,б) соответствует расходящимся переходным процессам. Если же знаки корней Х~,т различны, то в уравнении (1.9) имеем Л«1)а < — 1, и фааовые траектории имеют вид гипербол (рис. 1 16). В случае отрицательных вещественных корней (рис. 1.15, а) особая точка 0 называется то ьчой типа «устойчивый увела. В случае положительных вещественных корней (рис. 1.15, б) осоРвс. 1.16. бая точка 0 нааывается точкой типо «неустойчивый уаел». В случае же вещественных коркой разных знаков '(рис. 1.16) особая точка 0 нааывается точкой типа «седло«, Седловая точка всегда неустойчива, Отобразим полученные фазовые портреты линейной системы на плоскость исходных координат (хь хх).

Используем тот факт, что оси парабол и асимптоты гипербол (уь Ух) сами являются фазовыми траекториями и при линейном преобравовании останутся прямыми. Их отображение иа плоскость (хы лз) примет вид их = йхь Подставив ато соотношение в (1.6), получим а +а я В= .т а +а я или а 1тйт + (ац — азт) й — ам — — О, откуда находим два вначения й~ и )сз, Это дает дне прямолинейные фазовые траектории (рис.

1.17)*), На Рис. бх7. рнс. 1.17 дано расположение также и остальных (криволинейных) фазовых траекторий. Лналогичная картина *) Как и ранее на рисунках коэффициенты Ь обозначают не углы, а крутизну наклона соответствующих прямых (т. е. в равны таигенсам углов нмлона), изображена и на рис. 1Л8 для особой точки типа «седло». По какой из фазовых траекторий пойдет переходный процесс в системе, определяется начальньсии условиями х1(12), хз(82), которые дают нам координаты начальной точки Мс (рис.

Характеристики

Список файлов книги