popovEP2 (950647), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Метод точечного преобразования Иаложенный выше метод припасовывания свяаан со сложностями увяаывання начальных условий каждого участка с получаемыми данными в конце предыдущего участка. Метод точечного преобразования представляет собой усовершенствование метода припасовывания с привлечением геометрических представлений в фазовом пространстве. Запишем в общем виде уравнения динамики нелинейной системы второго порядка без внешнего воздействия: —, = Ед(х, у), — д = Рд(хд у). (ЗА2) На фааовой плоскости (х, у) возьмем какой-нибудь отреаок линии АВ, который пересекается фааовыми траекториями в одном направлении (рис. 3.5). Обозначим черве а координату произвольной точки Р на отрезке АВ, отсчитываемую вдоль дуги АВ от начала А. Пусть решение уравнений (ЗЛ2) х = х(д), у = у(1) дает фазовую траекторию, проходящую череа точку Д.
Допустим далее, что с увеличением д эта фааовая траектория снова пересечет отревок АВ в некоторой другой точке ()' (ркс. 3.5). Координату точки Д' по дуге АВ обозначим а'. Точка Чд' (первого следующего пересечения отреака АВ той яде фазовой траекторией) нааывается последую- идей по отношению к исходной точке ч. Зависимость е' = 1(а) (ЗАЗ) соответствующая ходу фазовой траектории в силу регпения уравнений (3.12), называется функцией последования. Функция последования определяет гапон точечного преобразования для данной нелинейной системы. Определение последующих точек по заданным исходным на отрезке АВ и называется точечным преобразованием отрезка АВ самого в себя. Ввиду непрерывности Рис.
3.5. расположения фазовых траекторий исходные и последующие точки заполняют весь отрезок. Однако кав«дая точка отрезка АВ не обязательно имеет последующую внутри этого отрезка. Фааозые траектории, пересека»ощие отрезок, могут п не возвращаться к нему. Возможен такой случай, что последующая точка Д' совпадает с исходной «,', т. е. Дг) =г=г*. При этом мы получаем замкнутую фазовую траекториго (рис. 3.5): предельный цикл или кривую, соответствующуто особой точке типа «центр», и т. и. Последнее выясняется из хода соседних фазовых траекторий.
Случай (3.14) называется точечным преобразованием точки самой в себя. Это неподвижная то'ша в общем точечном преобразовании отрезка АВ. Изобрааим графически функцию последования г' = = 1(г) (рпс. 3.6). Проведем из начала координат наклоипую прямую под углом 45' (биссектрису координатного угла), Если она пересечется с кривой Да), то эта точка пересечения даст координату гв (рис. З.б) замкнутой фазовой траектории. Ход точечного преобразования прослеживается на этом графике следующим образом.
Возьмем исходную точку г правее точки гв (рис. 3.6). Точке г соответствует определенное значение г' (точка гт) на кривой Яг). Таким ( — ') (ЗЛ5) образом, мы нашли координату последующей точки. Теперь примем ее за новую исходную точку. Для этого достаточно снести полученную точку Ж по горизонтали РМ (рис. 3.6) на биссектрису. Проведя далее из точки М вертикаль МЕ, найдем значение координаты г' новой последующей точки и т. д. Иа этого простого построения видно, что в данном случае процесс сходится к предельному циклу г*. Возьмем тепорь исходную точку г левее г* и точно тем же способом проследим ход точечного преобразования, как показано стрелками на рис.
3.6. Очевидно, этот процесс тоже сходится к тому я~е предельному циклу г*. Следовательно, здесь мы имеем устойчивый предельный цикл (азтоколебания). Отсюда условие устойчивости предельного цикла имеет вид В противном случае, иаображенном на рис. 3.7, о (где стрелками покааан ход точечною преобрааования), получается неустойчивый предельный цикл. На других графиках рис.
3.7 покаааны: б) случай двух предельных в) Ркс. 3.7. циклов, на которых один неустойчивый, а второй устойчивый; в) случай расходящихся колебаний; г) случай аатухающих колебаний, Такого тина графики (рпс. 3.6, 3.7) нааываются диаграммими точечного преобразования. Иаобрангение хода точечного преобрааования на такой диаграмме эквивалентно сопряжению начальных и концевых условий соседних участков в методе припасовывания. Но производится гто специальным и довольно простым геометрическим построением.
Это будет видно нагляднее на примерах $3.3. ~ Основным в методе является нахождение функции последования г' = )(г) на основе решения уравнений динамики системы (ЗЛ2). Найти зту функцию в явной форме не всегда легко. В большинстве случаев бывает легче представить фун- ф кцию последования в параметрической форме. гьРг!'б! Парагкетричесяая форма точечного лреобра- !!! гоеамия в качество па ! !! ! раметра содержит вре- !! 1! ! ! мя т прохождения изо! !!!!! ! !! бражающей точки по !!!!! фазовой траектории от г — ! !,' ' ! ! ! ! исходной точки ,'(рис.
3.5) до ее последующей К. Через зтот Р к) тг р параметр т на основании решения урав- Рес. 3.8. наний (ЗЛ2) выражаются координаты точек Ч! и !,!, а именно г = /!(т), г = ~г(т). (ЗЛб) Строятся графики зтих функций (рис. 3.8). Точка пересечения их дает координату г'= г = г* замкнутой фазовой траектории (предельного цикла), причем абсцисса втой точки определяет период Т соответствукощих колебаний системы. Условие устойчивости предельного цикла сохраняется в виде (ЗЛ5), но с дифференцированием г' и г по параметру т в (ЗЛ6). Изображенный на рис.
3.8 случай соответствует устойчивому предельному циклу. Ход точечного преобразования на такой параметрической диаграмме прослеикивается следующим образом. Берем некоторую исходную точку на кривой г (рис. 3.8). Перемещаемся по вертикали до кривой г',находя тем саиым последующуко точку при том же значении параметра к = т! (зто будет время движения изображающей точки но фааовой траектории от ~! до к,!' на рис. 3.5). Затем найденную последующую точку принимаем за новую негодную, для чего по горизонтали (рис. 3.8) нереноснм ее У на кривую з, После этого переходим снова на кривую з уже при новом значении х = тз и т. д.
Весь ход точечного преобразования показан на рис. 3.8 стрелками. е) Рис. 3.9. Рис. 3,9 иллюстрирует параметрические диаграммы гочечного преобразования для тех же четырех случаев, что и на рис. 3.7. 3 3,3. Примеры точечного преобразования В качестве первого примера рассмотрим ту н<е систезу, что и при разборе метода припасовывания (9 3.1). Уравнения объекта п регулятора имеют вид (Ту+ 1)х = Й,хи рх, = Р(х), где Р(х) — гистерезисная релейная характеристика (рис. ЗЛО).
Эту систему уравнений перепишем в виде Т, ф+ у = — йгР(я), — = у. (3 17) Интегрирование их дает (3, 18) (3.19) у=с, " — йс, л = — Т,С,е-иг — йгс1-(- С . Используем здесь параметрический способ точечного треобразовапля. Обозначим ордппаты точек () и ф через ус и у~ соответственно. Закон точечного преобрааования )удем искать в виде функций уэ(т), у~(т). При начальэых условиях (точка ~)) 1 = О, л = Ь, у = уэ определяотся произвольные постоянные в (ЗЛ8) и (ЗЛ9): С, = ус+ й,с, Сэ = Ь+ Т,(уз+ й,с), На фааовой плоскости (л, у) нанесем линии переклю. яенля, соответствующие заданной нелинейной характеристике (рис.
3.10): л = Ь при у ) О, х = — Ь приу (О.Это Р7 ф будут полупрямые Пе и П~ ,(рис. 3.11). Ввиду нечетной симметрии характеристики Р(х) можно рассматривать только участок фааовой траектории Я)ь идущий от полупрямой Пэ до Пь гак как закон возвращения -г этой траектории к линии Пс будет аналогичен. Таким обра- Рис. 3.10. эом, будем рассматривать точечное преобразование полупрямой Пс в полупрямую П~ (а ке саму Пс в себя, как ранее).
Нри этом исходная точка Ч имеет последующую 0ь Пусть в точке ч будет г = О, а в точке Д~ обозначим ! = т. На участке фазовой траектории Я)~ имеем Р(х) = = с. Поэтому уравнения (ЗЛУ) принимают вид Т, — + у = — й,с, — =- у. яэ лэ 'лэ '' и Б точъс Д~ имеем Ь =. т, х = — Ь, у = уо Подставляя зти величины в уравнение (3.18)', получаем уе = (ус + ягс) е-тестю — загс, (3.20) а подстановка в уравнение (3.19) дает — Ь = — ~'1 (Уо + 1стс) е-Мт' — Дтст+ Ь+ 2', (Уе+ Йтс). Иа последнего уравнения непосредственно находим й ет — 2Ь 1 у т (1,-/') йтс т (3.21) Тогда иа (3,20) с учетом (3.21) получим й ст — 2Ь у = ' . е-мт — А;с.
Т (1 — е т~т') (3.22) 1 Формулы (3.21) и (3.22) и являются искомым ааконом точечного преобразования в параметрической форме. Построим диаграмму (рис. 3.12) точечного преобразования в аиде кривых уо(т) и у~(с). (Переменная у~ берется по абсолютному зяачению, так как она отрицательна). Здесь в одном графике отравлено все протекание переходного процесса (обоаначено стрелками) и периоди- ческое решение — точка пересечении кривых. При этом в переходном процессе найдены последовательные значения ординат уэ и уо а таниное времена т дэшкония на Рис. 3.13. 1аткдом участке, а в периодическом реэхпме — амплитуде у* и полупериод Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
