Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 14

Итак, направление является такой же основной характеристикой [например, момента), как длина, масса н время, Кроме того, зта величина не зависит от остальных основных величин. До сих пор прп записи формул размерности не делалось различия между [1] в одной формуле и [Ц в другой. Однако [Ц в формуле размерности для плотности [Мь '] и в формуле скорости [ЛТ-'] существенно различны. В формуле размерности для момента вращения [Г-'МТ-х] размерность длины встречается дважды, и хотя эти длины взаимно перпендикулярны, различие между ними не принималось во внимание. В формулах размерности, связанных с волновым движением, имеются две разные длины, перпендикулярные друг другу, а именно длина волны и смешение.

Однако обе эти величины обычно представлены одним и тем же обозначением размерности [Ц. Рассмотрим еше один пример, Цилиндр с вертикальной осью падает под действием силы тяжести в вязкой среде. Сопротивление движению зависит от линейных размеров тела, а также от плотности п вязкости среды и других физических величин. Было найдено, что в формулу размерности входит [х.п]— плошадь, Однако к какой именно площади относится [Ь'] — к плошади торцов цилиндра илн его боковой поверхности илп к площади обеих поверхностей? Метод размерностей в его обычном ниде пе дает ответа на поставленный вопрос.

Однако если учитывать различие между направлениями по диаметру п по ося цилиндра, то можно легко выяснить, что плошадь торца связана с плотностью, но не с вязкостью, а пло~цадь боковой поверхности имеет отношение к вяз кости, но це к плотности. 84 Таким образом, вывод состоит в том, что в случае , адобностп можно увеличивать число основных едп,пгц длины, массы и времени, «разлагаяэ размерность длины по трем взаимно перпендикулярныл| направлениям '1. Векторные единицы длины. Эти основные величины можно назвать векторными единицамм длины, разлпчаюшимися индексами, т. е. 1Е„], 1Е„], 1Е.,].

Первоначальную размерность для отличия будем называть скалярной едссяссцесс' длины и обозначать как 1Ц В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть векторные свойства размерности длины, в то время как направление вектора не имеет значения, можно пс. пользовать обозначение 1Ег]. Векторная единица Длины 1с,„] обРазУетсЯ пРн сложении вектоРов 1Е.а], ]К,] и И. Эгплс способом .сри сак называемые основные единицы измерения заменяются пятью единицами; кроме того, очевидно, что к новым размерностям в векторных единицах длины более подходит название основных, чем скалярных [Ц (по старому правилу), Такое на первый взгляд тривиальное изменение в выборе основных величин имеет в действительности больцюе значение.

Преимушества этого перехода станут более очевидными по мере изложения нашей аргументации. Некоторые нз них кратко отмечены в ближайших нескольких разделах. При использовании векторных длин многие формулы размерности сразу же становятся более информатпвнымп. Например, в слу сае гкороггп различие между с Т ' и ~.,Т-с очевндно. Последняя формула не только напоминает читателю, что скорость — векторная величина, но также указывает направление скорости, Пуля обладает равномерной горизонтальной скоростью н равномерным вертикальным ускорением. Обычно их размерности записываются как с Т-с и с-Т ' соответственно.

Однако насколько более ясной становится запись в виде Т.„Т-' и l,Т '1 В некоторых случаях линейную плотность проволоки можно ~«,„„*е, р,ц, „, с-'м;,э„„, ') Идея этого метода была предложена в 1892 г. Вильямсом у! н вновь анализировалась Муном я Спенсером в 1949 г. 14].

85 позднее будет показано, что в других случаях пред. почтительным является выражение ~„М. Вид формулы площади Е„~.„, ~„1., или ~,.Ь„лучше, чем Ы Формула размерности плотности в виде ~ зМ обычно бывает достаточна для решения задач, однако формулу для давления 3 МТ-' следует преобразовать. Давление равно нагрузке на единицу площади, и поэтому новая формула имеет внд Очевидно, эта формула или аналогичные две другие [которые можно составить путем круговой перестановки индексов) более информативны, чем старая Е 'МТ-'. Площадь в противоположность объему часто рассматривается как векторная величина. Ее ориентация в трехмерном пространстве имеет на>кисе значение.

Новый метод использования векторных единиц длины позволяет отобразить эту особенность в формуле размерности. Для случая распространения поперечных волн, очевидно, лучше выражать смещение и длину волны с отличными друг от друга размерностями [~.4 н [Ц~, чем выра>кать обе величины с одинаковой размерностью [Ц Ниже будет показано, что путем сообщения векторного характера размерностям длины можно вывести некоторые уравнения волнового движения без постановки экспериментов.

Дополнительным преимуществом прн использовании векторных длин в качестве основных единиц измерения является то обстоятельство, что вместо трех теперь имеется пять основных единиц. Следовательно, если все онк иеэависимьь в общем случае мы получим систему пз пяти независимых уравнений вместо обычных трех, связывающих неизвестные показатели формулы размерности. Таким образом, становится возможным выводить путем лишь анализа размерностей формулы физики, содержащие большее число переменных величин и размерных постоянных величин, чем раньше. Как мы уже вплели, чтобы вывести физпче. скую формулу, содержащую пять переменных, требовалась система из более чем трех уравнений, которые я=с й( — "„), Нетрудно понять, что оценка значения а зависит от экспериментально найденной зависимости, например, )с от !т, Однако эксперимент совершенно излишен, поскольку существует вполне определенная связь лтежду обозначениями, сразу же вскрываемая при использовании «более основных» единиц измерения, чем те, которые применялись ранее.

Используя вектоРы 1с,з! и (Т.з1, можно полУчить полное Решение с точностью до численного коэффициента. Обозначим вертикальные переме>цеиия и т. д, индексом г, а горизонтальные перемещения и т. д. индексом х, Составим новую таблицу: Обознз. ченне Формула рззмерноетн Физическая зелвчннз Ьт о.е ~з Р зз а и дальность полета Начальная скорость Начальная высота Ускорение силы тя- жести Т Т Как и ранее, Т.„=М,зт ')'Т.,'(Т.,Т ')', оси х) 1=а, осн г) О=Ь+с, О = — а — 2с.

а=1, Ь= —, /а (~=-С.т! ~/ Ы (длина по (длина по (время) Отсюда составля>отса путем приравнивания показателей прн Ь, М и Т. Используя т'.„, Ьр, Ьз, М и Т, можно получить систему из пяти уравнений, хотя часто лишь четыре из этих уравнений являются незавпспмымп. Используя новые приемы, рассмотрим снова задачу о полете пули, которая ранее была решена лишь частично. Было получено следующее решение: Обозна- чение Формула равмсрности Фнанчеснаи величина т. л т ' П, ' Дальность полета Начальная скорость Начальный угол наклона Ускорение силы тя- жести Записав функцию в виде рс = С и'у~а', получаем соответствующее уравнение размерности Ь =(,СТ ~ (Т,Т ') .

Угол а, который является безразмерной величиной, отсутствует в этом уравнении, и мы получаем формулу вида ух =С и Такой результат ничего не говорит о зависимо. сти тт от угла и. Повторим те же вычисления, принимая во внииа. нне векторные свойства единиц длины. Как и ранее, обозначим горизонтальное и вертикальное перемеще- Таким образом, зная, что С = 2, с помощью новых векторных основных единиц анализ размерностей позволяет получить полное решение задачи.

В качестве дальнейшей иллюстрации использования векторных свойств некоторых физических величин рассмотрим следующий пример. П р и м е р 2, Пуля выпущена с начальной скоростью и под углом и к горизонтальной плоскости, Найти дальность полета.

Если не вводить векторные обозначения, то получим следующую таблицу: ния и т. д, индексами х и г. Вместо и запишем и„ п и,. Запишем функцию в виде й! = С ° и,'и".й'. Тогда '7 (е.т 1=а, О=Ь+ О= — а а=!, 1.„. = (1.„Г (длина по оси х) (длина по оси г) (время) Отсюда с, — Ь вЂ” 2с. Ь= 1, !!г а Л и~соэамп а с= — 1.

Поэтому плн Зная, что С = 2, получаем полное решение задачи. Следующая задача предлагается читателю в качестве упражнения. П р и м е р 3. Пуля выпущена с начальной скоростью и под углом а к горизонтали над плоскостью, наклонной под углом Ь к горизонтали. Показать, что время полета определяется формулой С. "( -Р) я С05 р 89 Обязательные соотношения между величинами. Пример крайне простого решения задачи о пуле позволяет высказать дополнительные соображения. В задаче фигурируют четыре физические величины, обозначенные как !г, и, Ь, д. Необходимо связать их друг с другом функциональным соотношением1(й, и, й, а)= = О. В случае отсутствия ограничивающих условий число возможных соотношений бесконечно велико.

Однако, используя принцип однородности по размерностям в отношении длины, массы и времени, число возможных вариантов взаимосвязей четырех величин можно значительно уменьшить. Тем не менее это число не доводится до единственной функции, Таким образом, ве остается, по-видимому, ничего другого, как обра!цаться к помощи эксперимента, если требуется получить решение вида ! = О. Казалось бы, на первый или Т„МТ ~ ити 1~МТ Т~МТ ~, Таким образом, становится возможным провести разграничение между этими разнородными величинами. Угол также нет более необходимости считать безразмерной величиной.

Плоский угол может быть опп- 90 взгляд, что внд связи между Л, и, Й п и диктуется природой физического явления, требующего в свою очередь проведения определенных экспериментов для оонаруження этой связи. Однано на самом деле это не так. Четыре величины образуют функциональное соот. ношение, определяемое не внешней упорядоченностью или характером явления, а определениями и методами измерения самих величин. Ошибка возникает из-за неумения глубоко анализировать физические величины по нх основным составляющим. Когда единица измерения длины разлагается на компоненты, становится ясно, что сугцествующие между Я, и, й и л соотношения являются обязательными и единственными.

Онп могут быть установлены путем априорных рассуждений, что делает ненужным проведение эксперимента. Новый вывод формул размерности. Еще одно преимущество употребления векторных длин в качестве основных единиц состоит в том, что тем самым открывается новая возможность избем<ать использования одной н той же формулы размерности применительно к различным физическим величинам. Приведем несколько примеров. Хорошей иллюстрацией может служить формула размерности Т 2МТ '-' для работы (нли энергдн) н вращаюи~его мояента. Так как враща1ещий момент представляет собой произведение двух взаимно перпендикулярных векторов, формулу размерности удобно представить в виде Т,.МТ-' 1.„ = 1.„.1.„МТ-е плн путем круговой перестановки индексов в виде 1 Т-:МТ з нлн Т.,Т.„МТ-'.

С другой стороны, работу— произведение двух коллниеарных векторов — и ее формулу размерности можно представить как й,„МТ 1.„= 1.,МТ ~, ан формулой Е,.Л . Подобным же образом форму- ~а размерности для телесного угла будет иметь впд Формула размерности угловой скорости еперь приобретаат более содержательиьш внд '.,Ь„'Т ' взамен прежней формы Т-'. Ранее мы отмечали, что коэффициенту теплопрозодности и вязкости соответствует одна и та же формула размерности 1 МТ '.