Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 16

можностей нового метода по сравнению со старым Таким образом, задачи, для которых не было полу. чено полного решения в гл. 1Ъ', подвергаются здесь пересмотру с целью получения такого решения. Пред лагаем читателю самостоятельно решить некотопые П р и м е р !. Найти формулу периода колебаний ареометра Никольсона с массой М, плавающего в жидкости (например, в воде), прп небольшом смещегпн его вниз от положения равновесия, а затем вверх; поперечное сечение стержня прибора равно з, плотность жидкости бр. Ранее для этой задачи было найдено следующее решение: Обычный метод не позволяет определить значение показателя а.

Примем теперь во внимание направление единичной длины, причем ось Оа будем считать вертикальной. Новые формулы размерности представлены в следующей таблице: Обоэна- чсннс Фиэнчсскан нслнчнна Формула раэмериости Период колебаний Масса ареометра Поперечное сечение стержни прибора Плотность жидкости Ускоренна силы тижестн С-'Ь-'7," г р г М т-э Как и ранее, представим уравнение, содержащее эти переменные в виде Ма а~с и Однако уравнение размерности выглядит теперь следующим образом: 7 за. арэ 97 1з задач, а затем уже познакомиться с дальнейшим ~ екстом.

В гл. ГЧ было показано, что задача из области рпдроститики (пример 4, стр. 56) не имеет полного |ешения, если использовать обычный анализ размерностей. Рассмотрим снова эту задачу, используя попый метод анализа размерностей. т = М'(7,7 „)'(~.,-'7:„'7.-, 'М)'((.,т-')". Теперь у нас имеются четыре неизвестных показа. теля, определяемые системой нз пяти уравнений. Од.

пако эти уравнения зависят друг от друга; оии сво. дятся к четырем ввиду симметрии системы относительно оси Оас Отсюда ! ! а=— г ' Ь= — —, э ! ! с= —— г ! 6( = —— г' ! С М!3 !а !а ! Следовательно, или, так как мы знаем из других нето !няков, что С 2ж, Для дальнейшей иллюстрации возросшей эффектив. ности метода размерностей обратимся к другой за- даче, неполное решение которой было дано в гл. 1Ч (пример 18, стр.

74). Пример 2. Определить энергию натянутой про. волоки, колеблющейся с частотой основного тона. Таблица переменных величин, фигурирующих в этой задаче, составляется с необходимыми измене. пнями в формулах размерности. Проволока распола. гается вдоль оси х, а смещения, перпендикулярные проволоке, — параллельно оси з. Энергия колеблю. щейся проволоки в это работа, совершаемая при ее смещении вдоль оси х; следовательно, размерность энергии есть 1.,МТ з ° (, (длина по оси х) (длина по осн р) (длина по оси х) (масса) (время) О =Ь вЂ” с, О =Ь вЂ” с, О= — с+а, О=а+с, 1 = — 2И.

Обозна- чение Физнческзн неличинз Формула размерности о 1к М Т Энергии колебанвй Частота колебание Длана проволоки Лвнейнав плотность проволоки Амплитуда лунности Т ' А Ьз Уравнению Е = С ° те(ьгпсА" соответствует уравне. пе размерности 7.:Мт =(Т ) Е ().„М) Е„ (длина по оси л) О=Ь вЂ” с, (длина по оси г) 2=с(, (масса) 1 =.с, (время) — 2 — а. Таким образом, а=2, Ь=1, с 1, та=2, и поэтому Е = С ° тт(пт1) А'-'. Полученный здесь результат отличается от прежнего решения (стр. 74), когда векторные единицы не ис- пользовалистм гАзи Е= С тз(зла '( — ~, где оз было неизвестной величиной.

Теперь можно найти полное решение еще одной задачи, неполное решение которой дано в гл. 1Ъ' (пример 9, стр. 64). П р и м е р 3. Найти высоту поднятия жидкости в капиллярной трубке. В этом примере с особой тщательностью должна быть составлена формула размерности для поверхностного натяжения 5, которая раньше имела вид А(Т '.

Эта формула недостаточно совершенна. Пусть вертикальное направление соответствует оси Ог прямоугольной системе координат. Тогда По той же причине размерность радиуса трубки бу- Ч Ч~ дет иметь вид Е ~'Е,~'. Новая таблипа имеет следующий вид: Обоаиаче- нне Формула раамераоетн Фнеачееаая аелнчииа Высота столба жид- кости х р х ЕуеЕ уе х р е-'/яе-%е Плотность жидкости Радиус трубки М Т Поверхностное натяжение Ускорение силы тяжести Краевой угол т ' о й Новое уравнение имеет впд Ь = С р'г~5,'у~6'. Уравнение размерности в этом случае ~., =(Т,-'й,„-'Е. 'М)' и".*Т.'„')' (1.,—'|.„-"*Е,МТ-')' (,Т-.)". Отсюда мы получим пять уравнений, связывающих показатели а, 6, с и Н, два из которых ввиду осевой симметрии одинаковы.

В результате решения уран. пений найдем следующие значения показателей; а= — 1, с= — 1, с=1, б1= — 1, Отсюда А=С р 'у '5й ', 1оо эффективная составляющая поверхностного натяже. ння выражается как 5, = Я созй и, согласно опреде. лению поверхностного натяжения, размерность 3, есть либо Е,МТ '(Ех, либо Е,МТ а)1.р.

Но для сохра. пения условий симметрии относительно оси Ог выразим размерность так: ЕхМТ Е'Ь Еде х р Так как С = 2п, окончательно получаем й=2п —. Юсоза гое П р и м е р 4. Тело, подвешенное на нити, которая закреплена в неподвижной точке, движется по окру>кности в горизонтальной плоскости; при этом нить описывает поверхность конуса, ось которого направлена вертикально через точку подвеса нити. Найти скорость тела. Решение задачи зависит от значительного количества физических величин, сведенных в следуюшую таблицу: ов- зиа ~а- вве Формузж размериоети Физаеееиаи величина Е Е Е М Ь М Т Е Т Длина нити ! Высота конуса ь радиус вращения г Гласса тела Натяжение вити Ускорение силы тяжести Тангенциальная ско- о рость Угловая скорость ы 11ернод Наклон гизги и верти- 0 изли Т Т-! Т ЕЕ 101 Конический маятник.

Задача о коническом маятнике является поучительной. Будет показано, что полное решение мок!но получить, если выбрать физические переменные так, чтобы уравнение было уравновешено в отношении взаимно ортогональных векторных величин. Отметим, что в задаче не проводится различие между положительньрм и отрицательным направлениями векторош Тем не менее такое различие является желательным и иногда дает полезную информацию.

Не все этн величины независимы друг от друга, Например, А 1соз9, в= —, Рсозй=тн, ьь1=2и и т д, Так как ранее было установлено, что период ко- лебаний математического маятника не зависит от его массы, то ль можно временно не учитывать. От- сюда следует, что г тоже не учитывается. В предав. рительном порядке представим о как функцию трех переменных: о = С ° 1ьгьдь. Соответствующее уравне- ние размерности имеет вид Т.Т-' = 1.'1.'(1.Т-')'.

В результатй получим следующее решение: ='Чга( ( —,) или, в более общем виде, о = ЗГИ 1 (вьп 9), где функция 1 остается неопределенной. Более содержательное решение можно получить, если представить переменные в виде векторных вели- чин. Полагая, что ось г является вертикальной, раз- ложим 1 на следующие составляющие: 11 (ось кону- са), параллельную оси а, и г (радиус основания), перпендикулярную оси а.

Обозначим размерность й как Е., Возникает вопрос, как обозначить размер- ность г — через 1.„ или Т,„ Ради сохранения осевой симметрии системы запишем формулу размерности г и чю в виде 1.„11.ь. По этой же причине представим о в виде ььг, где ьь — угловая скорость, имеющая раз- мерность Т-'. Таким путем получим новое уравнение 1,ьгь ь и соответствующую ему формулу размерности 1Ь1 !Т, (ь(1Чьг И)ь(1 7 1 Ь (длина по оси к) 2 2' 1 Ь (длина по оси р) (длина по оси г) О=а+с, (время) — ( =2с. 102 1 с=— 2 а= — — б 1, 1 2 ' вг = С ° Ь агу~', Таким образом, ос=С г' Я =д1 з1па 1аа, а т. е.

так как величина С, определенная с помощью других методов, равна 1. Итак, использование векторных свойств размерности дтины, приведшее к введению дополнительной физической величины, и позволило определить функцию 1. Динамика вращательного движения, В этом разделе приводятся дополнительные примеры по проверке формул.

Эти формулы должны быть уравновешены в отношении векторных величин, т. е. они должны быть однородными в отношении векторных длин. Заметим следующее, Осуществляя такую проверку, следует обратить внимание на то обстоятельство, что некоторые векторы, находящиеся в причинноследственной связи, взаимно перпендикулярны, й1згнитное поле, создаваемое движушимся электрическим зарядом, перпендикулярно направлению движения последнего.

Вектор ускорения тела, движущегося по акружностн, перпендикулярен вектору скорости. Такие особого рода взаимосвязн между векторамп следует нметь в виду в ряде случаев. При использовании анализа размерностей в задавит по динамике вращательного движения твердых тел применение векторных длин позволяет избежать путаницы. Например, как отмечалось в гл. Ч, в этом случае можно провести различие между размерностью момента вращения и размерностью работы.

Как известно, размерность работы есть 13МТ-', без 1чета векторных свойств длины размерность момента зрзщения также выражается формулой 1тМТ-'. Но так как сила действует перпендикулярно плечу, моиеят вращения можно представить теперь в виде с С„МТ Найдем, например, выражение для момента инерчяи прямоугольной пластины длиной Р и шириной Я относительно оси, проходяшей через ее центр и параллельной ее длине. Если т — масса, приходящаяся а соответствующее уравнение размерности приобре. тает форму 1.'И = (1. М) 1.'1.'.