Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 11

Следовательно, а = 1, Ь = 4, с = — 1, РМ а поэтому Г=С Значение С, найденное с помощюо других методов, равно —; в итоге уравнение Пуазейля имеет вид (Р~ Р2) г 6 1ч Этот результат показывает, что прн пользовании этой формулой для определения т( радиус трубы должен быть измерен с весьма высокой точностью, так как коэффициент вязкости зависит от радиуса в четвертой степени. Полученная формула справедлива для ламинараого потока жидкости. Если скорость жидкости в трубе превысит определенную критическу1о величину, возникает турбулентное движение.

В следующем примере вязкость газов рассматривается с точки зрения молекулярно-кинетической теории. П р и м е р 7. Полагая, что вязкость газа пропордкональна средней длине свободного пробега его молекул, показать, что прп постоянной температуре оиа ае зависит от плотности газа.

Предварительно требуется выявить физические величины, которые влияют на вязкость газа. Такими величинами должны являться плотность газа, средняя скорость движения его молекул, пх диаметр и ~Редняя длина свободного пробега. В число таких 61 Обозна. ченне Формузз рззнерностн Фнзнчеснзн везнчнн» и Тз с-з у 1 Вязкость Плотность Средняя скорость Диаметр молекул Средняя алана сво.

бодного пробега молекул Ч Р с гт Л Связь между этими величинами можно предста. вить уравнением т) = С р'с~0'Л»; соответствующее уравнение размерности имеет впд т.-'мт '- ((.-'м)'((.т-')' (.'с", (длпна) — 1 = — За+ Ь+ с+а', (масса) (=а, (время) — 1 = — Ь. Следовательно, а = 1, Ь = 1, с = 1 — б(, аз =4 т1= С рс0 ~ — ) и поэтому Так как задано, что т! пропорционально Х, то г( = 1 и т) СрсЛ. Легко показать, что плотность р должна быть сб ратно пропорциональна Л, т.

е. р = й!Л, где Ф вЂ” вб' стоянная, и окончательно т! = СИ. Мы получили, таким образом, удивительный зультат; вязкость газа не зависит от его плотностб Он был экспериментально подтвержден Максвелле" 62 величин не включены число молекул в кубпческоа сантиметре и молекулярный вес газа, так как она уже отражены в плотности газа. Ниже приведена таблица, содержащая размерности переменных вела. чип. Рассмотрим третий пример, связанный с вязкостью: задачу о падающей дождевой капле. Обозна- Фанвула Флзвчеслал велпчлпз челло ~ рззмеввостн Соиротивлеиие двпжеииго Вязкость воздуха Скорость дождевой капли Рвдиус капли В М Т-з М Т ' Т ' Зависимость тс от остальных переменных выра- жается уравнением 1с = С т1'о'г'. Соответствующее уравнение размерности имеет вид бИТ =(Е 'МТ ) (1.Т ) Ь', где а=1, 6=1, с=1, Следовательно, 1с = Ст1ог (где С бп).

силн плотность принять равной 1, то вес капли равен ч з иг~д. Скорость падения постоянна, когда вес уравновешен силой сопротивления 1с. Приравнивая 63 П р имер 8. Определить силу, с которой воздух противодействует падению мелкой дождевой капли. В числе переменных, существенных в данной задаче, оказываются сила сопротивления двинсению, плотность п вязкость воздуха, диаметр, вес и скорость капли. Очевидно, что это достаточно сложная задача. Полное решение, которое дано в гл. Л, можяо получить с помощью метода, изложенного в гл.

тт. В целях упрощения задачи введем некоторые огоанпчеппя. Так как величина капли предположительно мала, можно пренебречь ее весом по сравненшо с силой ее вязкого трения о воздух. Плотность воздуха также мох(но исключить, поскольку мала н скорость капли. Оставшиеся физические переменные даны в таблице. эти величины, найдем предельную скорость падения 2 г'д о= — —.

Таким образом, скорость, будучи пропер. 9 ч циональной г', весьма мала для очень мелких ка. пель, которые образуют вновь сформированные об. лака. Например, дождевая капля диаметром '/з лл падала бы с постоянной скоростью около 1 м/сек. Поверхностное натяжение. Поверхностное натяжение — широкая тема, требующая привлечения сложного математического аппарата для ее исследования, Элементарные примеры приведены здесь с целью по. казать, что применение анализа размерностей пе ограничено лишь задачами кинематики. Прежде всего, найдем формулу размерности для поверхностного натяжения.

Она выводнтся на основе определения этой физической величины. Принимается как нечто доказанное, что на каждой поверхности, разделяющей две жпдкости, жидкость и твердое тело, жидкость и газ, существует поверхностное натя. жение. Оцо определяется как сила, действующая на единицу длины в плоскости, касательной к поверхностя раздела, в направлении, перпендикулярном элементу линии, находящейся на этой поверхности и проходя.

щей через эту точку. Поэтому размерность поверхност- 644Т ' ного натяжения имеет впд ' = МТ . Эта фор. Е мула совпадает с формулой размерности для энергия на единицу площади Поверхностное натяжение является абстракцией. Нз поверхности жидкости пет никакой «сжимающей пленки». Более близко к реальности понятие об энер. пш сво~ одной поверхности.

Обычным экспериментом в курсах элементарная физики является определение поверхностного натяже. ния жидкости путем измерения высоты ее столба з капиллярной трубке. П р имер 9. Найти высоту поднятия жидкости 4 капиллярной трубке. 64 Можно полагать, что все физические величины, сушгстненные в этой задаче, уже известны читателю. Обозна- чение Формула размерности Физическан зелнчина Высота столба жидкости Плотность жидкости Радиус трубки Поверхностное натижение жидкости Ускорение. силы тижести Краевой угол р Е ' М Е Считая й зависимой переменной, имеем й = С р 'В'д"О'. уравнение размерности имеет вид Е=(Е уИ) Е'(МТ ') (ЕТ ) .

л С ° г( ~~) . Эту формулу можно практически использовать, лишь дополнив ее каким-либо экспериментальным фактом, например тем фактом, что й обратно пронорциональна г; в этом случае а = — 1, и В=С ° —, где С=2созй. Я грй Иногда предварительный анализ размерностей дает указание экспериментатору' на тот тип эксперимента, который обеспечивает получение полезной информадни В данном случае очевидно, что полезным яви~ется определение зависимости й от г. Зак.

брр 65 Так как отсюда получаем систему трех уравнений с четырьмя неизвестными, можно представить любые трп неизвестных через четвертое. Таким образом по- лучаем Эта задача может быть решена методом размерив. отей без постановки дополнительных экспериментов, если вместо Е ввести другую основную единицу изме. ренин (см. стр.

99). П р и м е р 1О. Определить избыточное давление газа в мыльном пузыре. Здесь снова предполагается, что читатель уже знаком с этим вопросом и знает, что при данной температуре избыточное давление в мыльном пузыре зависит от его радиуса и от поверхностного натяжении мыльного раствора.

Обозиз- чеияе Формула р е з л~ е р и ос т и Физическая зеличзпы а1 т- Избыточное даиление Радиус пузыри Поверхностное натя- жение М Т' Представим искомую зависимость в виде С и о 3 уравнение размерности в этом случае Е 'МТ ~ = Е' (МТ а~~, откуда а= — 1, б =-1. 5 Следовательно, Р = С Значение С, найденное друпгащ методами, равно 4, Следующая задача изучалась Релеем 12]. Его заинтересовало явление «пульсацин» сферической кап. ли, образующейся при истечении жидкости из круглого отверстия.

Слегка деформированная сферическая капля, предоставленная затем самой себе, ввиду действия сил поверхностного натяжения «пульсирует» относительно положения равновесия с частотой, которая дает меру поверхностного натяжения жидкости, П р и мер 11. Найти частоту «пульсации» небольи1ой сферической капли жидкости, падающей из круГЛОГО Отве'рсютя. Обозна. Фознеескзн зелоеннз Формула рззмерностн Частота «пульснцин» ~ Поверхностное натяжение жидкости Плотность жидкости Рнднус келли Т ' ом Т 2 Зависимость т от других переменных: т = С ° Я'р~г'. Уравнение размерности имеет вид Т =(МТ е) ([.

'М) /.'. Отсюда получаем а = '/и Ь = — 1/к и с = — в/, т=С )/ —,. т=С Я'р г'д, то результат будет иметь вид Здесь необходимо определить величину а. По мере того как капля уменьшается в размерах, в.зияние д, которое пропорционально гз, уменьшается быстрее, чем влвяние поверхностной энергии 5, которое про"оршьонально г'. Таким образом, для мелких капель ~~иянием и можно пренебречь по сравнению с 3. По- Читатель может выразить удивление по поводу того, что вес капли не является фактором в данной задаче, н потребовать включения д в число переменных. Ко.