Г.И. Хантли - Анализ размерностей (1155757), страница 13
Текст из файла (страница 13)
/ » личина. Таким образом, период колебаний камертона прямо пропорционален длине его ветвей. Однако за. висимость периода от г нельзя определить без усовершенствования анализа размерностей, которое рассмотрено в гл. Ч (безразмерному числу г можно прп этом приписать размерность СрУ. ). 76 модуль упругости и плотность материала ветвей ока. зывают влияние на период колебаний. Еще одним фактором является длина ветвей, ввиду чего можно ввести фактор конфигурации поперечного сечения г, представленный как отношение ширины к высоте, Эти величины сведены в следующую таблицу: Как вводный к гл, Ч рассмотрим последний прнялр из области акустики. Фпзические величины, существенные в этой задаче, ;1лпы в нижеследующеи таблице, Г разяческая аслкчкаа Одсзаа чсапе Формула размераостк Г1 , Время реаерГ>ерлц>ги Скорость звука , Длина комнаты Ширина комнаты Высота комнаты з>ъем комнаты Т Т 1,; Ьр Ь»Ь„1.
1» 1г 1» Уравнение, связывакнцее эти переменные, имеет вид 1=О'О з з>Р>з»г ° Соответствующая формула размерности выглядит как Т (Ьт Ь>> Ь» ~ ) Ь»ЬрЬ (Ь»ЬрЬ») ') Ревербераиией называется время, в течеине которого плотность звуковой знергии уменьшается до одной лшллионной доли аервоиачального значения. — Прим. перел.
П р п и е р 20. Определить время реверберации '1 для комнаты в зависимости от ее линейных размеров. Очевидно, что это время зависит от скорости звука в воздухе. Можно предположить, что око занисиг также от длины Ь„, ширины Ь„и высоты Ь, комнаты, а также от ее объема 'зг. Здесь размерность длины дава дифференцированно по направлениям Ьл, Ьр, Ь,.
Йз соображений симметрии формулу размерности для сгорости звука представим в виде Пять неизвестных показателей степени связаны сиота. мой из четырех уравнении; (длина по осп х) О= — +Ь+е, (длина по осп у) О= — +с+с, О = — +!(+ с, 1= — а, (длина по оси г) (время) 1 а= — ! Ь= — — е, 3 ! 1 с= — — с, и'= —,— е 3 ' =3 е=е. Следовательно, ! =Со 1,ь '1„ь '1Ь '1", т, е. Перед тем как закончпгь эту главу, необходимо сделать следуюшее замечание, с1итатель, уяснив себе возможности анализа размерностей, позволяюшего легко, почти механически получать многие формулы из курса элементарной физики, с которыми он уже был знаком, может прийти к выводу, что области применения метода значительно шире, чем это фак.
тически имеет место. Разнообразие задач, которые здесь рассматривались, действительно указывает на широкие возможности метода. Тем не менее имеются очевидные и жесткие ограничения метода размерно. отей. Соображения по этому вопросу уже были из. ложены в гл. П1. Вывод полных физических уравнений и формул не может быть осуществлен с помошъю метода размер. ностей, обычные математические методы действуют в этом случае лучше. С этой точки зрения достоинства метода становятся его пороками, так как глубокое проникновение в фпзическу!о проблему и ясное понимание необходимых соотношений, существующих между сопутствующими ей переменными величина. ми, не вполне доступны исследователю из-за кратко сти и механической, стандартной однотипности прие.
мов анализа размерностей, Тем не менее нельзя отрицать, что ценность метода заключается в спо. собности восстанавливать забытые формулы, нахо. ;цть алгебраические ошибки и т. д. Ясно поэтому, что следует приобрести привычку рассматривать уравнения физики с точки зрения их размерностей. ЛИТЕРАТУРА ! Го а г ! ег 3. В. 3., 1.а Тнеог!е Апа!у!!Чае бе )а С(га1епг (1822!. 2, гг в У1е!Я)г, Ргое. ))оу. 5ое., 29А, 71; 34, !ЗО; 47, 281; 77а!аге, 95, бб (1915).
З, и а у 1 е 1 а )г, РА!!. Маа., 41, 197 вид 274 (1875) . 4, К а у1е! 8Ь, е!а!иге, 95, бб (1915). Глава Р СОСТАВЛЯЮЩИЕ <ОСНОВНЫХ» ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ В гл. 111 указывалось, что со времен Фурье основы анализа размерностей не были развиты далее, хотя сам предмет и интересовал многих ученых. Поскаль. ку такое положение вне сомнения сохраняется до снх пор, то следует рассматривать содержание этой главы как наиболее важный шаг вперед по сравнению со всем, что было предложено в этой области за весьма длительное время.
На страницах этой книги не раз уже указывалось, что единственным критерием при оценке метода размерностей должна быть практическая пригодность. Приведет ли изменение старой точки зрения илн освящеяного временем метода к расширению его возможностей или увеличению его полезности в качестве «пнструмента» в руках ученого? В таком аспекте следует рассматривать любую попытку более полного освоения илп улучшения метода размерностей. Мы увидим, что при таком подходе к делу новая точка зрения, изложенная ниже, значительно обогащает метод. Нинсе будет показано, что две величины, долгое время считавшиеся основными, — длина и массив могут быть преобразованы к более простым, первич. ным составляющим и что использование соответствующих компонентов позволяет разрешать многие неясные вопросы и делает анализ размерностей бо лес содержательным.
Рассмотрим прежде всего некоторые неудовлетво. рительные особенности формул размерностей. В пер. вых наших примерах как плоский, так и телесный угол считаются безразмерными величинами. Угловаа скорость и частота имеют одинаковую формулу раз мерности: Т-'. Г!римером, встречающимся при нзуче' ипн ГнроскопОВ и ВолчкОВ, может служить такнсс .Омент количества движения. Формула размерности ;;орости изменения момента количества движения имеет вид ТМТ ° — с=ЬМТ и.
Ио в то же время это и формула размерности для энергии. Конечно, это н формула для вра2цаюшего момента, который пропорционален скорости изменения момента количества движения. Итак, здесь одна и та же формула размерности соответствует более чем одной физической переменной. Еще одним примером могут служить модули упругости. Модуль сдвига Тангенциальное напряжение на единицу площади Угловая деформация Объемный модуль упругости Сила сжатия на единицу площади Х Относительное изменение единицы объема Формула размерности в обоих случаях 1.-'МТ-а.
Следую2цнй пример — коэффициент теплопроводности и. Он связан с количеством тепла с2, проходящего в единицу времени через площадь А, соотношением ~ =йА — 1, ЫВ где — — градиент температуры, ~ — время. Если ИВ щ принять, что размерность (~ одинакова с размер. костью энергии ЫМТ-и и что размерность й одинакова с размерностью квадрата скорости (ЬТ-')и, то Размерность коэффициента теплопроводности будет 2й1 Е ~МТ Однако это также и размерность физической величины совсем иного рода — вязкости. Этн примеры убеждают нас в существовании опРеделенной двусмысленности системы единиц ЕМТ.
й то время как каждой физической величине можно 6 зак, ааа В2 приписать лишь одну вполне определенную формулу размерности, обратное утверждение не является пра. вильным, Существуют некоторые формулы размерив. стей, справедливые для более чем одной физической величины, Такое положение вешей нельзя признать удовлетворительным: должно существовать вполне определенное соответствие между физически. ми величинами н их формулами размерности.
Теперь обратим внимание на другую сторону вопроса. Примеры в гл. 1Ъ' показывают, что обшее решение задач с помощью анализа размерностей возможно, когда число независимых физических величин превышает число основных величин (А, М, Т, . ) на единицу, Если имеет место превышение на две или более единицы, то чясло неизвестных показателей степени превышает число уравнений, которые связываээт их друг с другом.
В этом случае становится необходимым выражение некоторых показателей через посредство других, что в итоге приводит к неполному решению задачи. Следовательно, в этом отношении мы получили бы определенное преимущество, если бы можно было увеличивать число независимых основных единиц измерения. В этой связи рассмотрим задачу о дальности полета пули. Дальность полета пули.
Пример 1. Пуля выпу. иена с начальной скоростью и в горизонтальном направлении на высоте й от земной поверхности. Опре. делить дальность горизонтального полета пули. В этой задаче имеются три переменные величины я одна размерная постоянная, представленные в сле. дуюшей таблице: Представив искомую зависимость в виде й> = С и'I> я', получим формулу размерности Л =(1.Т ')'Ь" (ЛТ ~', (длпна) ! е а+Ь+с, (время) О = — а — 2с. Так как имеется система только двух уравнений с тремя неизвестными показателямп, то два из них должны быть выражены через посредство третьего: а=а, Ь=! —— с= — —.
2' 2' Отсюда ??=с й~ —," ) . В этом примере четыре физические величины выражены через посредство двух основных величин; следовательно, полное решение получить невозможно. Число физических переменных не может быть уменьшено. Однако нельзя ли увеличить число основных единиц измерения? По вопросу о наиболее удобном выборе основных величин на страняцах научных журналов высказывались различные мнения.
В (!) предполагалось уменьшить число основных единиц до двух, оставив лишь единицы длины и времени. В этой системе масса имеет размерность !.'Т '. В (21 к основным единицам длины, массы и времени предлагается добавить еше единицу количества электричества О. Изучающие анализ размерностей обычно не обращают внимания иа то, что размерность длины не является в той мере основной, в какой ес принято считать в связи с долговременным употреблением в этом качестве. В действительности она может быть разложена на составляющие, которые являются более «первичными», чем сама размерность длины. Такое разложение, увеличивая общее количество основных физических величин, независимых друг от друга, дает возможность получить точное выражение некоторых формул физики, показатель степени в которых ранее оставался неизвестной величиной.
С другой стороиы,это устраняет б» путаницу в формулах размерности, когда одна и та же формула справедлива для двух и более физических величин. Многие величины в физических уравнениях, такие, как скорость, ускорение, момент, называются векторными, поскольку они обладают свойством направленности н характеризуются численным значением. Они отличаются от других величин, называемых екпллрнымп, таких, как масса, которые харзктеризуются лишь численным значением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
