Г.И. Хантли - Анализ размерностей (1155757), страница 17
Текст из файла (страница 17)
1=С тР~" ь, 1 С МассаХР Х4! Отсюда т, е. Значение Ь остается неопределенным. Однако, если полагать, что длина Р параллельна оси х, а ширина пластины Я параллельна осп г, получаем новое урав. пение размерности 1.',1г! = (1,„'1., 'М) 1.',1.'„ откуда 1=С ° тРЯа=С Масса Х Яа. Полное решение получаем, подставив С = '/,. Ниже приводится пример, когда величина угла рассматривается в качестве независимой основной величины. П р и м е р 5. Найти пару снл, закручиваюших про.
волоку с подвешенным на ней грузом. Определяем модуль сдвига материала проволоки. Допустим, что радиус проволоки г, а ее длина ! Пусть она закручена на угол ~г парой сил с. Вначале найдем формулу размерности для модуля сдвига со. гласно его определению. Модуль сдвига равен огню. вению напрягкепие/сдвиг, Напряжение — это тапгеи. циальная сила, деленная на площадь, нормальную силе.
Сдвиг, который является срезающпм, равен гф!. Вначале мы не будем учптывать направление раз. мерности. Тогда формула размерности модуля сдвига имеет вид Напряжение Тангенциальнаа сила ге !Ч! Сдвиг Площадь, норнальнаа силе ' т. е. 104 на единицу плошади, то момент инерции 1 можно представить в виде 1 = С т"Р~Я; Переменные величины сведены в следующую таб1ицу: Обозначе.
нне Формула размерносгн Фнзнче*нел еелнчнна дз М г-' у. ' М Тз Ь В Пара сил Модуль сдвига Радиус проволоки Длина проволоки Угол закручнвання Если рассматривать пару сил в зависимости от остальных переменных, получаем с = С ч'г 1'ф~. Уравнение размерности имеет вид 1,~МТ =(Е МТ ) Л Е Безразмерная величина ф была опущена 2= — а+ с+с, (-а, — 2 = — 2а.
с=С пга '('=С пса~фу). (длииа) (масса) (время) Таким образом, 106 Этот ответ не представляет ценности. По одной из причин, пара сил является здесь функцией угла ф, и зта величина должна быть отражена тем или иным образом в уравнении размерности. Повторяя предыдущие вычисления, но без использования векторов, следует позаботиться о том, чтобы формула размерности сохранила симметрию, Если принять ось проволоки в качестве оси з, то возникает вопрос о том, как представить тангенцнальную составляющую пары сил: в виде Р, = = е.„МТ-а или гк = ) нМТ-к. Для сохранения осевой симметрии представим ее как Р = )'Р„Р'„= Е ~*1,„ьМТ Угол р имеет нулевую размерность и, таким обра. зом, не входит в уравнение размерности.
Однако как мы уже видели, пара сил с является функцией чр Поэтому в виде попытки предположим, что угол имеет размерность 0 и является основной величиной, как длина, масса и время. Срезающий сдвиг гера теперь будет иметь формулу размерности Т.'ЬТ,',~*цТ,, р ГЕ Г.уи.р МТ-' Т.'пауза Напрнженис РИ Сдвиг Площадь ' ! т.лС,р ' Ь [ц1 = Т., 'Л„'Т„Мт В т.
е. Переменные величины, которые зависят от с, сведены в следующую таблицу: Обо. Фмзочесяая аелачзмз зааче- мае Формула разиераосзм М Т-з М Т' В-' Пара сил Модуль сдвига ~лз-р Т.„гт,„'Т. з Чзт уз я р Ь» Радиус проволоки Длина проволоки Угол аакручивавпп Отметим, что ии одна из этих формул размерности не симметрична относительно оси г. Представляя пару сил как функщпо остальных переменных, полу.
чаем с С ч1'г~1'р" и уравнение размерности Теперь имеется шесть основных величин, связы" вающих четвгре неизвестных показателя, но вслед. стане ранее установленной равнозначности 1.а и Ьр удут иметь место два одинаковых уравнения' (длпна по оси х) 1= — а+ —,, э с 1= — а+— 2' (длина по оси р) с — 1, а 1. а 1, Ь=4, с = С ° т1г~Г~~р. 1мея в виду, что С = и/2, получаем полное решение! ячгчр с=— 21 Еще один поучительный пример, показывающий зспользование — скорее в этом случае необходиюсть — векторных обозначений для размерности длины, связан с определением энергии бегущих или стоячих волн в жидкости, Эта задача не может быть решена путем анализа размерностей, если использовать обычные основные величины — недифференцированные длину, массу и время.
Однако применение векторных величин позволяет получить полное решение. П р и м е р 6. Определить полную энергию системы водяных волн между двумя плоскостями, находящп~ися на единичном расстоянии. Плоскости параллельны направлению движения волн. Нетрудно понять, что энергия есть функция плотзости жидкости, длины и амплитуды волн, а также чскорения силы тяжести. Вначале не будем прова~ать различия для направлений единичных длин, как ~то отражено в нижеследующей таблице: 107 (длина по оси г) (масса) (время) (угол) Отсюда Таким образом, О=а+с, 1=а, — 2= — 2а, О= — а+А Обо. виана.
нне Формула размерности Фнаанеснан венсенне и ту-з тн ь Энергия волн Плотность среды Длина среды двзилнтуда волны Ускорение силы тяже. сти Е= С р'ЛьА'д~ и формула размерности есть Г.змт '=1'Е зМ)" Е"~.'1ат '). Существенная особенность этого уравнения: здесь нет возможности провести различие между показателями 6 н с.
Следовательно, нельзя найти показатели при д и А, влияющие на Е. Решая уравнения относительно показателей, по. лучаем Ь= 3 — с, Н=1, с=с, откуда Е=С.рхз (-л)'. Форма зависимости энергии от длины и амплитуды волны остается неопределенной. Повторим вычисления, учитывая на этот раз направления единичных длин. Пусть ось х расположена горизонтально, параллельно ограничивающим плоскостям, а ось г направлена вертикально. Энергий волны, которая равна работе, совершаемой прп пере мешении воды против силы тяжести в вертикальноМ направлении, будет иметь размерность Е,МТ - "Х Ь 108 Следует оти1етпть, что поскольку рассматривается двумерная задача, то здесь плотность — это масса на единицу площади.
Уравнение, связывавшее переменные величины, имеет вид Новые формулы размерности приведены в следую- щей таблице: Обозиаче- ине Физическая зелачииа Формула размерности зв а-! з-! я 2 ь» Ь» Энергия волны Плотность среды ' Блина волны ! Амплитуда ночны Ускорение силы тяже. стп 3 Как и ранее, уравнение, связывающее переменные величины, имеет вид Е = С ° р'А~А'д", а из него мы получаем новое уравнение размерности ~.'МТ ' = (Е„-'Т. М)' 1.'„1.',(1.,Т-"')' Таким образом, с помощью дополнительной размерности становится возможным найти зависимость, которую ранее нельзя было получить обычными приемами анализа размерностей, а именно что энергия волн пропорциональна первой степени длины волны и квадрату амплитуды. Значение С равно !/2 для бегущих волн и !/е для стоячих волн, причем половина 109 Уравнение позволяет провести различие между показателями Ь и с, так как они относятся к разным основным величинам Е„и Т, Число уравнений, свя- зывающих четыре неизвестных показателя степени, возросло с трех до четырех; (длина по оси х) О = — а+ Ь, (длина по оси г) 2 = — а+ с+ 21, (масса) !=а, (время) — 2 = — 22(.
Отсюда а=1, Ь=1, з поэтому Е = С ° рХАзху. энергии приходится на кинетическую энергию, половина — на потенциальную. Классическая задача. Рассмотрим в качестве за. ключительного примера использования векторных размерностей более трудную задачу Стокса о падении шара в вязкой среде. Миллекен позднее блестяще использовал ее для определения заряда элек. трона по падению заряженных капель масла. При мер 7. Найти скорость шара, падающего под действием силы тяжести в вязкой среде.
Предполагается, что шар имеет малые размеры и его скорость мала и равномерна. Ввиду этого падение шара не вызывает турбулентности. В задаче фн гурнруют следующие переменные величины: Формула размерности для вязкости выводится на основе определения этой величины (сила, действующая на единицу плошади при единичном градиенте скорости). Выражая о в функции остальных переменных, по.
лучаем о С ° р',Рр',Пкд' и уравнение размерности Ет ' (Гзм) Еь(ГЗМ) (Г~мт ) (Ет Следовательно, мы имеем пять неизвестных показателей, связанных системой из трех уравнений. Ре. шение нх приводит к зависимости Мы получили бесполезный результат. Из этого уравнения невозможно получить какую-либо ннфор. 110 нацию, так как каждая независимая переменная является одним из аргументов неизвестной функции. Все было бы иначе, если бы этн шесть переменных были выражены в зависимости от четырех основных величин. Снова введение векторных величин длины обеспечивает необходимую дополнительную размерность.
Поэтому проанализируем задачу с учетом этого добавления. Пусть ось г совпадает с направлением действия силы тяжести. Система имеет осевую симметрию относительно этого направления, и эта симметрия должна быть отражена в формулах размерности. Очевидно, чго для вязкостного сопротивления имеет зи;ление не диаметр шара, параллельный оси г, а диаметр 1или окружность) в плоскости ху. Диаметр в направлении Е„равнозначен диаметру в направленнп 1.». Поэтому формула размерности для диаметРа Н имеет вид ).~*1.»*.
ЛсимметРичность фоРмУлы размерности для вязкости должна быть исключена тем же путем. Одпн пз видов этой формулы таков: Сила Скорость Е,МТ а Е»Т 1ч 1;» Площадь ' Граднснт ) Т.а1.» -( —— т. е. Ы = Т.,т-„йт Мт Однако вязкость также можно представить формулой 1„„1 = ) „-'т.„т..-тМт-'. В связи с требованием симметрии следует использо- вать выражение 1ч1 = Йч.! 1ч,1, т. е. )»11 = т., 'Мт ', 111 Остальные формулы размерности уже удовлетворяют требованию осевой симметрии. Новая таблица переменных имеет следующий внд Обозначе. ние Формула размерности Физнчесиаи аеличниа Скорость шара Плотность шара Ь 1 -1оз-11 -! и у и 1,!зЬЬ л у з -11 -! зз -! л у и з -! з 1, Диалзетр шара Плотность жидкости м т Вязкость жидкостя Ускорение силы тяже- сти Новое уравнение размерности записывается сле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
