Г.И. Хантли - Анализ размерностей (1155757), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Физическая зеличииа Формула размерности Обозиачеиие Т. М Тз Соиротиилснис диизкению Скорость тела Плотность среды Вязкость среды Сзкнмаемость Ь Т 3 М б ' М Т о р ч оУ1У оср В М-' Тз среды Линейные размеры Относительные (например) д размеры 1!7 Таким образом, имеется шесть взаимосвязанных физических величин (не считая относительных размеров). Так как существуют лишь три основные единицы измерения, можно полагать, чтофункцпональная формула для тт включает три аргумента, состоящих из безразмерных комбинаций переменных, причем показатели степеней этих аргументов неизвестны.
Такая формула все же не бесполезна; она имеет некоторое значение прп понсках более содержательного решения. При этом существуют два пути: а) можно рассмотреть частные случаи обшей задачи, когда некоторые физические величины несущественны, н б) можно получить общее решение и исследовать изменения полученного выражения при некоторых упрощающих допущениях, Вначале обратимся к первой нз этих альтернатив. Предположим, что скорость тела в первом случае настолько мала, что можно пренебречь влиянием плотности и сжимаемости вязкой среды на движение.
Если это так, то функцию Л ~~о, ть 1, 7г) можно представить в виде Я С ° о'т~~1'( —,) . Соответствующая формула размерности есть Т.МТ (1,Т г1(Т. 'МТ г1 Е. В результате получаем решение Величина Д' является безразмерной, т. е. числом. Значение функции Чч может быть известно лишь в наиболее простых случаях. Например, если телопредставляет собой шар диаметром й то величина С ° чч, как показал Стокс, равна Зп. Это справедливо для падающей дождевой капли; значение Зп принято из известного эксперимента по нахождению вязкости жидкости путем измерения скорости падения в ней шаров различных диаметров.
Даже если тело имеет несфернческувз форму, то как для модели, так и для полноразмерного объекта справедлив вывод о том, что сопротивление при медленном движении тела пропорционально скорости, вязкости среды и некоторой характерной длине тела. Какова эта длина, т. е. идет ли речь о длине, параллельной направлению движения, или о длине, перпендикулярной этому направлению? На этот вопрос можно получить ответ, прибегнув к методу, изложенному в гл.
1>. Пусть тело движется в направлении оси х в системе прямоугольных координат. Поскольку формулы размерности должны отражать симметричность системы относительно этой оси (например, размерность вязкости будет иметь вид Ь„'МТ '), то 1.„МТ '=(В„Т ) (1.„''МТ ) Е'„Е~Л.', что соответствует функциональному уравнению Р = С о'т1 1,1а1, й>2 (1,), По виду уравнения размерности и в связи с соображениями симметрии легко заключить, что показатели в>, е равны нулю; следовательно, Таким образом, при медленном движении тела на величину сопротивления оказывает влияние его размер, параллельный направлению движения. Линейные размеры, перпендикулярные направлению движения, не влияют на силу сопротивления.
В частности, предыдущий анализ указывает на то, что площадь поперечного сечения, перпендикулярного направлению движения, не оказывает влияния на Последннй результат не вызывает удивления, поскольку ясно, что сила вязкого трения действует вдоль 1„а не Г.„или 1,. Моделирование в самолетостроении. Рассмотрим другой частный случай, когда скорость достаточно велика для того, чтоб>ы вызвать турбулентность среды, в которой движется тело (это значит, что влиянием вязкости на сопротивление движению по сравнению с влиянием плотности можно пренебречь), но недостаточно велика, чтобы сделать значительным фактором сжимаемость среды.
119 Таковы скорости в аэродинамических трубах прп экспериментировании с моделями самолетов. В этом случае 1х ~(о,р,1,—,), 1г=С ор1~ —,) . Формула размерности имеет вид ЕМТ ~=(1.Т ~) (Ь ~М1 Ь, откуда 1х = С ° пзрк ° ~рз( —,). Й = С о Р 1х1э1. Фз (у) Е„МТ =(/.„Т ') (~.,'1,„'Е,''И) Т.',Ф.;. есть Из этого выражения можно получить систему из пяти уравнений для пяти неизвестных показателей степени. Их значения: Н=1, а=1. с О, а=2, Таким образом, 1г С оер1э1, ° ~рз ( —,) .
Как ц следовало ожидать, движению препятствует поперечное сечение тела, перпендикулярное направ. лению его движения. Отметим также, что в рассматриваемом диапазоне скоростей размер тела в направлении, параллельном направлению его движения, во. обще не влияет на сопротивление движению. 120 Рассмотрим вновь влияние фактора й Так как Р есть площадь, представляет интерес определение ее ориентации относительно направления движения, которое принято параллельным оси Ох. Уравнение размерности, соответствующее выра- жению Средние скорости. Наконец, рассмотрим случай, когда скорости движения ~аковы, что следует учитывать влияние как вязкости, так и плотности, но в то же время можно пренебречь сжимаемостью среды, Тогда К=~(о, р, ть 1, е1 1~ и 11 = Со'р~т~'1л ~у) .
Уравнение размерности принимает вид 1.МТ ~=(1,Т ) (Е М) (1. 'МТ ') Ь . Так как в этом случае имеется три уравнения с четырьмя неизвестными, то значение одного из показателей степени, например С, остзетгя неопределенным; решение в этом случае примет вид 1с = С ° о'р1' ® ~р, ( ~,). Ясно, что полученный результат был бы более ценным, если бы удалось выяснить, что означают члены Р и 1. Повторим еще раз вычисления, представив 1 как сумму векторных величин, Тогда 11 = С ° о'р~П'1~1'„1~ ( —,,), уравнение размерности принимает вид „МТ ' = 11.„Т ')'и,'Еу '1., 'М)'(Х.„'МТ ')'1."„Т.У1.е. Решение имеет следующий вид: 1с С о р1„1, ( —,"~, ) ° <р, (~), где неопределенной величиной является И.
Это интересный результат. Анализ размерностей позволил нам выявить, что в рамках соотношений, которые должны по необходимости возникать между физическими величинами в связи со структурой их формул размерности, допускается также, что один из показателей степени должен бьсть переменной величиной. В самом деле, д есть функция скорости о. В данном Ра! случае неопределенность а' нельзя рассматривать как неудачу применения метода размерностей.
Напротпг, это существенный и важный результат анализа р; мерностей, Предыдущее уравнение, как это будет иказано ниже, является полным решением задачи. Э1о достижение анализа, являющееся результатом п~- пользования пяти основных единиц измерения вмес1о обычных трех, вытекает непосредственно из факт;., что единицы длины можно рассматривать как векторы. Рассмотрим другие важные следствия.
Произведение 1„1, представляет собой площадь, перпендикулярную направлению движения; обозначим ее А. Таким же образом, 1„— это длина, параллельная направлени1о движения; обозначим ее й Приняв затем Сф Сь имеем В=С "рА(л „) . Такая форма записи уравнения позволяет сделать выводы, которые ранее не были возможны. Например, для ряда геометрически подобных тел в диапазоне скоростей, где влияние вязкости существенно, 1г должно быть (в определенных пределах) пропорционально й Следовательно, а1 = 1, и поэтому Я=С, ° о4. Таким образом, сила сопротивления прямо пропорциональна скорости, вязкости и линейному размеру тела, параллельномд направлению движения. Она не зависит от плотности среды и поперечного сечения тела, перпендикулярного направлению движения. Лля той области скоростей, где можно пренебречь вязкостью, 1т должно быть независимым от 1, откуда с~ Ои й =С, о'рА.
Лля области промежуточных скорое~ей, где влияние вязкости существенно, но не максимально, Й должно быть функцией 1; И поэтому может иметь величину в пределах от О до !. Если И = 1~и то й С,. $'(изр1;ЛЦ. 122 Следует отметить, что во всех этих уравнениях скорость о и линейная величина имеют одинаковые показатели степени. Следовательно, для тел одинако.
вой формы, движущихся в одной и той же среде при одинаковом сопротивлении движению, скорость обратно пропорциональна линейным размерам тел Это так называемый «закон подобных скоростей», Усовершенствованный метод анализа с применением векторных единиц длины позволяет уточнить, какие именно «линейные размеры» имеются в виду при формулировании «закона подобных скоростей». Его можно выразить следуюшим образом: 1.
Для небольших скоростей о — 1Д и не зависит от А. 2. Для средних скоростей о — 1/Р Лй 3. Для больших скоростей о 1/7 А и не зависит от 1. Рассмотрим зти формулы в применении к простому случаю механического подобия. Значения подъемной силы двух геометрически подобных летательных аппаратов будут относиться друг к другу как кубы их линейных размеров. Предположим, что один из аппаратов в девять раз длиннее другого; тогда, если Р, означает подъемную силу большего аппарата, а Р, — меньшего, то Пусть Р~ и Л» — сила тяги, развиваемая двигателями летательных аппаратов при равных скоростях движения: 1. Для малых скоростей л~ »чй йз»4г 2.
Для средних скоростей — ' = )/ ( ~ч ' ' ) .= 27. 3. Для больших скоростей — — =81, Д, »'рА, Да»'рА~ Отсюда становится ясным, что для достижения максимальной подъемной силы экономичнее созда. вать большие летательные аппараты.
Тело, медленно движущееся в вязкой среде, создает в ней «волны»ь Это известное явление отчетливо г!аблюдается, когда, например, лодка движется в спокойной воде. Угол О, которыи составляет волна с направлением движения, является функцией о, р, з1, /. Анализ размерностей показывает, что ,( ер! ) Аргумент этой функции называется числом Рейнольдса; это безразмерная величина. Отношение т1/р есть кинематпческая вязкость, обозначаемая как т н имеющая формулу размерности /'Т '.
Таким обра. зом, число Рейнольдса можно представить как о!/т. Для ряда геометрически подобных тел с различными размерами, движущихся в различных средах с различными скоростями, угол 0 будет одинаков 1т, е. волны будут иметь одинаковый вид) при условии равенства чисел Рейнольдса.
Этот важный вывод позволяет решать гпдродинамические и аэродинамические задачи путем исследования поведения мелкомасштабных моделей. Критическая скорость. Прп возрастании скорости тела достигается такое состояние среды, когда плавность движения внезапно нарушается и возникают вихревые токи, создающие турбулентность. Скорость У„, прн которой наступает это состояние, называется критической Формула критической скорости может быть получена путем анализа размерностей. Зыачение критической скорости зависит от плотности и вязкости среды, а также от размеров движущегося тела.
Посредством обычного анализа можно показать, что $',=С вЂ” "' . « Эта формула свидетельствует о том, что для гео метрически подобных тел, движущихся в одинаковой среде, критическая скорость обратно пропорциональна их линейным размерам. Однако формула не показывает, какие именно линейные размеры имеются в 124 виду. Более содержательный результат может быть получен при использовании векторных единиц длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
