Г.И. Хантли - Анализ размерностей (1155757), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

дующим образом: 1 т ! =(1.„~1.„~1. !м) (у.ьт.l') (т.„~е„~т. !м) х (1., лмт-')'(~.,т-)'. Теперь пять неизвестных показателей связаны систе. мой пяти уравнений, соответствующих пяти независимым основным единицам измерений. Однако из-за условий сохранения осевой симметрии уравнения, которые соответствуют размерностям 1,„и !.р, одинаковы. Остающиеся четыре уравнения связывают пять неизвестных показателей. Решение имеет вид а=! — с, Ь=2, с=с, Ы= — 1, е=1. 112 В итоге мы получаем ответ, содержащий значительно больший объем информации: Эта задача, конечно, была уже решена обычными математическими методами.

Если мы запишем С ° ! ! — 1= — ~1 — — ), то получаем полное решение ~Р!) з~ Р )' о — — (р! Рр) 8 ~Рд з ч Отметим, что при разложении размерности длины по трем координатам следует принять меры для со. хранения симметрии, которая присуша системе (как это мы сделали в последнем примере), или обеспечить в случае асимметричности системы тот же самый вид асимметрии во всех формулах размерности, которые могут ее отразить. Нужно также помнить, что существенные для задача размерности должны занимать соответствующее им место.

В предыдушем примере диаметр шара, параллельный направленинз его движения, не влияет на скорость движения. Поэтому размерность эффективного диаметра (нлн окружности в плоскости хд) представлена не величиной Е„а комбинацией 1.,„н ~ч. Чтобы выполнить условие осевой симметрии, обе эти размерности должны иметь одиггаковое значение и размерность И должна записываться как 77.,~„.

Размерная однородность векторов. Основное заключение, которое можно сделать после изучения примеров этой главы и гл. Ч, состоит в том, что уравнения, связывающие физические переменные, должны быть однородны не только в отношении размерностей длины, массы и времени, но также и в отношении векторных величин, связанных с размерностями длины. Мы доказали, что введение этого дополнительного средства полезно для проверки правильности физических формул, а также для отыскания переменных, позволяющих получить важный результат и полное решение, которое невозможно получить обычным методом размерностей. Такое интересное повышение эффективности метода размерностей, которое дает последний пример, обнаруживает всю разницу между прежним результатом, имеющим такую общность, что она ничего не стоит, и новым результатом, содержащим почти максимально возможное количество информации Для некоторых физических и технических задач, которые не решаются обычными методами при помощи метода размерностей, можно получить некоторые сведения о связях, сушествукэших между ее переменными.

Теперь полное решение таких задач должно стать реальным делом. Глава У11 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ. МОДЕЛИРОВАНИЕ До сих пор анализ размерностей применялся нами для таких физических задач, которые можно решать и обычными аналитическими методами. Ранее уже отмечалось то обстоятельство, что, хотя овладение методом размерностей является полезным приобретением для студентов-физиков, этот мезод ни в коем случае не заменяет собой обычного математического подхода к решени1о элементарных физических задач не только потому, что последний дает возможность глубже проникнуть в существо задач, но и потому, что единственно он, этот подход, позволяет находить некоторые важные безразмерные коэффициенты. Более того, выше удавалось сравнивать результаты применения метода размерностей с результатами, полученными другими методами.

Было выяснено также, что предварительный анализ задачи по размерностям входящих в нее величин иногда бывает полезным до начала ее экспериментального исследования, поскольку позволяет выяснить, какие именно из намечающихся экспериментов могут дать максимально полезную информацию, а какие окажутся излишними. Анализ размерностей будет рассмотрен далее в применении к сложным задачам, не имеющим полного решения. В этих случаях только эксперимент позволяет убедиться в правильности теоретических выкладок. Теперь метод размерностей будет служить не средством предварительного анализа задачи перед постановкой экспериментов, а средством интерпретации экспериментальных даяных, как это, например, ямеет место в случае, когда характеристики ряда моделей экстраполнру1отся на геометрически подобные им полноразмерные объекты.

114 Механическое подобие. Использование «принципа подобия» прп геометрическом моделирования является весьма важным обстоятельством. Число физических величин в некоторых задачах настолько велико, что не представляется возможным ни составить все уравнения, связывающие их, ни тем более решить зти уравнения, Однако, если все физические вели.

чины, входящие в задачу., известны, метод размерностей позволяет найти некоторые основные соотношения между этими величинами, что по сути дела ведет к уменьшению числа параметров. Примером может служить движущая сила винта в среде с известной вязкостью. Эта задача, не имеющая полного решения, содержит около семи параметров; она может ыть приведена к упрощенному виду, который позволяет экстраполировать характеристики геометрически подобной модели винта на полноразмерный зинт.

Измерение физических величин на модели корабля, помещенной в экспериментальный бассейн, пли на модели самолета, помещенной в аэродинамическую трубу, позволяет (с использованием принципа подобия) получить полезные данные наиболее экономичным путем. Таким образом, очевидно, что сочетание анализа размерностей с экспериментом в применении к исследованию задач, не разрешимых иным путем, представляет собой ценный метод получения частичной информации в тех случаях, когда другими методами ее получить вообще нельзя.

Некоторые из таких сложных задач, уже исследованных в инженерной практике, являются развитием классических задач физики, таких, как задача о движении твердого тела определенной формы в вязкой среде. Примерами могут служить полет пули, сопротивление движению подводной лодки или самолета, проблемы обтекаемости и подобные им задачи, представляющие технический интерес.

Имеется определенная связь между задачами этого рода н, например, физической задачей о скорости падения дождевой капли. Сопротивление, испытываемое телом при движении в вязкой среде, является функцией нескольких переменных, относительная значимость которых за- вэ висит ог скорости движения тела. Прп небольших скоростях можно пренебречь плотностью и сжимае.

мостыв среды; однако при повышенных скоростях эти переменные приобретают гораздо более важное значение, чем вязкость. Как будет показано далее, сопротивление движению тела выражается как произведение аргументов, состояших из безразмерных комбинаций переменных, причем все эти аргументы возведены в степени, численные значения которых неизвестны, Показатели степени аргументов не обязательно имеют единственные значения, поскольку этп значения зависят от скорости. При низких и весьма высоких скоростях значения этих показателей являются предельными, однако метод размерностей не позволяет найти численные значения показателей, если не использованы уточняющие приемы, которые были рассмотрены в гл.

Ч и Ч1, Если приписать направление линейным размерам тела, то ана.чиз размерностей может дать более важные результаты, чем до этого было возможно. В некоторых случаях можно определить величину показателя степени аргумента, а в других случаях показать, что показатель — величина переменная. Векторные величины. Применение усовершенствованного метода размерностей полезно в задачах, где форма тела является одним нз определявших факторов. При решении задач такого рода ранее не делалось различия между размерами тела, параллельнымп направленпнз движения н перпендикулярными ему; однако такое различие играет сушественную роль. Если тело движется параллельно оси Ох в прямоугольной системе координат, его линейный размер вдоль этой осп, обозначенный как [! „1, связан с сопротивлением трения п вязкостью среды.

Поперечные размеры [ЕД и [1.:[ прямо связаны с плотностью среды и ие зависят от вязкости. Можно показать, что такое придание векторного характера факторам конфигурации тела позволяет найти полное решение задач, для которых ранее анализ размерностей давал лишь частичное решение. Хотя задача определения К вЂ” сопротивления движеншо тела в вязкой среде — как функции физических величин, влияюших на й, очень сложна, можно по крайней мере считать, что нам известны многие этп величины.

Следовательно, существует возможность составить уравнение размерности, которое соответствует функциональному уравнению. Хотя в общем случае нельзя получить полного решения итого уравнения, частичное решение дает информацию, которую нельзя получить никаким иным методом, в особенности, как уже указывалось, когда анализ размерностей применяется при изучении поведения модели. На сопротивление движению тела в вязкой среде оказывазет влияние следующие переменные: скорость тела, его размеры и форма, плотность, вязкость и сжнмаемость среды. Г1редположиьк что имеется ряд геометрически подобных моделей; тогда, изучая их поведение и применяя анализ размерностей, можно приближенно определить характеристики полноразмерного объекта, Соответствующие физические величины и их формулы размерности приведены ниже.

Характеристики

Список файлов книги