Г.И. Хантли - Анализ размерностей (1155757), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Формула для Г, принимает вид Г, = С ° р п~/,/а/„ чему соответствует уравнение размерности /.,Т '=(1.„-'/.„'/. М)'//„'Ит )" /.',/.'„/.',. Следовательно, имеется пять неизвестных показателей степени, которые могут быть связаны системой пз пяти уравнений. Решив их, найдем неизвестные; а= — 1, Ь=1, с=1, д= — 1, е= — 1. Таким образом, 1г,= С. чг, чг Е ' пГ1 рл (если использовать обозначения, которые были применены ранее), Эта формула применима к ряду тел, имеющих различную форму. Например, при движении в одной п той же среде цилиндрических тел различных разчеров и форм, осп котовых параллельны линии твпженпя, критическая скорость обратно пропорциональна А//.
Если цилиндры имеют одинаковую плоцадь поперечного сечения, то 1/„ прямо пропорциональна 1. Рассмотрим далее случай, когда скорость тел не гревышает критические значения. Для определенноти предположим, что нужно найти сопротивление воздуха двпженшо самолета путем экспериментирования на модели в 1/20 натуральной величины, Со. ответствуюшая формула уже была получена: 1( оРА) Здесь прА/г11 — число Рейнольдса в иной форме, Отметим, что Н является функцией скорости.
Хотя чис. ленное значение г/ не известно, это неудобство можно преодолеть, если принять, что аргумент орА/и/ одинаков и для самолета, и для его модели. Поскольку 125 )х )(о, р, ~),(, —,—,) х( — оа ь с(а (Л//$7 )1, ~ Е ) или Здесь пять неизвестных показателей степени мо. гут быть связаны системой из трех уравнений; следа. вательно, два показателя (например, д и ~) остаются р и т~ одинаковы для обоих объектов, то равны и величины пАД. Следовательно, скорость модели в воздухе (или скорость потока воздуха в аэродинамиче.
ской трубе) должна быть в двадцать раз больше, чем самолета. При этом сопротивление воздуха движению и самолета, и модели будет одинаковым, Од вако скорости потока в аэродинамической трубе в этом случае возрастают до тысяч километров в час, что на практике неосуществимо; в связи с этим напрашивается вывод, что экспериментнрование на модели приносит мало пользы. Однако это не так. Устаиовле. но, что при возрастании и величина прА/П( асимптотически стремится к некоторому постоянному зиаче.
нию; таким образом, в области высоких значений о сопротивление пропорционально квадрату скорости, Поэтому, чтобы определить сопротивление воздуха движению самолета, достаточно найти соответствую. щий коэффициент пропорциональности при экспериментировании на модели. Баллистические снаряды. Выше рассматривалось сопротивление движению геометрически подобных тел в трех диапазонах скоростей: во-первых, при скоростях ниже критической (например, падение дожде. вых капель под действием силы тяжести), во-вторых, при средних скоростях (например, движение судна), в-третьих, при высоких скоростях (например, двпже.
ние самолета). Рассмотрим, наконец, область еще ббльших скоростей, а именно таких, какие достигаются при полете снаряда. Для таких скоростей ранее полученные уравнения оказываются недостаточ. ными. При скоростях, приближающихся к скорости звука в данной среде, необходимо учитывать сжимаемость среды. Сопротивление в этом случае является функцией шести переменных: пли, вводя скорость звука и', получим упрощенное выражение С „ц~(чаи)а~А ( о )з)» где Д=! — з, Ь= з и С,=Ср. 2~ 2г Полагая влияние т~ несущественным, получаем д = 1, откуда Я=С,о'рЛ~ —, ° ( —,) ) .
Этот результат более содержателен, чем предыдущий. Формула ясно показывает, что сопротивление движению зависит от площади поперечного сечения тела, перпендикулярного направлению движения. Она позволяет также сделать вывод о том, что при неизменных прочих условиях увеличение длины снаряда уменьшает действующую на него силу сопротивления. Так как И возрастает прп увеличении о, то величина Ь не может быть отрицательной, Глава УП! ТЕПЛОВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В предыдуших главах не рассматривались тепловые и электрические величины. Методологически удобнее рассматривать физические величины, связанные с теплотой и температурой, отдельно.
То же соображение относится к магнитным и электрическим величинам. Одна из причин этого связана с необходимостью обсуждения вопроса о наиболее удобных формулах размерности для величин, единицы измерения которых принимаются в качестве основных. Структура этих формул не так о ~евидна, как это было в задачах из области динамики. В начале этой главы будут рассмотрены формулы размерности некоторых тепловых величин, затем будет уделено внимание двойственному характеру размерности массы )й!), а заключительная часть будет посвящена приложеник1 новых идей, развиваемых в книге, к задачам теплопроводности и конвективного теплообмена. Единицы теплоты.
Вопрос об определении «правильных» размерностей теплоты п температуры вызывал серьезные споры среди физиков, Отражением этих споров является известный диалог между Редеем и Рябушинским !стр. 4!). Репей, решая путем анализа размерностей одну из задач о конвективном ~еплообмене, использовал четыре «независимые» величины, а именно длину, время, теплоту и темпера. туру, считая тепло~у п температуру тоже «независи. мыми» величинами, Рябушинский отметил, что если температуре приписать размерность кинетической энергии молекул, сведя таким образом четыре независимые величины к трем «действительно независппым» величинам, то решение будет гораздо менее определенным и полезным.
В своем о~зете Релей указал; «Мы имели бы дело с парадоксом, если бы углубление наших знаний о природе тепла, ставшее возможным благодаря молекулярной теории, привело нас к худшему положеиио, чем раньше, когда рассматривалась частная задача». Такую аргументацию нельзя считать убедительной. С того времени многие известные физики искали ответ на вопрос о том, какие нз основных единиц измерения «действительно независимы» и, в частности, какую формулу размерности следует принять для температуры в единицах Я, [М), [Т). Некоторые ученые, например Репей, рассматривая температуру в качестве самостоятельной величины, приняли для ее формулы размерно.
сти обозначение [0); другие, например Ланчестер [1], записывали формулу размерности температуры как [РТ «); наконец, третьи, подобно Рябушинскому, предпочитали пользоваться формулой ф'л1Т-~. Во втором из этих вариантов температура в соответствии с даннымн молекулярно-кинетической теории отождествляется с квадратом скорости молекул идеального газа, а в третьем варианте — с кинетической энергией молекул. До середины Х1Х в, теплота рассматривалась ках невесомое текучее вещество под названием «тепло. род», Однако в работах Румфорда, Джоуля и других было показано, что (по выражению Тиндаля) «теплота — это род движения».
В настоящее время считается, что теплота не просто эквивалентна энергии, а что она является энергией, Таким образом, исторически теплота рассматривалась с двух точек зрения. Она была принята в качестве калориметрнческой величины, а также в качестве динамической. Единица количества теплоты— калория — определена как количество тепла, которое необходимо сообщить одному грамму воды для нагревания от !4,5 до 15,5'С. Опыт показывает, что количество тепла, воспринятого телом, пропорционально его массе т, повышению температуры ф и величине «, которую назвали удельной теплоемкостыо вещества, т. е. Я вЂ” гизи, С другой стороны, согласно первому закону термодинамики, теплота и работа эквивалентны: теплота может быть измерена в едн ницах механической энергии.
С помощью коэффи 130 циента пересчета У число калорий можно заменить числом зргов; Энергия =- 7 ° оыгр, чему соответствует формула размерности ЕМГ'=У М 0 (так как з является отношением однородных величин, т. е. числом). Размерности температуры. Отсюда ясно, что произведение У8 имеет размерность (скорость)'. Если 1 является числолг, то размерность 0 должна иметь вид 1.'Т '. Однако является ли У просто числом? Г1(эиве1ем мнение Руккера по атому вопросу [2): «Я считаю, что было бы лучше отнести единицу температуры к классу вторичных основных единиц, которые либо по нашему неведеншо, либо из-за наших косвенных методов измерения нельзя выразить в единицах длины, массы и времени и которые поэтому должны расгьгатрпваться в качестве основных по отношению другим, производным единицам, зависящим от шхъ.
Если 0 рассматривать в качестве основной единицы измерения, то размерность У должна иметь вид 82Т-20-1 Отметим, что калориметрпческие и динамические методы измерений различны по своему характеру. Они ведут к различным определениям величин н,следовательно, к различным формулам размерности. Если учитывать дпнампческиг1 (а не калорнметрический) аспект теплоты, то закон теплопроводности, выражаемый уравнением Я=ггА — „ показывает, что размерность И8 имеет вид (энергия зс длина); (площадь Х время), нлн )МТ-'. Если единица 8 — основная единица, то размерность )гесть Г.МТ '0 '. Если бы 0 имела размерность (скорость)', то я имело бы ту же размерность, что и вязкость, т.
е. Г,"МТ-' (если не принимать во внимание направленце распространения тепла или потока вязкой 131 жидкости). Если тепловой поток параллелен оси Ох то [й] = ~.„' Е,. 'М Т '. Размерность вязкости при движении параллельно оси Ох имеет впд [Ч]= ~''й)Т Кроме того, уравнение состояния идеального газа рР =)~0 показывает, что размерность Я0 совпадает с размерностью энергии. Однако если тг' считать числом, как этого требуют некоторые ученые, то размерность температуры совпадает с размерностью энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
